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19.2菱形
一、单选题
1．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形
C．对角线互相平分且垂直的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
2．下列说法中，错误的是（ ）.
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图，菱形中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
二、填空题
6．一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 cm2.
7．如图，已知菱形的对角线，的长分别为24，10，则长为 ．
8．如图，菱形中，若，，则菱形的面积是 ．
9．菱形的面积为48，一条对角线长为8，则菱形的边长为 ．
10．如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是 .
11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则它的面积是 ．
三、计算题
12．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若 AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.
13．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
四、解答题
14．已知：如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC，BD的长和菱形的面积．
五、作图题
15．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，求作直线l，分别交AD、BC于 E、F，使得四边形BEDF为菱形.
六、综合题
16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．
求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
18．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：AE=DF；
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
七、实践探究题
19．小惠自编一题： “如图， 在四边形 中， 对角线 交于点 ． 求证： 四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 小洁：
证明： ， 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才 能证明．
垂直平分 ．
，
四边形 是菱形．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打 “ √ ”；若赞成小洁的说法， 请你补充一个条件， 并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SSS
6．【答案】120
【知识点】菱形的性质
7．【答案】13
【知识点】勾股定理；菱形的性质
8．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
10．【答案】24
【知识点】菱形的性质
11．【答案】24
【知识点】菱形的性质
12．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴DC-DE=AB-BF即EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC
设AF=FC=x，则BF=6-x，
在Rt△BCF中，
FC2=BC2+BC2
∴x2=22+（6-x）2
解之：x=
答：菱形AFCE的边长为.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
13．【答案】（1），；
（2）；或或或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
14．【答案】AC= 4，BD=，．
【知识点】菱形的性质
15．【答案】解：如图所示，EF 为所求直线；四边形BEDF为菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
16．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）解：由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
18．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF（ ASA ），
∴AE=DF
（2）解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵若AD平分∠BAC∴∠EAD=∠DAF，又∵∠ADE=∠DAF，
∴∠EAD=∠ADE
∴AE=DE．
∴平行四边形AEDF为菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
19．【答案】解：赞成小洁的说法， 补充条件： ，
证明如下：
，
四边形ABCD是平行四边形．
又
∴ 平行四边形 是菱形．
【知识点】菱形的判定
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