2.7正方形 同步练习（含答案）

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2.7正方形
一、单选题
1．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　）
A． B． C． D．2
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
3．如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
5．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．正方形的对角线互相垂直平分且相等
B．对顶角相等
C．若，则
D．正数的绝对值是它本身
二、填空题
6．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为　 　．
7．如图，已知正方形 中，，． 点 是射线上一动点(点不与点重合)，在右侧作， 且，连接，则 的度数为　 　．
8．如图，正方形的对角线相交于点O，过点O作分别交于点E、F，若，则的长是．
9．如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段，，，的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在两个中点四边形是正方形．所有正确结论的序号是　 　．
10．面积为 的正方形的边长是　 　．
11．定义：平面上一点到图形的最短距离为d，如图，OP=2，正方形ABCD的边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，d的取值范围是　 　 ．
三、计算题
12．在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．
（1）求点的“倾斜系数”的值；
（2）已知点的“倾斜系数”，且，求的长；
（3）如图，边长为的正方形在第一象限内，对角线在直线上，对于正方形边上任意一点都有“倾斜系数”，则实数的取值范围是______．
13．【问题情景】如图正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得度，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草．
（1）【模型感知】请直接写出线段之间的数量关系；
（2）【模型应用】如图②，若m，请你计算儿童活动区的面积；
（3）【模型拓展】如图③，连接，若与线段分别交于点、点，则和仍满足（1）中的数量关系吗？若不满足，请写出新的数量关系并说明理由．
14．在菱形中，，点E、F分别为上一点．
（1）如图1，当，时，直接写出三条线段和之间满足的等量关系式为________；
（2）当时，
①如图2，若，若，，求的长；
②如图3，E为中点，交于点G，交于点H，和交于点O，若，，，则________．
四、解答题
15．如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF
（1）求菱形BDFE的面积；
（2）求CG的长度．
五、作图题
16．如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段.
⑴以线段为一边，作正方形，点都在格点上；
⑵以线段AB为一边，作平行四边形ABEF，点都在格点上，且，平行四边形的面积为28；
⑶连接DF，请直接写出线段DF的长度.
六、综合题
17．如图，在四边形AECF中， ．CE、CF分别是△ABC的内，外角平分线．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
18．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
19．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
七、实践探究题
20．如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以．
（1）【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积．
（2）【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定；逆命题
6．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质
7．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
8．【答案】
【知识点】正方形的性质
9．【答案】①②③④
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
10．【答案】
【知识点】正方形的性质
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
12．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】解分式方程；勾股定理；正方形的性质
13．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
14．【答案】（1）
（2）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
15．【答案】（1）16；（2）
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
16．【答案】⑴如图，正方形即为所求；
⑵如图，平行四边形ABEF即为所求；
⑶
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；正方形的性质
17．【答案】（1）证明：∵CE、CF分别是 的内、外角平分线，
， ．
，即 ．
，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：当 满足 时，四边形AECF是正方形．
理由：
． ．
∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；角平分线的判定
18．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
19．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
20．【答案】（1）4
（2）8
【知识点】正方形的性质
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