云南省昭通市镇雄县第四中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

云南省镇雄县第四中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { ∈ | 1 < < 2}， = { | 2 2 = 0}，则 ∪ =( )
A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2}
2.复数 = ( 1 2 )的共轭复数为( )
A. 2 B. 2 + C. 2 + D. 2
3.高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：
①有人通过了体能测试；
②同学甲没有通过体能测试；
③有人没有通过体能测试．
若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是( )
A. 只有1名同学通过了体能测试 B. 只有1名同学没有通过体能测试
C. 30名同学都通过了体能测试 D. 30名同学都没通过体能测试
4.已知一组数据：3，5，7， ，9的平均数为6，则该组数据的40%分位数为( )
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
1
5.函数 ( ) = + ln(2 3 )的定义域为( )
√
2 2 2 2
A. (0, ) B. [0, ) C. (0, ] D. [0, ]
3 3 3 3
6.已知 ( )是定义域为( 1,1)的奇函数，而且 ( )是减函数，如果 ( 2) + (2 3) > 0，那么实数 的
取值范围是( )
5 5 5
A. (1, ) B. ( ∞, ) C. (1,3) D. ( , +∞)
3 3 3
, > 0 1
7.设 = sin( )，函数 ( ) = { ，则 (log )的值等于( )
6 ( ), < 0 2 6
1 1
A. B. 4 C. D. 6
4 6
8.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世
代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： ( ) = 描述累
计感染病例数 ( )随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率 与 0、 近似满足 0 = 1 + .有学者基于已
有数据估计出 0 = 3.28， = 6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为
( 2 ≈ 0.69)( )
A. 1.8天 B. 2.4天 C. 3.0天 D. 3.6天
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,3)， = (3, 1)，下列命题中正确的有( )
A. = √ 10 B. //
C. ⊥ D. | + | = | | + | |
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2
B. 若 2 < < 3，1 < < 2，则 4 < < 2

C. 若 < < 0， < 0，则 >

D. 若 > ， > ，则 >
11.如图，线段 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， // ，矩形 所
在平面和圆 所在平面垂直，且 = 2， = = 1，则下列说法正确
的是( )
A. //平面
B. ⊥平面
C. 三棱锥 外接球的体积为√ 5
D. 三棱锥 外接球的表面积为5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个
容量为150的样本，则应在高一抽取______人．
3
13.已知sin( ) + 2 ( ) = ，则sin2 + =______．
2

14.函数 ( ) = ( > 0, > 0)的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数“，并把其图象与 轴的交
| |
点关于原点的对称点称为“囧点”.以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”的图象有公共点的圆，皆称之为
“囧圆”，当 = 1， = 1时，函数 ( )的“囧点”坐标为______；此时函数 ( )的所有“囧圆”中，面积
的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧棱 1 ⊥底面 ， ⊥ ， 为 的中点， 1 = = 2， = 3．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求三棱柱 1 1 1的表面积．
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16.(本小题15分)
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件 ：“两数之和为8”，事件 ：“两数之和是3的倍数”，
事件 ：“两个数均为偶数”．
(1)写出该试验的样本空间 ，并求事件 发生的概率；
(2)求事件 发生的概率；
(3)事件 与事件 至少有一个发生的概率．
17.(本小题15分)
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 和195 之间，将测量结果
按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法
得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 ， ，事件 = {|
| ≤ 5}，求 ( )．
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18.(本小题17分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，在条件①2 + = 2 ，②( + )( ) = (
+
) ，③ = 中任选一个解答．
2
(1)求角 ；
(2)若 + = 6， = 2√ 6，求△ 的面积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = ，点 是 的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；

(2)在线段 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在请求出点 的位置；若不存在，
6
请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】40
3
13.【答案】
5
14.【答案】(0,1) 3
15.【答案】(1)证明：连接 1 ，交 1于点 ，连接 ，所以 是 1 的中点，所以 // 1，
又因为 1 平面 1 ， 平面 1 中，所以 1//平面 1 ；
(2)解：三棱柱 1 1 1的表面积为
= 2 △ + 正方形 + + 1 1 矩形 1 1 矩形 1 1
1
= 2 × × 2 × 3 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × √ 22 + 32
2
= 16 + 2√ 13．
16.【答案】解：(1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
= {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
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(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有36个样本点，
事件 ：“两数之和为8”，事件 所含的样本点有：
(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个样本点，
5
∴事件 发生的概率为 ( ) = ．
36
(2)事件 ：“两数之和是3的倍数”，
事件 所含的样本点有12个，分别为：
(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，
12 1
∴事件 发生的概率 ( ) = = ．
36 3
(3)事件 与事件 至少有一个发生所含的样本点有11个，分别为：
(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，
11
∴事件 与事件 至少有一个发生的概率为 ( ∪ ) = ．
36
4
17.【答案】解：(1)第六组的频率为 = 0.08，
50
∴第七组的频率为1 0.08 5 × (0.008 × 2 + 0.016 + 0.04 × 2 + 0.06) = 0.06．
(2)由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008 × 5 = 0.04，
身高在第二组[160,165)的频率为0.016 × 5 = 0.08，
身高在第三组[165,170)的频率为0.04 × 5 = 0.2，
身高在第四组[170,175)的频率为0.04 × 5 = 0.2，
由于0.04 + 0.08 + 0.2 = 0.32 < 0.5，0.04 + 0.08 + 0.2 + 0.2 = 0.52 > 0.5，
设这所学校的800名男生的身高中位数为 ，则170 < < 175，
由0.04 + 0.08 + 0.2 + ( 170) × 0.04 = 0.5得 = 174.5，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 ，
平均数为157.5 × 0.04 + 162.5 × 0.08 + 167.5 × 0.2 + 172.5 × 0.2 + 177.5 × 0.06 × 5 + 182.5 × 0.08 +
187.5 × 0.06 + 192.5 × 0.008 × 5 = 174.1．
(3)第六组[180,185)的抽取人数为4，设所抽取的人为 ， ， ， ，
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第八组[190,195]的抽取人数为0.008 × 5 × 50 = 2，设所抽取的人为 ， ，
则从中随机抽取两名男生有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15种
情况，
因事件 = {| | ≤ 5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ， ， 共7种情况．
7
所以 ( ) = ．
15
18.【答案】解：(1)若选择条件①：∵ 2 + = 2 ，
∴在△ 中，由正弦定理得2 + = 2 ，
又 = sin( + ) = + ，
∴ 2 + = 0，
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
1
故 = ，
2
又 ∈ (0, )，
2
∴ = ；
3
若选则条件②：∵ ( + )( ) = ( ) ，
∴由正弦定理得( + )( ) = ( ) ，即 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
∴ = = = ，
2 2 2
∵ ∈ (0, )，

∴ = ；
3
+
若选择条件③：∵ = ，
2
+
∴由正弦定理得 = ，
2
∵ 0 < < ，∴ ≠ 0，
+
∴ sin = ，
2
又 + = ，

∴ cos = 2 cos ，
2 2 2

∵ 0 < < ，0 < < ，
2 2
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1
∴ cos ≠ 0，∴ sin = ，即 = ，
2 2 2 2 6

故 = ；
3
(2)选择条件①：由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 + ， = 2√ 6， + = 6，
故 = 12，
1 1 2
∴ △ = = × 12 × sin = 3√ 3； 2 2 3
选择条件②或③：由余弦定理得 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 ， = 2√ 6， + = 6，
故 = 4，
1 1
∴ △ = = × 4 × sin = √ 3． 2 2 3
19.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 是正方形，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面平面 ，所以 ⊥ ，
又 = ，点 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)因为 是正方形，所以 ⊥
又 ⊥平面 ， ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点， , , 分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 = = 2，则 (1,0,1)， (0,0,0)， (0,2,0)， (0,0,2)，
= (1,0,1), = (0,2,0), = (0,2, 2), = ( 1,0,1)，
设 = = (0,2 , 2 ), (0 ≤ ≤ 1)，
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则 = + = ( 1,2 , 1 2 )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = + = 0则{ ，则{ ，
⊥ = 2 = 0
令 = 1得 = (1,0, 1)，

若直线 与平面 所成的角为 ，
6
| | | 1 1+2 | 1
则sin = = =6 | || | √ 2 2 2
，
1+4 +(1 2 )
1 7
解得 = 或 = (舍去)，
2 2
1
故 = ，即 线段 中点时，
2

直线 与平面 所成的角为 ．
6
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