2.5.2矩形的判定 同步练习（含答案）

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2.5.2矩形的判定
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）.
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
2．已知的对角线相交于点O，若要使成为矩形，可添加下列哪个条件（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形中，，，，，将边绕点逆时针方向旋转90°至，连接，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，平行四边形的对角线，相交于点，且，点为边上一动点（不与点A，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF。在：下列结论中：①OE=OF；②CE=CF；③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；④当AO=CO时，四边形AECF是矩形。其中正确的是（　　）
A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④
二、填空题
6．如图，中，，，，将绕点C顺时针旋转，得到，A、B的对应点分别为、，当时，则的长为　 　．
7．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　 　．
8．如图，创新小组要测量公园内一棵树AB的高度，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为45°，已知测角仪的架高CE＝1.2米，则这棵树的高度为　 　米．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：　 　，可使它成为矩形．
10．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）
11．如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件，使四边形是矩形．
三、计算题
12．数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
（1）2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______．
（2）某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：
已知线段，点在线段上，，求的最小值．
他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程；
（3）如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值．
四、解答题
13．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
（1）当点P运动停止时，______，线段的长为______；
（2）①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
五、综合题
14． ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，DF=BE，连接：BF，AF。
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE-3，DF=5，求矩形BFDE的面积。
15．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由.
16．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作DE，使DE∥BC，DE交∠ACB的角平分线于点D，交∠ACB的外角平分线于点E.
（1）求证：OD=OE；
（2）当点O运动到何处时，四边形CDAE是矩形 请证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；矩形的判定；直角三角形的性质
6．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
8．【答案】11.2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
9．【答案】∠ABC＝90°(或AC＝BD等)
【知识点】矩形的判定
10．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
12．【答案】（1）；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
13．【答案】（1）；
（2）①；；；②
（3）
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF=5，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE= =4，
∴矩形BFDE的面积=DF×DE=5×4=20
【知识点】矩形的判定
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）.
（2）解：四边形EBFD是矩形；
理由如下：
∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
16．【答案】（1）解：∵DE∥BC
∴∠ODC=∠DCB
又CD平分∠ACB
∴∠OCD=∠DCB
∴∠ODC=∠OCD
∴OD=OC
同理，OE=OC
∴OD=OE
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CDAE是矩形.
∵O为AC的中点
∴OA=OC
又OD=OE
∴四边形CDAE是平行四边形
又∵CD平分∠ACB，CE平分∠ACF
∴∠OCD+∠OCE=90°
即∠DCE=90°
∴四边形CDAE是矩形
【知识点】等式的基本性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；角平分线的概念
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