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第9章 矩形·菱形与正方形
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直平分
3．如图，有一块菱形纸片 ，沿高 剪下后拼成一个矩形，若矩形相邻两边 和 的长分别是5和3，则 的长是（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A．当 时，它是菱形 B．当时，它是矩形
C．当时，它是菱形 D．当时，它是正方形
5．在菱形中，已知对角线，的长度分别为，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（ ）
A．24 B．10 C． D．
7．如图，四边形的四个顶点分别在矩形的边和对角线上，已知，下列条件能使四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．菱形具有，但矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直
9．如图在边长为1的小正方形构成的5×4的网格中，定义：以网格中的格点为顶点的正方形叫做格点正方形．则图中完全包含“”的格点正方形最多能画（ ）
A．13个 B．16个 C．19个 D．21个
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
11．小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB'与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
12．取两根长度不等的细木条，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，当两根木棒之间的夹角等于时，得到的图形是 ．
13．如图，在正方形中，，则的度数是 ．
14．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AD=4，P是AB边上的一点，E，F分别是DP ，BP的中点，则线段EF的长为
15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为 ．
16．如图，在正方形纸片 中，对角线 、 交于点 ，折叠正方形纸片 ，使 落在 上，点 恰好与 上的点 重合，展开后，折痕 分别交 、 于点 ， ，连结 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④四边形 是菱形；⑤ ，其中正确结论的序号是 .
三、计算题
17．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线的长为．
计算：
（1）对角线的长度．
（2）菱形的面积．
18．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．
（1）求点的“倾斜系数”的值；
（2）已知点的“倾斜系数”，且，求的长；
（3）如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，直线与y轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点E是射线上一动点，过点E作轴，交直线于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
20．菱形的两条对角线相交于点O．已知，，求菱形的两条对角线的长及它的面积．
21．如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．
22．如图，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究线段BE，FD与EF之间的数量关系．某同学探究的方法大致是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到AE=AG，BE=GD，证明∠EAF=∠GAF=45°，再证△EAF≌△GAF，最后通过转化可得出结论：EF=BE+FD．请帮该同学写出证明过程．
23．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．
（1）求AF和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A'BF'，在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的判定
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
12．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
14．【答案】2
【知识点】菱形的性质
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质
16．【答案】①④⑤
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
17．【答案】（1）；
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的性质
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】解分式方程；勾股定理；正方形的性质
19．【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
20．【答案】，，
【知识点】勾股定理；菱形的性质
21．【答案】（1）4；（2）当秒或时，AP=5cm；（3）t=．
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的性质
22．【答案】证明：由旋转可知：AE＝AG，BE＝GD，∠BAE＝∠GAD，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】1）；；（2）；（3）存在，2 或 或 或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；平移的性质
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