2024-2025学年上海杨浦高级中学高一上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

杨浦高级中学2024学年第一学期高一年级数学期末
2025.01
一、填空题(本大题共有12题，满分54分)1-6题每题4分，7-12题每题5分
1．已知集合，且，则______．
2. 函数恒过的定点为______．
3．已知方程的两个根为、，则______．
4．半径为2，圆心角为的圆弧长为______．
5．满足不等式的取值范围是______．
6．已知角的终边在第二象限，则角的终边在第________象限．
7．记，那么______
8．关于的方程的解集为______.
9.已知满足对任意的，
都有，则实数的取值范围为______．
10．已知，若实数且，则的最小值是______．
11.设函数定义域为,对于下列命题:
①若存在常数,使得对任意的,都有成立,则是函数的最大值;
②若函数的图像是一条连续不断的曲线,且对区间,有,则函数在区间上不存在零点;
③若函数满足对任意的，都有或成立，则函数是偶函数或奇函数;
④若函数满足对任意的，任意的,都有成立,则函数在上严格递增;
其中，所有假命题的序号为__________.
12.已知，，若函数有六个零点，则实数的取值范围是__________.
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)
13．用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（ ）
A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除
C．或不能被5整除 D．都不能被5整除
14．已知都是正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
15．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为、、，则实数和分别等于（ ）
A．、 B．2、3 C．、2 D．、
16．定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（ ）
A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数”
C．“相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点
三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)
已知，设集合，集合.
(1)分别求集合和.
(2)若，求的取值范围.
18.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
已知函数为幂函数，且为奇函数.
(1)求的值；
(2)求函数在的值域.
19.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)
诺贝尔奖的发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元,假设基金平均年利率为.
(1)请计算:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元 当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）
(2)设表示为第(是正整数）年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1998年记为),试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻“2012年度诺贝尔文学奖获得者莫言奖金高达151万美元”是否与计算结果相符,并说明理由.
20．（本大题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分）
已知函数．
(1)判断函数的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数与的定义域均为，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在上的“函数”．
(1)若，判断函数是否是函数在上“函数”,并说明理由.
(2)若，，，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围.
(3)，，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的、都有.
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.一、三； 7.1； 8.； 9.； 10.； 11.①②③； 12.；
二、选择题
13.D； 14.B； 15.A； 16.C
15.若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为、、，则实数和分别等于（ ）
A．、 B．2、3 C．、2 D．、
【答案】
【解析】∵依次确定了零点所在区间为，
又∴，解得．故选：．
三、解答题
17.（1）,. （2） （3）
18.（1） （2） （3）
19.(1)101万美元; (2)相符
20.已知函数．
(1)判断函数的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）严格单调递增；证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）根据题意，在上单调递增；证明：任取，且，
则
故函数在上单调递增；
（2）根据题意，函数．则,
又函数在上单调递增，则有故不等式的解集为．
（3）根据题意，若关于的方程只有一个实根，
即方程有且只有一个实数解．
令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根，
①当时，，不合题意，
②当时，（）若，则或，若，则，符合题意；
若，则，不合题意，
（ii）若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根，
即，解得；综上，实数的取值范围是．
21.已知函数与的定义域均为，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在上的“函数”．
(1)若，判断函数是否是函数在上“函数”,并说明理由.
(2)若，，，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围.
(3)，，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的、都有.
【答案】（1）函数是函数在上的“函数"; （2）
（3）见解析
【解析】（1）根据题意，，对任意的，且
显然有，
所以函数是函数在上的＂函数＂；
（2）因为函数是函数在上的＂函数＂，
所以对任意的，恒成立，
即
对任意的恒成立，
即对任意的，恒成立，
即，解得，即；
（3）证明：对于，不妨设，
（i）当时，因为函数是函数在上的＂函数＂，
所以．此时成立；
（ii）当时，由，
得
此时也成立．综上得恒成立．