2024-2025学年上海建平中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

建平中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.01
一、填空题
1.不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是_____.
2.若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为_____.
3.参数方程(为参数)的普通方程是_____.
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，则等于_____.
5.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间(单位:min),连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，其中，十位数为“茎”，个位数为“叶”，则这组数据的第60百分位数是_____.
6.已知抛物线,若点横坐标为1,且到的准线的距离为2,
则_____.
7.四面体ABCD中,M、N分别为BC、AD的中点，，则异面直线AC与BD所成的角是_____.
8.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现加入一个数据6，此时这5个数据的方差
为_____.
9.在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若//平面，则的值为_____.
10.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板(图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面，为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H，图乙中线段OH卷后形成圆弧OH(图甲)，通过同学们的计算发现与之间满足关系式：，则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为_____.
11.若事件A、B、C满足，同时成立，则称事件A、B、C两两独立,现抛掷一枚质地均匀的骰子,观察面朝上的数字,得到样本空间,若事件,事件.则可以构造事件C=__________(填一个满足条件的集合即可)，使得成立，但不满足事件A、B、C两两独立.
12.已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为_____.
二、选择题
13.已知圆，圆，则两个圆的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
14.已知是两条不同的直线，为一个平面，，则“”是无公共点”
的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.在长方体中，点P在矩形ABCD内(包含边线)运动，在运动过程中，始终有点P到顶点B的距离与点P到对角线 所在直线距离相等，则点P的轨迹
是（ ）
A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.线段
16.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于4，则下列命题中正确的个数是（ ）
①曲线C关于x轴对称；②x的最大值为2；③的最小值为；④|OP|的最大值为；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、解答题
17.在集合中任意选取一个实数作为，构造函数，记事件A为 “所选取的实数使得函数有两个不等零点”；
（1）观察选取的实数，写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率；
（2）记事件B为 “所选取的实数使得函数在上是严格增函数”, 求事件A，事件B少一个发生的概率.
18.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为 ；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作直线与曲线相交于两点，点能否是线段的中点？若能，求直线的方程，若不能，请说明理由.
19.如图,已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为8，点C是圆O上一点，，点D是劣弧AC上的一点，平面平面，且；
（1）证明：；
（2）当三棱锥P-OCD的体积为时，求点O到平面PCD的距离.
20.某射击队举行一次娱乐活动,该活动分为两阶段,第一阶段是选拔阶段,甲、乙两位运动员各射击 100 次,所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有4次游戏机会；②依次参加游戏；
③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏；若游戏失败，继续进行该游戏；若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完；
④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元；不管参加哪一个游戏，失败均无奖金；
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
（1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
（2）在(1)的基础上,解答下列两问:
(i)求该运动员能参加游戏的概率.
(ii)记元为该运动员最终获得的奖金额，为获得奖金对应的概率，用适当的表示法表示关于的函数.
21.已知椭圆，椭圆与x轴交于点，，直线与椭圆交于，两点(其中点在x轴上方，点在x轴下方)，设直线的方程为，如图，将平面xOy沿x轴折叠，使点移动到点的位置，轴的正半轴经折叠后记为，且二面角的大小为 .
（1）折叠前，若椭圆的焦点在x轴上，且与椭圆上一点构成三角形的周长为，直线的方程为；
(i)求椭圆的标准方程；
(ii)求折叠后直线与平面所成角的大小；
（2）折叠后，是否存在定值，对于任意，始终成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.（答案不唯一）； 12.；
11.若事件A、B、C满足，同时成立，则称事件A、B、C两两独立,现抛掷一枚质地均匀的骰子,观察面朝上的数字,得到样本空间,若事件,事件.则可以构造事件C=__________(填一个满足条件的集合即可)，使得成立，但不满足事件A、B、C两两独立.
【答案】（答案不唯一）
【解析】又根据题意可得
又，
又而不独立，
所以事件不两两独立，，满足题意，故答案：（答案不唯一）
12.已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为_____
【答案】
【解析】因为棱长为，所以，
设到的距离为，，解得，
所以点既在以为中心轴，为底面半径的圆柱侧面上，
又在上，∵，∴面，
∴点在内的轨迹是以为半径的圆，
∵内切圆的半径为
∴该圆一部分位于三角形外，
∴，解得，∴，
所以圆位于三角形内的圆弧为圆周长的一半，故答案为：．
二、选择题
13.D； 14.A； 15.D； 16.A
15.在长方体中，点P在矩形ABCD内(包含边线)运动，在运动过程中，始终有点P到顶点B的距离与点P到对角线 所在直线距离相等，则点P的轨迹
是（ ）
A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.线段
【答案】D
【解析】点到顶点的距离与到对角线所在直线距离相等，
可转化为点到线的距离与到对角线所在直线距离相等，
所以过点作的角平分线，类比到角平分面，此面与底面的交线，
又点在矩形内（包含边线）运动，所以点的轨迹是线段
16.在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于4，则下列命题中正确的个数是（ ）
①曲线C关于x轴对称；②x的最大值为2；③的最小值为；④|OP|的最大值为；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】由，化简可得曲线：
将曲线方程中的换为不变，可得曲线的方程不变，即有曲线关于轴对称，故①正确；，
由于，可得，即有
即的最大值为，故②错误；，当且仅当时，取等号，故③错误；
由，解得，则
则，即，故④错误．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）不能，理由略
19.（1）证明略 （2）
20.某射击队举行一次娱乐活动,该活动分为两阶段,第一阶段是选拔阶段,甲、乙两位运动员各射击 100 次,所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有4次游戏机会；②依次参加游戏；
③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏；若游戏失败，继续进行该游戏；若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完；
④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元；不管参加哪一个游戏，失败均无奖金；
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
（1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
（2）在(1)的基础上,解答下列两问:
(i)求该运动员能参加游戏的概率.
(ii)记元为该运动员最终获得的奖金额，为获得奖金对应的概率，用适当的表示法表示关于的函数.
【答案】（1）甲，理由见解析 （2）（i） （ii）见解析
【解析】（1）甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80，
而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80，
所以甲运动员参加第二阶段游戏．
若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会，
①游功共使用3次机会，则概率
②游功共使用3次机会，则概率
所以甲能参加游戏的概率为．
（ii）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，
得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为，
①游戏使用了4次，则或50；
②游戏使用了3次，则或150；
③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150
④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350
⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150
⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350
⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况，因此，当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以用列表法表示关于的函数为：
0 50 150 350 550
21.（1）（2） （3）