安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题（合肥一模）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，若为实数，则( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和若，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知向量，，满足，且，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知为圆上的动点不在坐标轴上，过作轴，垂足为，将绕轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段的长度为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有( )
A. 平面
B.
C. 四面体的体积为定值
D. 存在点，使得平面平面
10.某同学两次实验得到的数据如下表实验一所得的样本相关系数为，关于的经验回归方程为实验二所得的样本相关系数为，关于的经验回归方程为，下列结论中正确的是( )
实验一
实验二
参考公式：样本相关系数，
A. B. C. D.
11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点对于“优美曲线”，则( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线有个顶点
C. 曲线与直线有个交点
D. 曲线上动点到原点距离的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 用数字作答．
13.袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下个小球的概率为 ．
14.已知抛物线的焦点为，准线为过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，则的面积是面积的 倍
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，已知B.
证明：
若为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在正三棱台中，，．
若，证明：平面
若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，其中．
讨论的单调性
若函数有两个极值点，，证明：．
18.本小题分
已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，点在点的左侧．
求曲线的方程
若直线与圆相切，且与曲线交于，两点点在轴左侧，点在轴右侧．
(ⅰ)若直线与直线和分别交于，两点，证明：
(ⅱ)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．
19.本小题分
正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用设，为正整数若正整数序列满足，且，，则称为的一个部划分记为的所有部划分的个数．
计算：，
证明：
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：由正弦定理及，知，
即，
所以，
所以或，
因为，，所以，即．
解：由知，，所以，，故，
故．
16.【答案】解：如图所示，过点作，交于点，
易知四边形为平行四边形．
所以，，所以．
又，所以，即故，
同理可得．
又直线与相交，且直线与都在平面内，
所以平面B.
以的中点为原点，，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系取线段中点，
，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，，
故．
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
故，
所以，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.【答案】解：函数定义域为，且，，
令，
当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减；
当，即时，函数有两个零点：，，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增 单调递减
所以，当时，在内单调递增，
在和上单调递减；当时，在上单调递减；
由知，当时，有两个极值点，，
则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，
所以，
，
令，，
则，
当时，，则在区间上是单调递减，
从而，
故．
18.【答案】解：设圆，的交点为，则，，
因为，所以，
故点的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线的方程为．
要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合．
设，，其中，
由条件，直线的斜率存在，设的方程为．
因为直线与圆相切，
所以，即
联立，消去并整理得，
所以
从而线段的中点横坐标为．
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
由条件，，即，
所以，
由题意知，，．
所以
，
即为定值．
19.【答案】解：的所有部划分为：，，
的所有部划分为：，．
所以，．
设是的一个部划分分两种情形讨论．
若，则为的一个部划分．
故满足的的所有部划分有．
若，则为的一个部划分．
故满足的的所有部划分有个．
综上可知，．
由可知，
，
，
，
上述各式左右对应相加可得
，
又因为，
所以．
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