19.1.2矩形的判定（含答案）
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19.1.2矩形的判定
一、单选题
1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
3．对角线 的平行四边形是矩形（ ）.
A．互相垂直且平分 B．互相平分
C．互相垂直 D．相等
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）.
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
5．如图，已知△ABC的面积为15，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．如图，点分别在反比例函数和图象上，分别过两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ．
7．已知四边形，当满足条件 时，四边形是矩形填上你认为正确的一个条件即可
8．如图，点A在函数y＝的图像上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图像交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 ．
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
11．如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形．
三、计算题
12．数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
四、解答题
13．请利用勾股定理解决下列问题．
（1）如图1，在中，，，，请求出边上高的长度h；
（2）如图2，在梯形中，，，，，，求和之间高的长度x．（提示：作于点，于点 ，则四边形为矩形）
五、综合题
14．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
15．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.
（1）求证：OD=OE；
（2）当点O运动到何处时，四边形CDAE是矩形 请证明你的结论.
16．如图，某大厦离地米的处突发火情，消防车立即赶到距大厦米的处，升起云梯到发生火灾的处，已知云梯长米，求云梯底部距离地面的高度的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
6．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
7．【答案】，，答案不唯一
【知识点】矩形的判定
8．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；矩形的判定
9．【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
10．【答案】或
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
12．【答案】（1）；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
14．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
15．【答案】（1）解：∵DE∥BC
∴∠ODC=∠DCB
又CD平分∠ACB
∴∠OCD=∠DCB
∴∠ODC=∠OCD
∴OD=OC
同理，OE=OC
∴OD=OE
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.
∵O为AC的中点
∴OA=OC
又OD=OE
∴四边形CDAE是平行四边形
又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF
∴∠OCD+∠OCE=90°
即∠DCE=90°
∴四边形CDAE是矩形
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
16．【答案】米
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
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19.1.2矩形的判定
一、单选题
1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
3．对角线 的平行四边形是矩形（ ）.
A．互相垂直且平分 B．互相平分
C．互相垂直 D．相等
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）.
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
5．如图，已知△ABC的面积为15，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．如图，点分别在反比例函数和图象上，分别过两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ．
7．已知四边形，当满足条件 时，四边形是矩形填上你认为正确的一个条件即可
8．如图，点A在函数y＝的图像上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图像交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为 ．
9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 (填写一个即可)．
10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
11．如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形．
三、计算题
12．数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
四、解答题
13．请利用勾股定理解决下列问题．
（1）如图1，在中，，，，请求出边上高的长度h；
（2）如图2，在梯形中，，，，，，求和之间高的长度x．（提示：作于点，于点 ，则四边形为矩形）
五、综合题
14．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
15．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.
（1）求证：OD=OE；
（2）当点O运动到何处时，四边形CDAE是矩形 请证明你的结论.
16．如图，某大厦离地米的处突发火情，消防车立即赶到距大厦米的处，升起云梯到发生火灾的处，已知云梯长米，求云梯底部距离地面的高度的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
6．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
7．【答案】，，答案不唯一
【知识点】矩形的判定
8．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的判定；矩形的判定
9．【答案】AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
【知识点】矩形的判定
10．【答案】或
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
12．【答案】（1）；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
14．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
15．【答案】（1）解：∵DE∥BC
∴∠ODC=∠DCB
又CD平分∠ACB
∴∠OCD=∠DCB
∴∠ODC=∠OCD
∴OD=OC
同理，OE=OC
∴OD=OE
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.
∵O为AC的中点
∴OA=OC
又OD=OE
∴四边形CDAE是平行四边形
又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF
∴∠OCD+∠OCE=90°
即∠DCE=90°
∴四边形CDAE是矩形
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
16．【答案】米
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
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