2024-2025学年上海交大附中高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

交大附中2024学年第一学期高二年级数学期末
2025.01
一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分）
1．已知数列的前项和，那么的值为_______．
2．椭圆的焦距为______．
3．若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为______.
4．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是________.
5．已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为______
6．一种卫星接收天线曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处．已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为______米。
7．向量的夹角______．
8．已知，函数有最小值．则的最大值为______．
9．如图，在平行六面体中，，，若为中点，则______．
10．平行直线与间的距离为______．
11．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．
12．已知实系数一元二次方程的两个根满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是______．
二，选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分）
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）。
A．充分非必要条件． B．必要非充分条件．
C．充分必要条件． D．既非充分又非必要条件．
14．直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是( )
A．直线过圆心． B．直线与圆相交，但不过圆心．
C．直线与圆相切． D．直线与圆无公共点．
15．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
16．已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于轴对称．定义：为符合的所有的和，则的值为
A．-34 B．-32 C．62 D．66．
17．本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分
设．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值
（2）若，且在中，角所对的边长为，锐角满足，求的最小值．
18．本题满分14分，第（1）题满分10分，第（2）题满分4分
如图，在直棱柱中，，分别是的中点．
（1）求与平面所成角的大小；
（2）求到平面的距离．
本题满分14分，第（1）题满分7分，第（2）题满分7分
如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）．
（1）若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体）．求半球的表面积和体积；
（2）若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值．
20．本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分
已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆方程；
（2）记椭圆的左右焦点分别为为椭圆上的点，若的面积为的面积为，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分，第（4）题为挑战题，满足10分
已知函数的定义域为．定义：若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质。
（1）幂函数是否具有性质，说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）设，集合函数具有性质．求集合在坐标平面上对应的区域的面积．
（4）（挑战题）设，集合函数具有性质．为集合在坐标平面上对应的区域边界上的点，且不在轴上，求的最小值．
参考答案
一、填空题
1.1； 2.2； 3.； 4.； 5.； 6.2； 7.； 8.-2； 9.； 10.；
11.6； 12.；
11.已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】双曲线，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，所以，
根据圆的几何性质可知，的最小值是，
所以的最小值是
12．已知实系数一元二次方程的两个根满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】①若方程有两个虚数根，设，
所以，
所以．
②若方程有两个实数根，同理有，综上，的取值范围是
二、选择题
13.C； 14.A； 15.D； 16.D
15.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,故选D
16．已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于轴对称．定义：为符合的所有的和，则的值为
A．-34 B．-32 C．62 D．66
【答案】D
【解析】，把函数的图像向左平移个单位长度，得到，因为关于轴对称，即为偶函数，则，则．令，得．所以．选D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆方程；
（2）记椭圆的左右焦点分别为为椭圆上的点，若的面积为的面积为，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即，其中为半焦距，，则，
所以，，解得，
故，故椭圆方程为
（2）设，由，有，
故而，所以，
所以．
又，所以的取值范围是．
（3）①若过点的动直线的斜率不存在，则或，此时．
②若过点的动直线的所率存在，则可设该直线方程为：，
设，，化简整理可得，
故，
故
恒成立，故，解得，若恒成立．
结合①②可知，．
21.已知函数的定义域为．定义：若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质。
（1）幂函数是否具有性质，说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）设，集合函数具有性质．求集合在坐标平面上对应的区域的面积．
（4）（挑战题）设，集合函数具有性质．为集合在坐标平面上对应的区域边界上的点，且不在轴上，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）16 （4）
【解析】（1）任取，有恒成立，所以幂函数是否具有性质.
（2）因为函数具有性质，故对任意，
有恒成立．
由，得，
故，所以，所以，
又令，
故对任意恒成立，
所以且，所以且，
所以，实数的取值范围是
（3）函数具为奇函数，且在上为严格增函数，在上为严格减函数，在上为严格增函数．当时，函数具有性质，
仅需考虑对任意恒成立．
有，即对任意恒成立．
所以．当时，同理有
所以，集合在坐标平面上的对应的区域的面积为．
（4），函数具为奇函数，且在上为严格增函数，
在上为严格减函数，在上为严格增函数．
当时，函数具有性质，不妨
仅需考虑对任意恒成立．
有，对任意恒成立．
所以，
所以区域的边界为，（不包括轴）
设，设
所以，
所以，
，其中．
所以，所以