2024-2025学年山东省青岛三十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛三十九中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的方程是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在正四面体中，棱长为，且是棱中点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.根据气象学上的标准，如果连续天的日平均气温都低于即为入冬现将连续天的日平均气温单位：记录数据记录数据都是自然数作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有( )
A. 平均数小于且中位数小于或等于 B. 平均数小于且极差小于或等于
C. 平均数小于且标准差小于或等于 D. 众数等于且极差小于或等于
5.为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
7.设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于，两点点在第一象限，，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C. 若，则
D. 轴上存在一点，使为定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，且四边形是平行四边形，则( )
A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量
C. D. 四边形的面积为
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为，则( )
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
11.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”若黄金双曲线：的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人用分层抽样的方法，则北面共有 人
13.已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为__________．
14.已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
当时，若向量与垂直，求实数和的值
若向量与向量共面，求实数的值．
16.本小题分
某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得分，在乙处每投进一球得分．如果前两次得分之和超过分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮次，如果最终得分超过分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．
求小明得分的概率；
试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．
17.本小题分
已知直线：与抛物线交于，两点，且．
求，两点的横坐标之积和纵坐标之积；
求面积的最小值．
18.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点，是的中点，．
求圆的标准方程；
求直线的方程；
为圆上任意一点，在的条件下，求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点点满足记的轨迹为．
求的方程
已知直线，若点关于直线的对称点与不重合在上，求实数的值
设直线的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．
参考答案
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15.解：因为，
所以．
，
因为向量与垂直，
所以，
即，
即，解得，
所以实数的值为．
因为向量与向量共面，
所以，
因为，
，所以
所以实数的值为．

16.解：设小明在甲处投进为事件，在乙处投进为事件，
于是，，
小明得分的概率．
小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率
，
小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率
，
，所以选择都在乙处投篮通过率更大．

17.解：设，，
因为直线：，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，．
令直线：中，
可得直线与轴交点，
联立，得，
所以，
由知，
所以，即点的坐标为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为．
18.解：由题意可知，圆的半径为，
因此，圆的标准方程为；
由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即；
综上所述，直线的方程为或；
记点，则，
，所以，点在圆外，如下图所示：
由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且 ，
因此， 的最小值为．

19.解：由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，
则，，，
．
与关于直线对称，，
设，与椭圆方程，
联立得：，
设为中点，
，，即
又点在直线上，所以．
设，，，，
则有，，
，则，，
联立得：，
所以，
即，
，，
同理可得：，
，
，
C、、三点共线，．
，
化简得，．
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