2024-2025学年上海华二附中高一上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

华师二附中2024学年第一学期高一年级数学期末
2025.01
一、填空题（共54分）
1．是第________象限角．
2．已知，是正实数，那么“”是“”的________条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）．
3．偶函数的定义域是，则________．
4．的值是________．
5．，则的值是________．
6．不等式组无实数解，则的取值范围是________．
7．函数的定义域是，则它的值域是________．
8．若函数的反函数是，则________．
9．，________．
10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有成立，则关于的不等式的解集为________．
11．设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，，存在使得，则满足要求的集合的个数为________．
12．对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意实数总有有限个根，记根的个数为，给出如下命题：
①存在函数满足且有最小值；
②设，若，则；
③若，则为单调函数；
④设，则．
其中所有正确命题的序号是________．
二、选择题（共18分）
13．若，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数在区间上是严格增函数，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，表示压强，下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
16．已知非空集合，设集合，
．分别用，，表示，，中元素个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
三、解答题（共78分）
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知表示不超过的最大整数，例如，．若，那么．
（1）方程的解集为，求集合．
（2），若，求的取值范围．
19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．
时间 秒 秒
距离 米 米
（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？
20．已知定义在上函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）设函数，．若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
21．已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数．
（1）判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由；
（2）若是角旋转周期函数，判断以下四个点，，，，哪个点可能在的图像上；
（3）若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）．
参考答案
一、填空题
1.三； 2.充要； 3.； 4.1； 5.； 6.； 7.； 8.0； 9.1012； 10.； 11.5； 12.②④；
二、选择题
13.C； 14.C； 15.D； 16.D
16.已知非空集合，设集合，
．分别用，，表示，，中元素个数，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19
【答案】D
【解析】，
则至多有，，，，，这6个数，
，至多有，，，，，这6个数，
所以，，．
反之，至少有这5个数，
至少有这3个数，所以，，．
对于，考虑时，，，；考虑时，，
，．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时
20.已知定义在上函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）解不等式；
（3）设函数，．若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）4 （2） （3）
【解析】（1）
；
（2），
或，所以不等式的解集是
（3）在上单调递减，在上单调递增，
在上的最小值是，只需在时的函数值大于等于3，
，当时，不等式恒成立；
当时，，，
等号当时取到，所以．
综上，的取值范围是
21.已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数．
（1）判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由；
（2）若是角旋转周期函数，判断以下四个点，，，，哪个点可能在的图像上；
（3）若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）．
【答案】（1）是， （2）可能在的图像上 （3）见解析
【解析】（1）是，
（2）将每个点旋转，旋转5次得到
，，，，，，
这六个点构成正六边形，都有两种取值，所以不可能在的图像上；
同理，，两点也不可能在的图像上；
旋转得到的正六边形每个顶点和原点连线作为终边的角分别是，，，，，，没有两点的横坐标相同，所以可能在的图像上
（3）和（2）类似，可以将点绕原点旋转12次，每次旋转30°，
这样可得到一个正十二边形，如果这个正十二边形有两个顶点关于轴对称，
那么这样的点必然不能在的图像上，反之如果没有任何两个顶点关于轴对称，
那么这样的点可能会在的图像上．
设正十二边形所对应的十二个角为，当，
会出现上述关于轴的对称顶点．所以当起始点位于或，的终边上时，会出现有两个顶点关于轴对称，所以，，，，，（这里后两种情况可用，表示）