山东省青岛市第三十九中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

山东省青岛市第三十九中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将直线 1： + 1 = 0绕点(0,1)逆时针旋转90°得到直线 2，则 2的方程是( )
A. + 2 = 0 B. + 1 = 0 C. 2 + 2 = 0 D. 2 + 1 = 0
2 2
2.已知双曲线 : + = 1，则“它的渐近线方程为 = ±2 ”是“它的离心率为√ 5”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在正四面体 中，棱长为2，且 是棱 中点，则 的值为( )
7
A. 1 B. 1 C. √ 3 D.
3
4.根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温(单位：
℃)记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有( )
A. 平均数小于4且中位数小于或等于3 B. 平均数小于4且极差小于或等于3
C. 平均数小于4且标准差小于或等于4 D. 众数等于6且极差小于或等于4
5. 为直线 = 2上一点，过 总能作圆 2 + 2 = 1的切线，则 的最小值( )
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
2 2
6.已知双曲线 与椭圆 : + = 1有公共焦点，且左、右焦点分别为 1， 2，这两条曲线在第一象限的交25 21
点为 ，△ 1 2是以 1为底边的等腰三角形，则双曲线 的标准方程为( )
2 2 2 2 2
A. 2 = 1 B. = 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
3 9 5 3 3

7.设动点 在棱长为1的正方体 1 1 1
1
1的对角线 1上， = ，当∠ 为 1
锐角时， 的取值范围是( )
1
A. [0, )
3
1
B. [0, )
2
1
C. ( , 1)
3
1
D. ( , 1)
2
8.设 为坐标原点，直线 过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 且与 交于 ， 两点(点 在第一象限)，
| |min = 4， 为 的准线， ⊥ ，垂足为 ， (0,1)，则下列说法正确的是( )
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A. = 4
B. | | + | |的最小值为2

C. 若∠ = ，则| | = 5
3
D. 轴上存在一点 ，使 + 为定值
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 (2,2)， (1,0)， (3, 2)，且四边形 是平行四边形，则( )
A. 直线 的方程为 + 4 = 0 B. = (1,2)是直线 的一个方向向量
C. | | = 4 D. 四边形 的面积为3
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如
图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于
[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10，则( )
A. = 0.004
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二，较大部分与全长的比
2 2
值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”.若黄金双曲线 ： = 1( > >
2 2
0)的左右两顶点分别为 1， 2，虚轴上下两端点分别为 1， 2，左右焦点分别为 1， 2， 为双曲线任意
一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点.设双曲线 的离心率为 ，则下列说法正确的有( )
√ 5+1
A. = B.
2
2
=
C. 直线 1 2与双曲线 的一条渐近线垂直 D. | 1 2| | 1 2| = | |
2
1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，
发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有
200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人(用分层抽样的方法)，则北面共有 人.
13.已知直线 1： + = 0( ∈ )与直线 2： + 2 2 = 0相交于点 ，点 是圆( + 2)
2 + ( +
3)2 = 2上的动点，则| |的最大值为__________．
2 2
14.已知椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)， 1， 2分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的下顶点，直线 2交椭圆
于另一点 ，若| 1| = | |，则椭圆的离心率为______
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = ( 2, 1,2), = ( 1,1,2), = ( , 2,2)．
(1)当| | = 2√ 2时，若向量 + 与 垂直，求实数 和 的值;
(2)若向量 与向量 , 共面，求实数 的值．
16.(本小题15分)
某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点
位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且
通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小
1 4
明在甲处投篮命中率为 ，在乙处投篮命中率为 ，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
4 5
(1)求小明得3分的概率；
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
17.(本小题15分)
已知直线 ： = + ( ≠ 0)与抛物线 2 = 4 交于 ， 两点，且∠ = 90°．
(1)求 ， 两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求△ 面积的最小值．
18.(本小题17分)
已知以点 ( 1,2)为圆心的圆与直线 1: + 2 + 7 = 0相切，过点 ( 2,0)的直线 与圆 相交于 、 两点，
是 的中点，| | = 2√ 19．
(1)求圆 的标准方程；
(2)求直线 的方程；
(3) ( , )为圆上任意一点，在(1)的条件下，求( + 1)2 + ( + 3)2的最小值．
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19.(本小题17分)
在平面直角坐标系 中，已知点 ( 1,0), (1,0),点 满足| | + | | = 2√ 3.记 的轨迹为 ．
(1)求 的方程;
(2)已知直线 : = + ，若点 ( √ 3, 0)关于直线 的对称点 (与 不重合)在 上，求实数 的值;
(3)设直线 ′的斜率为 ，且与 有两个不同的交点 , ，设 ( 2,0)，直线 与 的另一个交点为 ，直线 与
7 1
的另一个交点为 ，若点 , 和点 ( , )三点共线，求实数 的值．
4 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】100
13.【答案】5 + 2√ 2
√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)因为| | = √ 2 + 22 + 22 = 2√ 2，
所以 = 0．
+ = ( 2 1,1 , 2 + 2)，
因为向量 + 与 垂直，
所以( + ) = 0，
即0 × ( 2 1) + 2(1 ) + 2(2 + 2) = 0，
即2 + 6 = 0，解得 = 3，
所以实数 的值为 3．
(2)因为向量 与向量 , 共面，
所以 = + ( , ∈ )，
因为( , 2,2) = ( 2, 1,2) + ( 1,1,2)，
1
=
= 2 21
{2 = ，所以 = ,
2 = 2 + 2
2
3
{ = 2
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1
所以实数 的值为 ．
2
16.【答案】解：(1)设小明在甲处投进为事件 ，在乙处投进为事件 ，
1 4
于是 ( ) = ， ( ) = ，
4 5
1 1 1 1
小明得3分的概率 = ( ) = ( ) ( ) ( ) = × × = ．
4 5 5 100
(2)小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
1 = ( ) + ( ) + ( ) =
4 4 1 4 4 4 1 4 112
× + × × + × × = ，
5 5 5 5 5 5 5 5 125
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
1 4 1 1 4 3 4 4 18
2 = ( ) + ( ) + ( ) = × + × × + × × = ， 4 5 4 5 5 4 5 5 25
112 18 22
1 2 = = > 0，所以选择都在乙处投篮通过率更大． 125 25 125
17.【答案】解：(1)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为直线 ： = + ( ≠ 0)，
所以 1 2 ≠ 0，
因为∠ = 90°，
所以 ⊥ ，
所以 1 2 + 1 2 = 0，
因为 21 = 4 1，
2
2 = 4 2，
2 2
所以 1

2 + 1 2 = 0， 4 4
所以 1 2 = 16， 1 2 = 16．
(2)令直线 ： = + ( ≠ 0)中 = 0，
可得直线与 轴交点 ( , 0)，
= +
联立{ ，得 2 4 4 = 0，
2 = 4
所以 1 2 = 4 ，
由(1)知 1 2 = 16，
所以 = 4，即 点的坐标为(4,0)，
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1
所以 △ = △ + △ = | |(| 1| + | 2|) 2
= 2( 1| + | 2|) ≥ 2 × 2√ | 1|| 2| = 16，
当且仅当| 1| = | 2| = 4时，等号成立，
所以△ 面积的最小值为16．
| 1+4+7|
18.【答案】解：(1)由题意可知，圆 的半径为 = = 2√ 5，
√ 5
因此，圆 的标准方程为( + 1)2 + ( 2)2 = 20；
| |
(2)由题意可知，圆心 到直线 的距离为 = √ 2 ( )2 = 1，
2
①当直线 ⊥ 轴时，直线 的方程为 = 2，此时圆心 到直线 的距离为1，合乎题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = ( + 2)，即 + 2 = 0，
| 2+2 | | 2| 3
由题意可得 = = = 1，解得 = ，
√ 2
4
+1 √
2
+1
3
此时，直线 的方程为 = ( + 2)，即3 4 + 6 = 0；
4
综上所述，直线 的方程为 = 2或3 4 + 6 = 0；
(3)记点 ( 1, 3)，则| |2 = ( + 1)2 + ( + 3)2，
∵ ( 1 + 1)2 + ( 3 2)2 > 20，所以，点 在圆 外，如下图所示：
由图可知，当 为线段 与圆 的交点时，| |取最小值，且 | |min = | | = 5 2√ 5 ，
因此， ( + 1)2 + ( + 3)2 的最小值为(5 2√ 5)2 = 45 20√ 5．
19.【答案】解：(1)由椭圆的定义可知，点 的轨迹为椭圆，
则 = 1， = √ 3，∴ 2 = 2 2 = 2，
2 2
∴ : + = 1．
3 2
(2) ∵ 与 关于直线 对称， ( √ 3, 0)，
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2 2
设 : = √ 3，与椭圆方程 : + = 1，
3 2
联立得：5 2 + 6√ 3 + 3 = 0，
设 ( 0, 0)为 中点，
3√ 3 2√ 3 3√ 3 2√ 3
∴ 0 = ， 0 = ，即 ( , ). 5 5 5 5
√ 3
又∵点 在直线 上，所以 = ．
5
(3)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
2 2 21 1
2
则有 + = 1， 2 + 2 = 1，
3 2 3 2

∵ ( 2,0)，则 11 = = ， : = 1( + 2)， 1+2
= 1( + 2)
{ 2 2 联立得：(2 + 3 2 1)
2 + 12 21 + 12
2
1 6 = 0，
+ = 1
3 2
2
12
所以 + 11 3 = 2，
2+3 1
2
2
12 12(
1 )
即 = 1
+2 7 12
3 2
1
1 = 2
1
1 = ，
2+3 2+3( 1 ) 4 1+71 1+2
1 7 1 12 ∴ 13 = ，∴ ( , )， 4 1+7 4 1+7 4 1+7
7 12
同理可得： ( 2 , 2 )，
4 2+7 4 2+7
7 1 12 7 1 1 1 1 1∴ = ( + , ) = ( , )，
4 1+7 4 4 1+7 2 4(4 1+7) 4 1+7 2

1 1
= ( , 2 )，
4(4 2+7) 4 2+7 2
∵C、 、 三点共线，∴ // ．
1 1 1 1
∴ ( 2 ) ( 1 ) = 0，
4(4 1+7) 4 2+7 2 4(4 2+7) 4 1+7 2

化简得 2 12 1 = 2( 2 1)，∴ = = 2． 2 1
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