湖南省长沙市2025届高三上学期新高考适应性考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则复数的值是( )
A. B. C. D.
2.若空间中三条不同直线，，满足，且，则直线与直线必定( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面
3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.若在区间上是增函数，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，若于，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线上两点，满足，若线段的中点的纵坐标的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数若在存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量相关部门从工厂随机抽查了名工人在某天内加工该产品的数量现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 样本观测数据的极差不大于
B. 样本观测数据落在区间上的频率为
C. 样本观测数据的平均数大于中位数
D. 若将工人每天加工产品的最少数量设为，估计的工人能完成任务
10.已知是等比数列的前项和，满足，，成等差数列，则( )
A. ，，成等比数列 B. ，，成等差数列
C. ，，成等比数列 D. ，，成等差数列
11.已知函数的定义域为，若存在常数与，且，使得任意，恒有，则称函数是广义周期函数下列说法正确的有( )
A. 一次函数为常数是广义周期函数
B. 若是广义周期函数，则存在实数，使得是周期函数
C. 若有两个不同的对称中心，则是广义周期函数
D. 若与都是广义周期函数，则也是广义周期函数
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程是 ．
13.如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台若，则该圆台的体积为 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为，
求甲同学到第三天才预约成功的概率
记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，，，且，设与的交于点．
证明：平面
若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，其中．
若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值
若是的极小值点，证明：．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点为，焦距为，且离心率为．
求椭圆的方程
直线与椭圆交于，两点，点为的外心．
(ⅰ)若为等边三角形，求点的坐标
(ⅱ)若点在直线上，求点到直线的距离的取值范围．
19.本小题分
已知无穷数列满足对于集合，定义若，则若，则．
若，，求集合
若，集合，，且，求中元素个数的可能值
若，集合，，，，对任意的，，，满足，且，证明：．
答案和解析
1.
【解析】解：．
故选：．
2.
【解析】解：根据直线平行的性质可知，
若，，则垂直，
与可能相交，也可能异面，只有C正确．
故选C．
3.
【解析】解：，
由三角函数的定义知，．
故选：．
4.
【解析】解：由图象知，在上单调递增，
根据导函数与原函数的关系，可知，排除
的图象在时趋于平缓，所以，排除．
故选：．
5.
【解析】解：，
由得函数增区间为，
根据题意得，则，则，
故选A．
6.
【解析】解：设，
，，，
，
又，，
，
即，
，
即，解得：，
因为、、三点共线，所以，
故，，．
故选：．
7.
【解析】解：如图，过，，分别作准线的垂线，垂足为，，，
则，即，有．
当直线过焦点时，，即，解得．
故选：．
8.
【解析】
解：由题意，当时，，单调递增，在上的最小值为，
当时， ，单调递减，在上无最小值．
则由已知得 ，即 ，
设 ，
易知该函数为增函数，且 ，
从而，即实数的取值范围是，
故选D．
9.
【解析】解：对于，据频率分布直方图可得最小数值不小于，而最大数值小于，所以极差不大于，A正确；
对于，样本观测数据落在区间上的频率为，B错误；
对于，观测数据的平均数为，
设观测数据的中位数为，则，解得，C正确；
对于，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为，则估计的工人能完成任务，D正确．
故选：．
10.
【解析】解：由，，成等差数列，可知公比，且，
即，解得．
易知，，成等比数列
又，，，
满足，则，，成等差数列，即选项A、B正确．
而，，，
满足，但，则，，成等差数列，但，，不成等比数列，即选项C错误，选项D正确．
11.
【解析】解：对于，，
所以一次函数为常数是广义周期函数，A正确；
对于，若是广义周期函数，则，
令，则，所以，
所以是周期函数，B正确；
对于，设有两个对称中心，，且，
则，，
所以，
令，，所以是广义周期函数，C正确；
对于，若与都是广义周期函数，只有两个的比值是有理数时才是广义周期函数．
例如，是广义周期函数，不是广义周期函数．
证明：设，，有，，
则与都是广义周期函数，
但不是广义周期函数．
理由：假设存在，使得，
即，
有
令，则
令，则
令，则．
由可知，，
即，
即，
则，
代入可得，矛盾，即选项D错误，
故选：．
12.
【解析】解：设线段的中点为，则，，
由题意知，
即，
整理得：，
即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
故线段的中点的轨迹方程为：．
故答案为：．
13.
【解析】解：已知圆心角，，，
对于扇形，弧长，对于扇形，弧长，
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，因为扇环围成圆台后，上底面圆周长，可得下底面圆周长，可得，
设圆台的母线长为，因为，所以，
根据圆台的轴截面是等腰梯形，设圆台的高为，由勾股定理可得
，
圆台体积
．
14.
【解析】解：设，
由余弦定理可得，
所以，
所以．
因为，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
因为的外接圆半径为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，当且仅当且时等号成立．
故答案为．
15.解：设“甲同学到第三天才预约成功”为事件，
则
因为为甲同学预约门票的天数，
所以的取值可以是，，，
则，
，
，
所以的分布列为
期望．
16.解：证明：在平行六面体中，，
底面是边长为的菱形，
，
，，，
平面，
平面，
，
，，，
，
，
点为线段中点，
，
，，都在平面上，
平面；
由以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，且，
则，，，，有，，
设平面的法向量，
则，令，
解得其中一个法向量．
从而，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：，
，
所以切线方程为，即，
当时，当时，；
已知切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，则，即，
解得；
令，，则，
由，解得，
当时，，则单调递减
当时，，则单调递增；
可得．
若，，即，则，
可得函数单调递增此时，无极值．
若，，，
且，
可知，存在，，满足，使得．
当时，，即，则单调递增
当时，，即，则单调递减
当时，，即，则单调递增．
此时，有两个极值点，且是其极小值点，即从而，．
18.解：因为椭圆的焦距为，且离心率为，
所以，解得
因此，
所以椭圆的方程为：．
因为直线与椭圆交于、两点，
点为椭圆的左顶点，即，
因为为等边三角形，
所以由椭圆的对称性知：直线与轴垂直，
因此设，，
所以，解得舍去或．
方法由等边三角形的重心与外心重合，
可知，则点的坐标为．
方法由，即，解得，则点的坐标为．
方法直线的斜率为，线段的中点为，
则线段的中垂线方程为，即．
令，解得，则点的坐标为．
(ⅱ)当直线的斜率为时，线段的中垂线为轴，不合题意．
当直线的斜率不为时，设直线，
联立椭圆方程得．
由，即，解得
且，．
令，分别为线段，的中点，
则，，
可得线段的中垂线方程为，即
同理可得线段的中垂线方程为．
联立，解得
．
由．，可得，即，
代入不等式，且，
解得且，则．
点到直线的距离．
设函数，，
则在单调递减，在单调递增，
可得，进而得到
综上可知，点到直线距离的取值范围是
19.解：由，，，，，，
可知只有，
则．
当时，，则，即中元素个数为个．
当时，同上．
当，且时，必有，
否则．
若，由，
可知，此时．
若元素只属于集合与之一，不失一般性，假设，且，
令，将集合中去掉元素，设为，
则．
若，由，可知，
此时，，可知．
若元素只属于集合与之一，不失一般性，假设，且，
令，将集合中去掉元素，设为，
则．
类似以上操作，一直进行下去，
可知只可能为，，，，．
综上所述，集合中元素个数的可能值为或．
首先证明：若，且，则．
令中最小元素为，最大元素为
中最小元素为，最大元素为．
由，可知
如果，有，
由得和，
则
，
与矛盾，可得．
当时，有，
则
，
即，
由，
可知，，，，
即，，，．
而，
则
．
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