19.1.1矩形的性质（含答案）
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19.1.1矩形的性质
一、单选题
1．如图，四边形为矩形，对角线与交于点O，以下说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B'处，B'C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．多边形的外角和为
D．三角形的外角等于两个内角之和
二、填空题
6．如图，矩形的对角线相交于点，，，则线段的长度为 ．
7．如图，矩形ABCD中，BC＝7cm，CD＝5cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，沿矩形ABCD的边以1cm/s的速度逆时针运动，点P到达点C时两点同时停止运动．当点P的运动时间为 s时，△PQC为等腰三角形．
8．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为 ．
9．如图，在中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则EF的最小值为 ．
10．如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．折叠后的图形中的等腰三角形是 ，的长为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 ．
三、计算题
12．阅读下列材料：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5．
【问题解决】
（1）分解因式： ；
（2）代数式的最小值 ；
（3）某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？
13．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
四、解答题
14．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的式子表示：______，______；
（2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______；
（3）当四边形是矩形时，求出t的值．
五、作图题
15．已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形的对称轴，使；
（2）在图2中作出矩形的对称轴，使．
六、综合题
16．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
17．如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：．
18．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
6．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
7．【答案】或
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
8．【答案】8
【知识点】勾股定理；矩形的性质
9．【答案】4.8
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质
10．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
11．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
12．【答案】（1）；
（2）2；
（3）当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；矩形的性质
13．【答案】（1）；（2）24；（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质
14．【答案】（1）cm，cm
（2）24
（3）2
【知识点】勾股定理；矩形的性质
15．【答案】（1）解：如图1中，直线即为所求；
（2）解：如图2中，直线即为所求；
【知识点】矩形的性质；作图-平行线
16．【答案】
【知识点】矩形的性质
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）
（2）解：由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
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19.1.1矩形的性质
一、单选题
1．如图，四边形为矩形，对角线与交于点O，以下说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B'处，B'C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
3．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于（ ）
A． B． C． D．8
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．多边形的外角和为
D．三角形的外角等于两个内角之和
二、填空题
6．如图，矩形的对角线相交于点，，，则线段的长度为 ．
7．如图，矩形ABCD中，BC＝7cm，CD＝5cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，沿矩形ABCD的边以1cm/s的速度逆时针运动，点P到达点C时两点同时停止运动．当点P的运动时间为 s时，△PQC为等腰三角形．
8．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为 ．
9．如图，在中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），于点E，于点F，则EF的最小值为 ．
10．如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．折叠后的图形中的等腰三角形是 ，的长为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 ．
三、计算题
12．阅读下列材料：
“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
应用一：分解因式， 我们可以进行以下操作： 先配方 ， 再利用平方差公式可得， ． 应用二：求代数式的最小值． 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当，即时，的最小值是5．
【问题解决】
（1）分解因式： ；
（2）代数式的最小值 ；
（3）某养殖场要将一块长为8米，宽为4米的矩形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，请问：当x取何值时，矩形区域的面积S最大？最大值是多少？
13．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
四、解答题
14．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的式子表示：______，______；
（2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______；
（3）当四边形是矩形时，求出t的值．
五、作图题
15．已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形的对称轴，使；
（2）在图2中作出矩形的对称轴，使．
六、综合题
16．如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，求运动时间．
17．如图，八里庄孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形，棚宽，高 ，长，求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．参考数据：．
18．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质；矩形的性质；真命题与假命题
6．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
7．【答案】或
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
8．【答案】8
【知识点】勾股定理；矩形的性质
9．【答案】4.8
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质
10．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
11．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
12．【答案】（1）；
（2）2；
（3）当x取2时，矩形区域的面积S最大，最大值是36．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用；矩形的性质
13．【答案】（1）；（2）24；（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质
14．【答案】（1）cm，cm
（2）24
（3）2
【知识点】勾股定理；矩形的性质
15．【答案】（1）解：如图1中，直线即为所求；
（2）解：如图2中，直线即为所求；
【知识点】矩形的性质；作图-平行线
16．【答案】
【知识点】矩形的性质
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）
（2）解：由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
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