2.5.1矩形的性质 同步练习（含答案）

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2.5.1矩形的性质
一、单选题
1．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
2．如图，矩形中，，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在长方形ABCD中，，，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．5
4．矩形不具有的性质是（　　）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
5．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，矩形的对角线，交于点，若、分别为，的中点，若，则的长为　 　．
7．已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是　 　．（注：宽∶长＝的矩形为黄金矩形）
8．如图，将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是　 　．
9．如图，在矩形 点中，对角线AC，BD相交于点O， 是边 的中点， 点 在对角线 上， 且 ， 连结 ． 若 ， 则 　 　
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝　 　．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么△DCF的周长是　 　cm．
三、计算题
12．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
13．课本再现：
（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．
如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．
14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上，从点至点运动，连接，以为边作等边，点和点分别位于两侧．
（1）当点运动到点时，求的长；
（2）点在线段上从点至点运动过程中，求的最小值．
四、解答题
15．如图，在矩形ABCD中，点在BC边上，且，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，求DF的长.
五、作图题
16．已知四边形为矩形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形的对称轴，使；
（2）在图2中作出矩形的对称轴，使．
六、综合题
17．如图，矩形ABCD，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE于F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
18．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
19．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
6．【答案】6
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
7．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质
8．【答案】
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
9．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
10．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
11．【答案】14．
【知识点】矩形的性质
12．【答案】线段的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
13．【答案】（1）；（2）24；（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质
14．【答案】（1）2
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
15．【答案】（1）证明：，
在和中，
（2）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
16．【答案】（1）解：如图1中，直线即为所求；
（2）解：如图2中，直线即为所求；
【知识点】矩形的性质；作图-平行线
17．【答案】（1）解：AD=CF
（2）证明： 矩形ABCD， DE=AB， CF⊥DE，
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
18．【答案】（1）解：如图，∵AD∥BC，∴∠2=∠1=60°；又∵∠4=∠2=60°，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°
（2）解：在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，
∴∠5=90°﹣60°=30°；
∴BE=2AE=2，
∴AB= = ；
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB AD= ×3=3 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．
由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，
∴AD=CE，AE=CD．
在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED（SSS）
（2）解：由（1）得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，
∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
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