2024-2025学年上海宜川中学高一上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

宜川中学2024学年第一学期高一年级数学期末
2025.01
一、填空题
1.已知全集，则_____.
2.不等式的解集_____.
3.化简_____.
4.已知，关于x的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则_____.
5.用和表示，则_____.
6.已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的大小为_____.
7.已知，关于x的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是_____.
8.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是(填序号):_____.
①；②；③；④；⑤；
9..已若，不等式对恒成立，则实数m的取值范围是_____.
10.已知角、均为锐角，且，那么当时，_____.
11.已知函数表达式为，若对于任意正整数，在区间上存在个实数，使得，则的最大值_____.
12.已知函数的定义域为，存在常数使得对任意，都有，且的图像为一条连续不断的曲线，则该函数的值域为_____.二、单选题(本大题满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)
13.古人云“一屋不扫,何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”是“能扫天下”的（ ）条件
A.充分 B.必要 C、充要 D.既非充分也非必要
14.已知且，那么关于的不等式，其解集不可能
是（ ）
A. B. C.(-2,-1) D.(1)
15.对任意实数和正整数，定义集合，集合
，当中的元素个数为4个时，的值不可能是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
16.定义在R上的函数和给定的集合A，若对任意,当时，则称是“A封闭函数”，现给出两个命题：
甲：若是“{1}封闭函数”则是“封闭函数”(是正整数).
乙：若是“[a,b]封闭函数”则不一定是“封闭函数”(、是正整数)，
则（ ）
甲乙都是真命题 B.甲真乙假
C.甲假乙真 D.甲乙都是假命题
三、解答题(本大题满分78分,第17、18、19题每题满分14分,第20、21题满分
17.在中，已知；
（1）若，求该三角形的外接圆半径R；
（2）当时，求该三角形面积的最大值.
18.已知，求；
（1）的值；
（2）的值.
19.已知偶函数表达式为；
（1）求的值；
（2）若函数的图像与函数的图像没有交点，求实数取值范围.
20.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度(单位:毫克/立方米)随着时间(单位:小时)变化的函数关系式近似为；若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和；由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到冷化空气的作用；
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？(结果精确到0.1)
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中；
①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值.
21.定义域为R的函数，对其定义两种变换，甲变换:；乙变换:；
（1）若经甲变换得到，求方程的解；
（2）若经乙变换得到，求不等式的解集；
（3）若在上是严格增函数，将先进行甲变换得到，再将进行乙变换得到，将先进行乙变换得到，再将进行甲变换得到，若对任意恒成立，求证:在R上是严格增函数.
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知函数表达式为，若对于任意正整数，在区间上存在个实数，使得，则的最大值_____.
【答案】
【解析】由题意知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为为正整数，所以（当且仅当时取等号），
所以，
要使成立，则需，即，解得，又因为为正整数，所以的最大值为6
12.已知函数的定义域为，存在常数使得对任意，都有，且的图像为一条连续不断的曲线，则该函数的值域为_____
【答案】
【解析】设，因为，所以，
设，因为
所以具有性质，
令
①若，则函数在存在零点；
②若，即时，当时，
所以在区间存在零点；
③若，即，因为，
所以所以，
当时，，
即所以在区间存在零点；
综上所述，都存在零点，即都有，
即函数的值域为．
二、选择题
13.B； 14.A； 15.B； 16.A
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度(单位:毫克/立方米)随着时间(单位:小时)变化的函数关系式近似为；若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和；由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到冷化空气的作用；
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？(结果精确到0.1)
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中；
①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值.
【答案】（1）6.9 （2）①②28毫克／立方米
【解析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，
空气中净化剂的浓度
当时，由，解得，
当时，由，得
综上所述，即一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时。
（2）①由题意可知，第二次喷达t小时后空气中净化剂浓度为：
即的表达式为
②由①可知，设（，则，
当且仅当，即时取等号，
∴第二次喷洒后2.3小时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克／立方米．
21.（1） （2） （3）证明略