2024-2025学年北京市西城区第一六一中学高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第一六一中学高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.曲线经过的一点是( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线的倾斜角大于”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知为椭圆上的动点，，且，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁共名同学参加某知识竞赛，已决出了第名到第名没有并列名次，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第名”，从这个回答分析，人的名次排列情况种数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在同一平面内，，为两个不同的定点，圆和圆的半径都为，射线交圆于点，过点作圆的切线，当变化时，与圆的公共点的轨迹是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
8.已知向量，若共面，则等于( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆，双曲线设椭圆的两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆一个交点为，若且，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，点是底面正方形内的动点包括边界，则下列选项正确的是( )
A. 不存在点满足
B. 满足的点的轨迹长度是
C. 满足平面的点的轨迹长度是
D. 满足的点的轨迹长度是
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.双曲线的渐近线方程为 ；若抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则 ．
12.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 ．
13.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有 种．
14.将正方形沿对角线折成直二面角，则直线与平面所成角的大小为 ；异面直线与所成角的大小为 ．
15.已知为坐标原点，直线与直线相交于点，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知圆心坐标为的圆与轴相切．
求圆的方程；
设直线与圆交于，两点，从条件，条件中选择一个作为已知，求的值．
条件；条件：．
17.如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点，，分别为，，的中点，平面棱．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.己知椭圆过点，且的离心率为．
求椭圆的方程：
过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
19.如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，．
求证：；
若与平面的所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
参考答案
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14.
15.．
16.由题意可得：圆的圆心坐标为，半径为，
故圆的方程为．
若选：圆心到直线的距离，
则，解得．
若选：圆心到直线的距离，
则，解得．

17.分别是中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面棱所以平面平面，
又因为平面，所以；
底面，又底面，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
又点，，分别为，，的中点，所以，
，
设平面的一个法向量是，
则，取，得，
显然平面的一个法向量是，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：Ⅰ由题意得解得
所以椭圆的方程为．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，直线：与椭圆交于，两点，
所以，所以．
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由得，
且．
设，，
则，，
所以
，
令，则，
所以
当，即时，取最大值．
综上所述，的取值范围是．
19.因为是正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
取中点，连接，
因为，所以，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，的方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
由已知，解得负值舍去，
则，
所以点到平面的距离为．

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