2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校高二上学期12月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校高二上学期12月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-28 08:18:49 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校高二上学期12月月考
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若点在圆的内部，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
4.圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，过点分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为( )
A. B. C. D.
10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.直线与直线之间的距离为 ．
12.已知椭圆的一个焦点为，则 ．
13.如图，空间四边形中，条棱长都为，且，则 用，表示．
14.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 ．
15.如图，正方体的棱长为，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论：
三棱锥的体积为定值
存在点，使平面；
存在点，使平面平面
设直线与平面所成角为，则的最大值为．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知点、．
求线段的垂直平分线的直线方程；
若点、到直线的距离相等，求实数的值．
17.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，过的平面与棱相交于点．
求证：是的中点；
求点到平面的距离．
18.已知圆与轴相切．
直接写出圆心的坐标及的值；
直线与圆交于两点，求．
19.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点．
求证：平面；
若，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为．
求椭圆的方程；
过右焦点的直线交椭圆于，两点若轴上一点满足，求直线斜率的值．
21.已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”．
若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：线段的中点为，
故线段的垂直平分线的方程为，
即，
由距离公式得：，
即，
解得：或．
17.解：证明：连接，则，
因为平面平面，平面平面
平面平面，，
又因为是棱的中点，所以是的中点．
由知是等腰梯形，且，，，
所以梯形的高为，所以的面积为，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
等腰的面积为
由等体积法得，解得
所以点到平面的距离为．
18.解：圆，
则圆心，因为圆与轴相切，所以半径．
由知，圆的方程为，圆心，半径为．
法一：设，
联立，得，
，
则，
所以；
法二：圆心到直线的距离，
则．
故．
19.证明：取中点，连接，
在中，分别为的中点，所以且，
在菱形中，因为且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
解：选择条件：
因为平面，平面，
所以．
连接，因为，且，
所以，在菱形中，，即为正三角形，
又因为为中点，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为为正三角形且，所以，
则，则，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
选择条件：
因为平面，且平面，所以．
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
连接，因为，所以，又因为为中点，所以，
所以为正三角形且，所以，
则，则，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
20.解：Ⅰ椭圆，
由题意知，，
，，，
椭圆的标准方程为．
Ⅱ已知，当直线的斜率不存在时不满足题意，
设直线的方程为，，，
联立直线与椭圆的方程，化简得，，
，，
的中点坐标为，
当时，的中垂线方程为，
，点在的中垂线上，
将点的坐标代入直线方程得，即，解得或．
当时，的中垂线方程为，满足题意．
斜率的取值为，，．
21.将分为、、满足条件，则是完美集合．
将分成个，每个中有两个元素，则，，
中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求，
故不是“完美集合”；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合．
故的可能值为、、中任一个；
证明：中所有元素之和为
，
因为，所以，，
所以，，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或．
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
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数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若点在圆的内部，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
4.圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，过点分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为( )
A. B. C. D.
10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成若，，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中是的五等分点，则转播台应建在( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.直线与直线之间的距离为 ．
12.已知椭圆的一个焦点为，则 ．
13.如图，空间四边形中，条棱长都为，且，则 用，表示．
14.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 ．
15.如图，正方体的棱长为，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论：
三棱锥的体积为定值
存在点，使平面；
存在点，使平面平面
设直线与平面所成角为，则的最大值为．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知点、．
求线段的垂直平分线的直线方程；
若点、到直线的距离相等，求实数的值．
17.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，过的平面与棱相交于点．
求证：是的中点；
求点到平面的距离．
18.已知圆与轴相切．
直接写出圆心的坐标及的值；
直线与圆交于两点，求．
19.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点．
求证：平面；
若，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知．求二面角的大小．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为．
求椭圆的方程；
过右焦点的直线交椭圆于，两点若轴上一点满足，求直线斜率的值．
21.已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”．
若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：线段的中点为，
故线段的垂直平分线的方程为，
即，
由距离公式得：，
即，
解得：或．
17.解：证明：连接，则，
因为平面平面，平面平面
平面平面，，
又因为是棱的中点，所以是的中点．
由知是等腰梯形，且，，，
所以梯形的高为，所以的面积为，
设到平面的距离为，到平面的距离为，
等腰的面积为
由等体积法得，解得
所以点到平面的距离为．
18.解：圆，
则圆心，因为圆与轴相切，所以半径．
由知，圆的方程为，圆心，半径为．
法一：设，
联立，得，
，
则，
所以；
法二：圆心到直线的距离，
则．
故．
19.证明：取中点，连接，
在中，分别为的中点，所以且，
在菱形中，因为且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
解：选择条件：
因为平面，平面，
所以．
连接，因为，且，
所以，在菱形中，，即为正三角形，
又因为为中点，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为为正三角形且，所以，
则，则，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
选择条件：
因为平面，且平面，所以．
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
连接，因为，所以，又因为为中点，所以，
所以为正三角形且，所以，
则，则，
由平面，可得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
20.解：Ⅰ椭圆，
由题意知，，
，，，
椭圆的标准方程为．
Ⅱ已知，当直线的斜率不存在时不满足题意，
设直线的方程为，，，
联立直线与椭圆的方程，化简得，，
，，
的中点坐标为，
当时，的中垂线方程为，
，点在的中垂线上，
将点的坐标代入直线方程得，即，解得或．
当时，的中垂线方程为，满足题意．
斜率的取值为，，．
21.将分为、、满足条件，则是完美集合．
将分成个，每个中有两个元素，则，，
中所有元素之和为，，而为整数，不符合要求，
故不是“完美集合”；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合；
若集合，，根据完美集合的概念知集合．
故的可能值为、、中任一个；
证明：中所有元素之和为
，
因为，所以，，
所以，，
因为为正整数，则可以被整除，
所以，或，即或．
故集合为“完美集合”的一个必要条件是或．
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