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第18章平行四边形
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A：∠B=7：2，则∠A的度数是（ ）
A．110° B．140° C．120° D．160°
2．如图，E，F，G，H分别为四边形边的中点，要使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．我们已经学过两种全等变换：平移和轴对称，通过变换可以把两条分散的线段拼接在一起．请借助变换解决下面问题：如图，四边形中，，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中的位置如所示，顶点，，点B在x轴正半轴上，以点O为圆心，以小于长为半径作弧，分别交边，于点D，E，分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线，交边于点G，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，已知BC＝6，BD＝12，AC＝8，则△OAD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．16 D．18
7．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=4，OD=7，△DBC的周长比△ABC的周长（ ）
A．长6 B．短6 C．短3 D．长3
8．在中，对角线与交于点，在延长线上取一点，连接交于．已知，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，点F是AB边的中点，AE⊥BC于点E，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，AD＝2，AB＝，则AE长为（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接 并延长交 于点 ， ，则下列 结论：① ；② ；⑧ ；④ ；其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①②③
二、填空题
11．如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是 ．
13．如图，矩形的面积为，对角线交于点O，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为 ．
14．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB=6，那么对角线AC+BD= ．
15．如图，在中，对角线，交于点，为中点，连接交于点，若的面积为1，则的面积为 ．
16．如图，等边中，，为中点，，为边上的动点，且，则的最小值是 ．
三、计算题
17．如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点横坐标为1，直线轴于点，且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点和点，且点在点上方．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形是平行四边形，求的值．
18．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，满足，直线经过轴负半轴上的点，且．
（1）求直线的函数表达式；
（2）平移直线，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点．
①已知平面内有一点，连接，当的值最小时，求的值；
②若平移后的直线与轴交于点，是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
20．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
（1）当点P运动停止时，______，线段的长为______；
（2）①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
21．如图，在 ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形，并证明．
22．如图，AM是的中线，是线段AM上一点（不与点A重合），DE//AB，交AC于点，交DF于点，连结AE.
（1）如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形.
（2）如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.
23．如图，在直角梯形 ABCD中，AB∥CD，∠BCD =90°，AB=AD=10cm，BC=8cm.点 P从点A 出发，以每秒 3c m的速度沿折线 ABCD 向点 D 运动，点 Q 从点 D 出发，以每秒 2cm 的速度沿线段 DC 向点 C 运动.已知动点 P，Q 同时出发，当点 Q运动到点C 时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为 t(s).
（1）求 CD的长.
（2）当四边形 PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长.
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为 20 cm 若存在，请求出所有满足条件的 t的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；坐标系中的两点距离公式
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
11．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
12．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
14．【答案】22
【知识点】平行四边形的性质
15．【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
18．【答案】解：∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，
∴S梯形OBCD==；
∴图中阴影部分的面积=S梯形OBCD-S扇形OBD=-×π×12=-。
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算
19．【答案】（1）解：∵，
而，，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
将点，代入表达式可得：
可得，
解得：，
∴直线的函数表达式为.
（2）解：①根据题意，平移直线，平移后的直线与直线交于点，与轴交于点，∴可设直线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，
将点，代入，
可得，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
如下图，连接，
∵，
∴当点在同一直线上时，取最小值，
此时，设直线的解析式为，
将点，代入MC的解析式得：
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解方程组，
得：，
∴，
∴将点代入直线表达式，
可得，
解得：；
②（Ⅰ）当点在点右侧时，如下图，过点作轴于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在△AOC和△EMD中，
∴，
∴，即，
将代入直线的表达式，
可得，解得，
∴，
∴将点代入直线表达式，
可得，解得，即；
（Ⅱ）当点在点左侧时，如下图，过点作轴于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在△AOC和△E ND 中，
∴，
∴，即，
将代入直线的表达式，
可得，解得，
∴，
∴将点代入直线表达式，
可得，解得，即．
综上可得，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象的平移变换
20．【答案】（1）；
（2）①；；；②
（3）
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
21．【答案】解：△ADF≌△CBE，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC＝∠BEA，
∴∠AFD＝∠BEC，
在△ADF与CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
22．【答案】（1）证明：如图1，∵AM是△ABC的中线，D与M重合，
∴DC＝BD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∵CE∥AM，即CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB，
在△ECD和△ADB中，，
∴△ECD≌△ADB（ASA），
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：（1）中的结论成立，
理由：如图2，过点M作MG∥AB交CE于点G，
∵DE∥AB，
∴MG∥DE，
∵CE∥AM，
∴四边形DEGM是平行四边形，
∴MG＝DE，
同（1）得MG＝AB，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
23．【答案】（1）解：过点A作AM⊥CD于M，
∵AB∥CD，∠BCD=∠B=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴AM=BC=8，CM=AB=10，
∵AD=10，
∴DM=，
∴CD=CM+DM=10+6=16；
（2）解：当四边形 PBQD 为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图：
由题意得：BP=10-3t，QD=2t，
∴10-3t=2t，解得：t=2；
此时BP=QD=4，CQ=12，
∴BQ=，
∴ 四边形PBQD 的周长=2（BP+BQ）=2（4+4）=8+8（cm）；
（3）解：①当点P在线段AB上时，即0≤t≤时，如图：
S△BPQ=BP·BC=（10-3t）×8=20，解得：t=（秒）；
②当点P在线段BC上时，即＜t≤6时，如图：
BP=3t-10，CQ =16-2t，
S△BPQ=BP·CQ=（3t-10）×（16-2t）=20，
化简得：3t2-34t+100=0，
∵b2-4ac=-44＜0，
∴方程没有实数根；
③当点P在线段CD上时，如图：
若点P在Q的右侧，即6≤t≤时，
PQ=34-5t，
S△BPQ=（34-5t）×8=20，解得：t=＜6，（不符合题意，舍去）；
若点P在Q的左侧，即＜t≤8时，
PQ=5t-34，
S△BPQ=（5t-34）×8=20，解得：t=（秒）.
综上可得： 所有满足条件的 t的值为：秒或秒.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；四边形-动点问题
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