2025 届六校联合体高三学年 A. 4048 B. 1012 C. 2024 D. 2
7.函数 f (x) = 2 3 cos( x ) cos x 2sin2 x +1图象如图所示，
数 学 试 题 2
考试时间 ：120分钟 分值 ：150分
若 函 数 f (x) 在 m, 单 调 增 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 4
目要求的）
（ ）
1.下列关系正确的是 （ ）
0 N 2
14 14 8 8
A. B. 3 Q C.Z Q D. 1,2 x x 3x + 2 = 0 A. ( , ) B.[ , ) C.[ , ) D. ( , )
9 4 9 4 9 4 9 4
2
2. 若sin = 且 tan =1同时成立，则 是 8 . 一 只 蜜 蜂 从 蜂 房 A 出 发 向 右 爬 ，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A 只能
2
爬到 1 号或 2 号蜂房，从 1 号蜂房只能爬到 2 号或 3 号蜂房，…，以此类推，用an 表示蜜蜂爬到n 号
（ ）
A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 蜂房的方法数，则a2025 被 7除的余数为 （ ）
D．第一象限角
3.若向量 a,b 满足 | a b |=1,| a + 2b |= 3,a,b 的夹角为 ，则 | b |=
2
A. 2 B. 1 C. 3 D. 6
（ ）
1 3 2 6
A. B. C. D. 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
3 3 3 3
要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
4.下列不等关系中a b 的充分条件是 （ ）
2
3 3 9.已知圆C : x + y
2 4x 4y + 7 = 0，点P(a,b)为圆上一点，点O为坐标原点，则下列叙述正确的
A. log a log b B.a = ( 1.4) ;b = ( 1.50.3 0.3 )
有 （ ）
2 5
C. a =1.70.3; 3 b = 0.9 D. log64 a = ; b = 8 A.点O在圆外 B. PO 的最小值为 7 1
3
2 b 6 2
5. 如图所示，在正方体 ABCD A B E, F1 1C1D1中， 分别在 A1D, AC 上，且 A1E = A1D , C.a +b 的最小值为4 2 D. 的最小值为
3 a 4
1
AF = AC ，则（ ）
3 10. 已知复数 z，则下列说法正确的是 （ ）
A．EF 与 BD1相交 B．EF 与BD1 异面 A. 若 z = 2，则 z = 2 B. 若 z + 2i R ，则 z的虚部为 2
C．EF 与 A1D, AC 都垂直 D．EF 至多与 A1D, AC 之一垂直 C. 若 z
2 0，则 z R D. 若 z =1，则1 z 2 3
a + a 2
1 3
+ + a2n 1 n= (n *
a
N ) 2024 11.已知抛物线C : x = 4y 的焦点为 F ，C 上不同两点 A(x , y ), B(x , y )，以 A, B 为切点的切线6. 已知正项等差数列 an 满足 ，则 =（ ） 1 1 2 2a3 + a5 + + a2n+1 n+ 2 a2
PA, PB 相交于点P 、 A、B 、M (2,2)三点共线.下列说法正确的有 （ ）
数学 试题 第1页 共6页
{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
18.（17分）如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，平面PAB
3
A． AM BM 最小值为4 B. PF 的最小值为
2 ⊥平面PBC ，PA = 6， AB = 2 3 ，
BC = 6 .
C.使得 AB = 4 2 的直线有两条 D. PFA = PFB
(1)求三棱锥P ABC 的体积；
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
(2)在线段 PA 上试确定一点 M ,使得平面 MBC ，经过三棱锥
y2
12.直线 x =1与双曲线 x2 =1的两条渐近线分别交于 A, B两点，则 AB =______________ PM
3 P ABC 内切球的球心，并求 的值．
MA
13. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2， P 为底面 ABCD内（包括边界）的动点，若
19.（17分）对于一个有穷整数列Q : a1,a
*
2 , ,an ，对正整数m N ，若对于任意的
D1P ⊥ B1D，则 P 点在正方形底面 ABCD内的运动轨迹长为______________
n 1,2, ,m ，有穷数列Q中总存在ai ,ai+1, ,ai+ j ,自然数 j 0 使得ai + ai+1 + + ai+ j = n ，则
14.若过点 (2,m)可作出曲线 f (x) = x3 3x 的三条切线，则m 的取值范围是__________________
称该数列为1到m 连续可表数列。即 1到m 中的每个数可由Q中的一个或连续若干项表示，而m+1
四、 解答题（本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
不可由Q中连续若干项表示。例如数列2,1,3则a2 =1，a1 = 2，a3 = 3，a2 + a3 = 4，而a1 + a 5，3 21 2
15.（13分）在锐角 ABC 中， AB = 3,BC = 7,sinC =
14
a2 + a3 5，a + a + a 5，所以数列2,1,3是1到4 连续可表数列。 1 2 3
（1）求 A ；
（1）数列Q :1,1,1,1,1是否为1到 连续可表数列？若数列 是一个 到 连续可表数列，求
（2）若D为 AC 的中点，求COS DBC . 1
5 Q2 : 2,1,4 1 m
16.已知在平面直角坐标系 xOy 中，两定点A( 3,0), B(3,0)，直线MA,MB 相交于点M ，且它们的斜 m 的值。
4 （2）若有穷数列Q : a1,a2 , ,an 其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数
率之积是 .
9
(1) 求点M 的轨迹方程 ，并指出 的形状. 列本身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比。若准等比整数列a1,a2 , ,an 为 1到 5
(2) 若直线 l : y = k(x 1)与点M 的轨迹交于 P,Q 两点，求证：直线 AP 与直线 BQ的交点G 在定直 连续可表数列，且公比q 为整数，求数列的公比q 的值。
线 x = 9 上.
0 1
（3）对正整数n, g N *(g 2) ，存在唯一的数列a , ,a 使得，n = a1 g + a2 g + + am g
m 1
1 m ，
1 2
17.（15分）函数 f (x) = a ln x + x (a +1)x, (a R)
2 a 0 0 a g 1 i =1,2,3...m a g 0且满足 , ， 数列 1 ,a
1
2 g , ,a g
m 1
m i m 称为正整数n 的 g 进制残
（1）讨论函数 f (x) 的单调性； 片。记事件“随机挑选区间 1, r 内的整数（ r 为大于等于2 的正整数），该数的 g 进制残片调整顺序后
f (x1 ) f (x2 )
（2）若不等式 a 2对任意的 x , x (0,+ )恒成立，求a的取值范围。 能成为 1到 5连续可表数列”的概率为 pg (r )，求 p (r )的表达式。 1 2 g
x2 x1
数学 试题 第2页 共6页
{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
2025 届六校联合体考试数学答案 A向准线作垂线，垂足为 A1 ，
单选题 1 2 3 4 5 6 7 8
2 x1
答案 D B D D C B C D 过 B 做准线 y = 1的垂线，垂足为 B ， kFA = ， kPA = ，所以1 PA ⊥ FA ，又 ，1 1 AA1 = AFx1 2
9 题 10 题 11 题
A,C B,C,D A，C，D
PA = PF ， 同 理 PB = PF ， 所 以1 1 PA1B1 = PB A ， 所 以1 1
14 题：(-6,2)
12 题： 2 3 13 题： 2 2
PFA = PA1B1 + = PB1A1 + = PFB，故 D正确.
2 2
8
8【解】依题意，a a = 2 7n = an 1 + an 2 （n N*， n 3），a1 =1， 2 ，
6
5
所以a3 = 3,a4 = 5,a5 = 8,a6 =13,a7 = 21,a8 = 34,a9 = 55, a10 = 89 .........
4
3
再找余数的规律:1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1,0,1,1,2,3,发现周期是 16，而 2025除以 16余 9， B
2
1
第 9个数余数为 6。故选：D A F
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
-1
A1 B1
11 题：A.由题意可设直线 AB : y 2 = k(x 2)，与 x2 = 4y 2联立得: x 4kx+8k 8 = 0 ,
-2
P
-3
xA + xB = 4k; xAxB = 8k 8， AM BM = (1+ k 2 )(xA 2)(xB 2) = (1+ k 2 )4 4
1 1
，与当且仅当 k = 0 等号成立， A 选项正确； y = x2 ，得 y = x ，所以在点 A 处的切线方程为 3 21
4 2 15、解：（1） AB = 3,BC = 7,sinC =
14
1 1 1 2 1 1 2
y y1 = x1(x x1)，整理得： y = x1x x1 , 同理得在点B 处的切线方程为 y = x2x x2 ,两
2 2 4 2 4 AB BC 3 7 3
x + x x x x + x x x 由正弦定理得： = , = ， sin A = --------------------------3 分
条切线方程联立得，x = 1 2 , y = 1 2 ，由 A, B,M 三点共线得 1 2 1 2 = 2，所以点P 在直 sinC sin A 3 21 sin A 2
2 4 2 4
14
1 2 3 2
线 x y 2 = 0 上， FP 的最小值为 = ，故 B 不正确；
2 又因为 A 为锐角， A = ----------------------------------------------------5 分 2 3
2 2 2
由题意可设直线 AB : y 2 = k(x 2) 2，与 x = 4y x2联立得: 4kx+8k 8 = 0 , （2）在 ABC 中由余弦定理得：BC = AB + AC 2AB AC cos
3
2 2 2 2 2 2 = ( 4k ) 4(8k 8)=16k 32k + 32 0 , AB = 1+ k = 4 (1+ k )(k 2k + 2) AC 3AC + 2 = 0 , AC = 2,或 AC =1 ---------------------------------------7 分
f (k )= (1+ k 2 )(k 2 2k + 2) f (x)= 2k(k 2 2 2, 2k + 2)+ (1+ k )(2k 2)= 4k 3 6k 2 + 6k 2 , AC + BC 2 AB2 1+ 7 9若 AC =1，则 cosC = = 0 ，则C 为钝角，舍去----------9 分
2AC BC 2 7
( ) 2
1 1
f k =12k 12k + 6 0 , f = 0 ,所以 f (k )在 k = 时有最小值，此时的 AB = 5 ，且在 AC = 2，因为D为中点， AD =1
2 2 1
在 ABD中， BD2 = AB2 + AD2 2AB AD cos A = 9 +1 2 1 3 = 7
2
1 1 2
, 递减，在 ,+ 单调递增,所以 C正确; 对于D选项,C : x = 4y 的准线方程为 y = 1，过
2 2 BD = 7 ----------------------------------------------------------------11 分
数学 试题 第3页 共6页
{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
BD2 + BC 2
'
DC 2 7 + 7 1 13 当a 1时 f (x) 0 x a或0 x 1 '； f (x) 0 1 x a
在 BCD中，cos DBC = = = -------------------13 分
2BD BC 2 7 7 14
所以此时 f (x) 在 (0,1)上单调增，在 (1,a)上单调减，在 (a,+ )上单调增--------------------------3 分
16、设点M 的坐标为 (x, y)，
0 a 1 f '当 时 (x) 0 x 1 0 x a '或 ； f (x) 0 a x 1
y
因为A( 3,0),所以直线 AM 的斜率 kAM = (x 3)…--------------------1 分
x +3
所以此时 f (x) 在 (0,a )上单调增，在 (a,1)上单调减，在 (1,+ )上单调增--------------------------5 分
y
因为B(3,0)，斜率 kBM = (x 3)--------------------2分
x 3
a =1 f '当 时 (x) 0恒成立，所以此时 f (x) 在 (0,+ )上单调增--------------------------6 分
y y 4 x
2 y2
由已知 = 整理得 + =1(x 3) ----------4分 ' '
x +3 x 3 9 9 4 当a 0时 f (x) 0 x 1； f (x) 0 0 x 1
焦点在 x轴上，长轴长为6 ，焦距为2 5，除去A( 3,0), B(3,0)的椭圆. ----------6 分 所以此时 f (x) 在 (0,1)上单调减，在 (1,+ )上单调增--------------------------7 分
4x2 +9y2 = 36 f (x1 ) f (x2 )
（2）联立 消去 y 整理得： (9k 2 + 4)x2 18k 2x +9k 2 36 = 0，----------7 分 （2）由 a 2对 1, 2 ∈ (0,+∞)恒成立，不妨设 x1 x2，则整理得：
y = k(x 1) x2 x1
18k 2 9k 2 36 1 2 1
设M (x , y ), N(x , y )， x + x = ， x x = ----------9 分 a ln x1 + x1 3x1 a ln x2 + x2 3x2 ，--------------------------8 分 1 1 2 2 1 2 2 1 29k + 4 9k 2 + 4 2 2
9k 2 36 90k 2 1
x x = + 9 9 = 9 = 5(x + x ) 9 ----------11 分 g(x)= a ln x + x
2 3x
1 2 1 2
9k 2 + 4 9k 2 + 4 设 2
y1 y( ) 2 ( ) 有 g(x1) g(x2)，所以 g(x) 单调增，即 g '(x) 0恒成立， 直线 AP : y = x + 3 ，直线BQ : y = x 3 ，----------12 分
x1 + 3 x2 3
a
两直线交点的横坐标满足 即 + x 3 0，其中 x 0，--------------------------11 分
x
y1 y2 (x2 1)(x1 +3)+ (x(x +3)= (x 3)，整理得 x = 3 1
1)(x2 3) ----------13 分
x1 +3 x2 3 (x2 1)( )
2
x1 +3 (x1 1)(x2 3) x + 3 x 9 3所以a x(3 x)，又 x(3 x) = ，当且仅当 x = 时等号成立，
2 4 2
x
= 3 1
x2 + x2 2x1 ----------14 分
2x2 + x1 3 9 1 2 9同时a = 时， g(x)= a ln x + x 3x 不是常函数，所以a --------------------------15 分
4 2 4
6x
= 3 2
+3x1 9 = 9 ----------15 分 18、 （1）证明： PA ⊥平面 ABC ， AB 平面 ABC PA ⊥ AB2x + x 3 2 1
在Rt PAB内过 A作 AD ⊥ PB ，则D 异于P, B两点. -------------- -------------------------------------1 分
' a (x a)(x 1)
17、解析：（1） f (x) = + x (a +1) = , (x 0) --------------------------1 分 平面 ABC ⊥平面PBC ，且交线为PB ，则 AD ⊥平面PBC ，
x x
又 BC 平面PBC AD ⊥ BC ①--------------- --------------------------------------------------- ---3 分
f '(x) 0 (x a)( x 1) 0, (x 0) PA ⊥平面 ABC 又BC 平面所以 ABC PA ⊥ BC ②
数学 试题 第4页 共6页
{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
由①②及PA AD = A 分
BC ⊥平面PAB --------------------------------------------------- 5 分
设平面PBC 的法向量为n， AP = (0,0,6)，AC = (6, 2 3,0) 则n = (1, 3,0)为平面PAC 的一个法
1 1 1
三棱锥三棱锥 P ABC 的体积 S ABCPA = 2 3 6 6 =12 3. ---------------------- 7
3 3 2 向量. ---------------------------------------------------------------------
分 ------------------ 12 分
P AO n BO m
O到平面PAC 的距离相等， BO = (1, y,1)， AO = (1, y 2 3,1) 则 = 得 y = 3
z n m
y
O(1, 3,1) 设平面 BOC 法向量为 r 又 BO = (1, 3,1) ， BC = (6,0,0) 则 r = (0, 3, 3) 为平面平面
M BOC 的一个法向量. ---------------------- --------------------------------------------
D
15 分
PM
记M (0,2 3, z) 依题意 BM r = 0得 z = 2 = 2 -----------------------------------------O
A L MA
K -- 17 分
19、解答：（1）依题意设数列Q 的通项为1 a ，则n a1 =1,a1 + a2 = 2,a1 + a2 + a3 = 3, a1 + a2 + ...+ a4 = 4 ，N x
C
B Q a + a + ...+ a + a = 5，由于数列只有 5 项，不可能表示大于等于 6 的正整数，故数列Q 为一个 1 到1 2 4 5 1
5 连续可表数列。---------------------------------------------------2 分
(2)法一：作OL,ON 分别垂直于平面 PBC ，平面 ABC .垂足分别为 L, N （O 为内切球球心）则
r 对于数列Q2，设其通项为b ，直接计算可知，该数列的b =1,b = 2，b +b = 3，b = 4，b +b = 5，ON =OL = r （ 为内切球半径）则BC ⊥平面ONL， ---------------------------------------- n 2 1 1 2 3 2 3
---- 10 分 而 6 无法用连续的项表示出来，故为 1 到 5 连续可表数列。------------------------------4 分
平面ONL交 BC 于Q，则 ONQ OLQ OQ 为 LQN 的平分线，作OK ⊥平面PAB ，垂足为 (2) 当准等比数列公比为 1, 1,2, 2 时，
K .又 LQ / /PB， NQ // AB ，OQ // KB ,又BC ⊥平面ONL， KB平分 PBA，-------- 12 分
可以对应构造数列Q1 :1,1,1,1,1 ,Q2 :1,1,1,1,1, 1, 1, 1, 1, 1 ,Q3 : 2,1,4 Q4 :8, 4, 1,2 ，其中由(1)
平 面 OBC ⊥ 平 面 KBQO ， PAB 中 延 长 KB 交 PA 于 从 内 角 平 分 线 定 理 得
可知Q ,Q ,Q 为 1到 5 连续可表数列，---------------------------------------------------7 分 1 2 3
PM PB PA2 + AB2 4 3
= = = = 2 （在此内角平分线定理不设采分点，不证内角平分线定理也给 对于最后一个数列Q4，有 1=-1+2，2= 2，3= 8+( 4)+( 1)，4= 8+( 4)，5= 8+( 4)+( 1)+2 MA AB 2 3 2 3
分），-------17 分 6不能连续若干项表示，故这数列也为 1到 5 连续可表数列。----------------------9 分
法二：由（1）如图建立空间直角坐标系.则B(0,0,0) ，C(6,0,0)，A(0,2 3,0) P(0,2 3,6) 内切球与 现在，假设q Z 满足 | q | 3 , 数列Q : a ,a ,...,a 为一个公比为q 的 1到 5 连续可表准等比数列，则1 2 n
m
平 面 PAB 且 与 平 面 ABC 相 切 ， 故 设 内 切 球 球 心 O(r, y, r) 由 可以设ai = a q
i (i =1,2,...n) ，其中m1,m2 ,...mn 为 0,··· ,n, 1 的一个排列。则该数列的连续表出具有
1 m m m
VP ABC = (S PAB + S PAC + S PBC + S ABC ) r 得 r =1，则O(1, y,1) ---------------------- 9 ai + ai+1+, , ,+ai+ j = a (q
i + q i+1+, , ,+q i+ j )的形式，其绝对值不小于 | a |。由于 1 可以被表出，有 1
3
数学 试题 第5页 共6页
{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
≥ |a|，故a =1或 a = 1。
其 中 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 。 综 上
m
（I）如果a m m 0不参与表出 1 到 5，则ai + ai+1+, , ,+ai+ j = a (q
i + q i+1+, , ,+q i+ j )不包含q ，故可提出
r 7
[ ]+1
m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1
q，即a + a +, , ,+a = a q(q i + q i+1 +, , ,+q i+ j )，由于 | a q | 3， i i+1i i+1 i+ j q + q +, , ,+q
i+ j 必 8p (r) = , g = 2 g r
mi 1 m 1 m 1是非零整数， | a q(q + q i+1 +, , ,+q i+ j ) | 3，无法表示 1，2 这个数字，故 1,2 的表出有 a 的参 0, g 3
与。
（II）如果a参与表出 1 和 2，有两种可能，一是当a独立表出 1，2。二是a与其他若干项一起表出。
若当a和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于 3 的数而a为1或 1，所以a与其他若干项一起表
出其绝对值不小于 2。故 1 只得由 a 独立表出，所以 a,= 1。现在，2 的表出是 1 和一绝对值不小于 3
的值之和，故不大于 2，不小于 4，矛盾。所以 | q | 3不可能成立-------------------------------11 分
综上 q 的可能取值为1,2, 1, 2
(3)我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论： 1 至 5 连续可表的数列，如果满足
m m m
c1 g
1 ,c 22 g ,...,cn g
n 的形式，则其中一项必定为 1 或 1，且 | g | 2 ，
从而当g 3时，任一个g 进制残片都不可能排列成一个 1 至 5 连续可表数列。
故 pg (r) = 0, g 3 ----------------------12 分
当g = 2时，残片的各项可能取值为2
s
，即 0,1,2,4,8,···。由于残片各项一定非负，1,2,3,4,5 的表出一定
没有23 = 8,24 =16,...等值参与。注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值。而 0 对
这 5 个数字的表出没有贡献，故残片能够排列成 1 到 5 连续可表数列当且仅当残片中含有 1,2,4 三项。
即所挑选的数字 x应当满足
x =1 20 +1 21 +1 22 + a3g
3 + ...+ ang
n
----------------------15 分
x = 7 +8k,k N ----------------------16 分
r 7
[ ]+1
从而 p2 (r) =
8 , ----------------------17 分
r
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{#{QQABBYYAogigAAJAARhCAQVgCAKQkBCACagGgFAcoAIACQFABAA=}#}
