2024-2025学年上海位育中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

位育中学2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.01
一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）
1．用数学符号表示“直线在平面上”为________．
2．“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________．
3．若圆锥的母线为，高为1，则圆锥的侧面积为________．
4．已知向量，，若，则实数的值为________．
5．半径为3的球的体积为________．
6．若样本数据，，…，的方差为16，则数据，，的标准差为________．
7．设，是两个相互独立事件，且，，则________．
8．有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有________种排法．
9．在直三棱柱中，，，，，则点到平面的距离为________
10．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为________．
11．在平行六面体中，，且，则________．
12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，空间向量，满足，，则的最大值为________．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
13、下列命题正确的是（ ）
A．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行
C．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
D．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
14．在四棱锥中，若，则实数组可能是（ ）
A． B． C． D．
15．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0．1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
16．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线恒与平面平行；②异面直线与恒垂直．以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分42分）
17．（本题满分6分）
如图所示，在三棱柱中，若、分别为、的中点，求证：平面平面．
18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分．
某工厂选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：
（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；
（2）为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，…，第六组，得到如图所示的频率分布直方图．其中第一组有2人，第二组有13人．求与的值．
19．（本题满分9分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分．
甲、乙两人都是围棋爱好者，某天两人要进行一场比赛，甲每局比赛获胜的概率是0.7（每局比赛仅有胜利或者失败两种可能），且每局之间的胜负互不影响，最终胜者将赢得100元的奖金．比赛开始后不久，就因为有其他要事而中止了比赛．
（I）若是三局两胜的比赛（谁先胜两局比赛立即结束），且甲已经获胜一局后中止了比赛，则甲最终获胜的概率为多少
（2）若是五局三胜的比赛（谁先胜三局比赛立即结束），在已知甲、乙各胜1局的情况下中止了比赛，如何分配奖金比较公平
20．（本题满分9分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分．
如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液。现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上。在倾斜过程中一直保持溶液不会溢出，且设直径所在直线与桌面所成的角为（图②）．
（1）求图②圆柱的母线与液面所在平面所成的角（用表示）；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值．
21．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．
如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
参考答案
一、填空题
1.； 2.点朝上点朝上点朝上点朝上）,点朝上点朝上； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.；
11.； 12.；
11.在平行六面体中，，
且，则________．
【答案】
【解析】因为
所以
所以．故答案为：
12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，空间向量，满足，，则的最大值为________
【答案】4
【解析】由三棱锥是正三棱锥，可得，且，由化简得，根据化简得.
设，代入，，分别化简得且，
因此，点在以为直径的球面上，半径
在以为直径的球面上，半径分别取线段的中点，
则，故，故答案为：4．
二、选择题
13.D； 14.B； 15.B； 16.A
15.个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0．1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】
【解析】设盒子中球的总数为，由题意可知，，解得，
所以估计盒子中红球的个数约为个．故答案为：．
16．，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线恒与平面平行；②异面直线与恒垂直．以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【答案】
【解析】对于①：由于分别为菱形的边，的中点，
所以，由于平面平面，故直线恒与平面平行；
故①正确；对于②，取的中点，连接和，如图所示：
根据菱形的性质，所以，
故平面；由于平面，所以，
由于，所以，故②正确．故选：．
三、解答题
17.证明略
18.（1） （2）
19.（1）0.91 （2）甲分配奖金78.4元，乙分配奖金21.6元
20.如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液。现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上。在倾斜过程中一直保持溶液不会溢出，且设直径所在直线与桌面所成的角为（图②）．
（1）求图②圆柱的母线与液面所在平面所成的角（用表示）；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）如图，过点作，交于，过点作，交延长线于点，过点作，交于，则，
∴图②中圆锥的母线与液面所在平面所成的角为：
图②圆柱的母线与液面所在平面所成的角为；
（2）根据题意，画出图形，如图所示，过作，交所在的直线于，
在直角中，，，
且点在线段上，，此时容器内能容纳的溶液量为：
而容器内原有溶液量为
令，解得
所以，即的最大角为时，溶液不会溢出
21.如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）作面于，连．，又，，
∴，
又，则是正方形，则．
（2）作于，作交于，
则就是二面角的平面角，
因为，
∵是的中点，则，，，
由余弦定理可求得，∴二面角的余弦值为．