2024-2025学年云南省昭通市镇雄四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昭通市镇雄四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.高一年级某班名同学参加体能测试，给出下列三个判断：
有人通过了体能测试；
同学甲没有通过体能测试；
有人没有通过体能测试．
若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是( )
A. 只有名同学通过了体能测试 B. 只有名同学没有通过体能测试
C. 名同学都通过了体能测试 D. 名同学都没通过体能测试
4.已知一组数据：，，，，的平均数为，则该组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义域为的奇函数，而且是减函数，如果，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，函数，则的值等于( )
A. B. C. D.
8.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与、近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，下列命题中正确的有( )
A. B.
C. D.
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
11.如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 三棱锥外接球的体积为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校高三有名学生，高二有名学生，高一有名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则应在高一抽取______人．
13.已知，则______．
14.函数的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数“，并把其图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”的图象有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，当，时，函数的“囧点”坐标为______；此时函数的所有“囧圆”中，面积的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．
求证：平面；
求三棱柱的表面积．
16.本小题分
将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数，事件：“两数之和为”，事件：“两数之和是的倍数”，事件：“两个数均为偶数”．
写出该试验的样本空间，并求事件发生的概率；
求事件发生的概率；
事件与事件至少有一个发生的概率．
17.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，在条件，，中任选一个解答．
求角；
若，，求的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点．
求证：平面平面；
在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为？若存在请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.证明：连接，交于点，连接，所以是的中点，所以，
又因为平面，平面中，所以平面；
解：三棱柱的表面积为
．
16.解：将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共有个样本点，
事件：“两数之和为”，事件所含的样本点有：
，，，，，共个样本点，
事件发生的概率为．
事件：“两数之和是的倍数”，
事件所含的样本点有个，分别为：
，，，，，，，，，，，，
事件发生的概率．
事件与事件至少有一个发生所含的样本点有个，分别为：
，，，，，，，，，，，
事件与事件至少有一个发生的概率为．
17.解：第六组的频率为，
第七组的频率为．
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的名男生的身高中位数为，则，
由得，
所以这所学校的名男生的身高的中位数为，
平均数为．
第六组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件包含的基本事件为，，，，，，共种情况．
所以．
18.解：若选择条件：，
在中，由正弦定理得，
又，
，
，，
故，
又，
；
若选则条件：，
由正弦定理得，即，
，
，
；
若选择条件：，
由正弦定理得，
，，
，
又，
，
，，
，，即，
故；
选择条件：由余弦定理得，，，
故，
；
选择条件或：由余弦定理得，，，
故，
．
19.解：证明：因为平面，平面，所以，
又是正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面平面，所以，
又，点是的中点，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面．
因为是正方形，所以
又平面，，平面，所以，，
以为原点，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，则，
令得，
若直线与平面所成的角为，
则，
解得或舍去，
故，即线段中点时，
直线与平面所成的角为．
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