19.2.1菱形的性质（含答案）
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19.2.1菱形的性质
一、单选题
1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
4．菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=S2
二、填空题
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
7．如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为 ．
8．如图，在菱形 中，F为 边上一点，将 沿 折叠，点C恰好落在 延长线上的点E处，连接 交 于点G，若 ， ，则 的长为 ．
9．若菱形的面积为60，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
10．把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这“只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为的菱形，若，则 ．
11．如图，在中，，若点P在边上，且，，则 cm．
三、计算题
12．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
13．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
四、解答题
14．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加一个什么条件，可使四边形AECF是平行四边形？并给出证明．
五、作图题
15．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝▲，BC ＝▲，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
六、综合题
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
17．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
18．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
6．【答案】14
【知识点】菱形的性质
7．【答案】40
【知识点】勾股定理；菱形的性质
8．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】12
【知识点】菱形的性质
10．【答案】
【知识点】菱形的性质
11．【答案】10
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
12．【答案】解：∵D、E分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
13．【答案】（1），；
（2）；或或或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
14．【答案】可添加BE=DF（或AE=CF等）．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形 （其他证方法：连对角线等 ）
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
15．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图-平行线
16．【答案】（1）解：如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）解：∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
17．【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
18．【答案】的长需要缩短
【知识点】勾股定理；菱形的性质
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19.2.1菱形的性质
一、单选题
1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
2．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
4．菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．2S1=S2
二、填空题
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为 ．
7．如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为 ．
8．如图，在菱形 中，F为 边上一点，将 沿 折叠，点C恰好落在 延长线上的点E处，连接 交 于点G，若 ， ，则 的长为 ．
9．若菱形的面积为60，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 ．
10．把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这“只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为的菱形，若，则 ．
11．如图，在中，，若点P在边上，且，，则 cm．
三、计算题
12．如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若DE＝1，求DF的长．
13．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
四、解答题
14．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加一个什么条件，可使四边形AECF是平行四边形？并给出证明．
五、作图题
15．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝▲，BC ＝▲，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
六、综合题
16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
17．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
18．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
6．【答案】14
【知识点】菱形的性质
7．【答案】40
【知识点】勾股定理；菱形的性质
8．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
9．【答案】12
【知识点】菱形的性质
10．【答案】
【知识点】菱形的性质
11．【答案】10
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质
12．【答案】解：∵D、E分别是边、的中点
∴ ∥
∵
∴
∵∥
∴四边形为平行四边形
∴
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
13．【答案】（1），；
（2）；或或或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
14．【答案】可添加BE=DF（或AE=CF等）．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形 （其他证方法：连对角线等 ）
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
15．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图-平行线
16．【答案】（1）解：如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）解：∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
17．【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质
18．【答案】的长需要缩短
【知识点】勾股定理；菱形的性质
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