湖北部分名校·新高考协作体·2025届高三1月联考高三数学试题（含答案）

湖北部分名校·新高考协作体·2025届高三1月联考高三数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
3.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数与函数的图象关于直线对称若在区间内单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.作边长为的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前个内切圆的面积之和为( )
A. B. C. D.
7.若是奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的顶点为，为底面圆的直径，，，点在圆上，则( )
A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为
C. 三棱锥体积的最大值为 D. 该圆锥内部最大的球的半径为
10.某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有( )
A. 曲线关于轴对称
B. 点在曲线的内部
C. 若点在上，则
D. 曲线上到直线和到点的距离相等的点有无穷多个
11.已知函数，则下列命题中正确的是( )
A. 是的极小值点
B. 有可能有三个零点
C. 当时，
D. 若存在极大值点，且，其中，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于随机事件，，若，，，则 ．
13.如图所示，已知中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则 ．
14.如图所示，四边形是边长为的正方形在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形，在转动过程中保持平面且，若平面与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，若，
求
若，为数列的前项和，求
16.本小题分
记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
已知边，求的取值范围．
17.本小题分
如图在多面体中，四边形是菱形，，平面，，．
若为中点，证明：平面
在棱上有一点，且到平面的距离为，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线的上下顶点分别是、，过其上焦点的直线与双曲线的上支交于、两点在轴左侧．
求直线斜率的取值范围；
若，求直线的方程；
探究直线和直线的斜率之比是否为定值若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由．
19.本小题分
年，洛必达在他的著作无限小分析一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件：
，
在点的去心邻域内与可导，且
，那么据此回答下面问题：
求的值，并用导数的定义证明：
已知
求函数的单调递减区间
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
当时，，
当时，，
，
，
，
又，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
又时也满足上式，
；
，
，
，

16.【答案】解：由，
可得，
即，
所以，即，
因为，所以，又，所以；
由正弦定理可得，
，
因为为锐角三角形，则，解得，
，，
，
所以的取值范围是
17.【答案】解：证明：连接交于，连接，，
是菱形，，且是的中点，
且，，，
且，四边形是平行四边形，，
又平面，平面，，
又因为，且、平面，
平面，平面，
又平面，，
四边形是菱形，，，
，为中点，
，又因为，且、平面，
平面；
，平面，
平面且，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得到，，
故平面的一个法向量为，
在棱上，设，
点到平面的距离，
，故，
又，，
设平面的法向量为，
，
取，得，，
故平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
，
综上，二面角的正弦值为．
18.【答案】解：当直线的斜率不存在时，
此时直线与双曲线交于上下顶点，与题意矛盾；
故直线的斜率一定存在，
可设直线的方程为：，，，
联立，得，
所以，
令，解得；
依题，解得，
因为，
所以，故，
直线方程为；
，，
，
由，可知，
代入上式得为定值．
19.【答案】解：，
依据导数的定义：
因为，定义域为，
所以，
令，解之得：，
所以的单调递减区间为，
因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立，
所以，当时，原式可转化为恒成立，
令，即，
因为，
令，
，
当时，，
，在上单调递减，
所以，
即时，
所以在上单调递减，
，
所以，
当时，
因为，
所以，
所以，
所以，
综上可知：实数的取值范围为
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