1.4角平分线的性质 同步练习（含答案）

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1.4角平分线的性质
一、单选题
1．如图，，垂足分别为点C，D，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（　　）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
3．如图，在直角中，，平分，平分，，交于点O，过点O作，若的周长为30，．则的面积为（　　）
A．30 B．15 C．60 D．120
4．如图，在中，，平分，交于点D，如果，P为上一动点，那么的最小值为（　　）
A．8 B．5 C．3 D．2
5．下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
二、填空题
6．如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则　 　．
7．如图，以的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于M，N两点：分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线，若点Q在射线上且到边的距离恰好为，则点Q到边的距离为　 　．
8．如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作EDBC交于点，若，，则的周长为 　 　 ．
9．如图，中，平分，于点，于点，，，，则　 　．
10．如图，在长方形中，点E在上，并且，将沿翻折并压平得到，若AF平分，过点E作于F，则的度数为　 　．
11．如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则　 　°．
三、计算题
12．如图1，将直角三角板中一个角的顶点O放置在直线上．
（1）若按照图2摆放，使边在内部，且平分，，则______度；
（2）若按照图3摆放，射线平分，写出与度数关系，并说明理由；
（3）若三角板边与射线重合时（如图4），三角板在直线上绕点O逆时针旋转运动（边始终在内），，在旋转过程中，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
13．已知，，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；
(1)保持不动，将绕点O旋转至如图2所示的位置，则①= ；②= ；
(2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算(用t的代数式表示)。
(3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线OE平分，射线OF平分，求的大小；
14．综合与实践
问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点．
图1 图2 图3
（1）问题探究
①若，，求的长度；（写出计算过程）
②若，，则___________；（直接写出结果）
（2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作和的角平分线，．
③若，求的度数；（写出计算过程）
④若，则_____________；（直接写出结果）
（3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线，，若，则__________．（直接写出结果）
四、解答题
15．如图，三角板的直角顶点O放置在直线上，三角板绕O点在平面内旋转（三角板的各边只处于直线的上方），分别平分和．
（1）当三角板旋转到的位置时，求的度数；
（2）的度数是否随着三角板的旋转而变化？ ．（直接回答，不写解答过程）
五、作图题
16．如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）
六、综合题
17．如图，如图，已知等腰 ABC 中， AC= AB，BD是 ∠ABC 的角平分线.
（1）尺规作图：作出∠ ACB的角平分线，交 AB 于点E ， 交BD于点F (不写作法，保留作图痕迹)
（2）试判断 △BFC 的形状，并说明理由.
18．如图，已知：AB=AD，BC=CD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．
求证：
（1）∠B=∠D；
（2）AE=AF．
19．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，请说明理由．
七、实践探究题
20．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，，AD．CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
2．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
6．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；内错角的概念
7．【答案】5
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
9．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
10．【答案】
【知识点】角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
11．【答案】15°
【知识点】角平分线的判定
12．【答案】（1）20
（2）
（3）
【知识点】角的运算；角平分线的性质
13．【答案】(1)①150°；②30°；(2) 8t－60或2t+60；(3) ∠EOF的大小为15°或165°.
【知识点】角的运算；角平分线的性质
14．【答案】（1）①3；②；（2）③40；④40；（3）
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
15．【答案】（1）135°
（2）不变
【知识点】角的运算；角平分线的性质
16．【答案】如图，点P为所作．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
17．【答案】（1）证明：（1）作图
∴如图所示，CE为所求．
（2）解：△BFC是等腰三角形，理由如下： ∵ AB=AC， ∴∠ABD=∠ACB ．
∵BD平分∠ABD，CE平分∠ACB， ∴∠FBC= ∠ABC ， ∠FCB= ∠ACB， ∴ ∠FBC=∠FCB，∴BF =CF． 即△BFC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
18．【答案】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D
（2）证明：∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，
∴AE=AF
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
19．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），
∴∠A=2∠E，
∵∠A=40°，
∴∠E=20°
（2）解：∠A=2∠E，理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACD=2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠DCE=∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC=2（∠E+∠CBE），
∴∠A=2∠E
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
20．【答案】（1）解：如图①，在OP上任意取一点.然后以点为圆心，任意长为半半作弧.分别交OM，ON于点B，C，连接AB，AC，则.
FE与FD之间的数是关系为．
（2）解：（1）中的结论仍然成立．证明如下：如图（3），在AC上截取．连接． 平分，．
又∵，，，．．
由，
AD，CE分别是，的平分线，
可得．
．
．
由及FC为公共边，
易得，
，．
和△BCE均为等腰直角三角形，
，，
．
，
．
，
．
．
A，B，E三点在同一直线上，
．
．
（已证），
．
，
．
在△ABC和△NEC中，
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-AAS
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