【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
【压轴精讲一】用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？
【答案】最大乘积是342002，最小乘积是33210
【详解】要使乘积最大，不仅百位上的数一定是5和6，十位上的数一定是3和4，个位上的数只能是1和2，而且要使组成的三位数的差尽可能小．由于
631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是631×542=342002．
同理，要使乘积最小，必须百位上为1和2，十位上为3和4，个位数上为5和6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为135和246，此时最小乘积为33210．
【压轴精讲二】六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？
【答案】95分
【分析】六位同学的总分为92.5×6=555分，要使第三名同学得分尽可能少，第二名应仅次于第一名的得分99分，因此第二名同学得98分，同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的得分接近．
【详解】解：第三、四、五名同学的总分是：92.5×6-99-98-76=282（分）
由于282÷3=94分，因此要使这三名同学得分接近，应为95、94、93分．所以按分数从高到低排列居第三名的同学至少得95分．
【压轴精讲三】．有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有10个停车站．如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站坐到以后的每一站．为了使乘客都有座位，那么这辆公共汽车上至少要有多少个座？
【答案】25个
【分析】根据题意，在起点有9个乘客上了车，第二站又上来8个乘客，下去一个乘客，我们列表写出具体情况：
因此，这辆车至少应有的座位数应该按上车人数最少的情况来考虑，也就是说
按表所列上车人数的情况下，应保证每位乘客均有座位．
从表上看出，前五站上车人多下车人少，后五站上车人少下车人多，因此车上乘客最多时是在第五站乘客上下车后的人数．
【详解】车上的乘客在第五站时最多，此时汽车上的乘客人数为：（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（个）
因此，车上至少要有25个座位，才能保证每个乘客都有座位．
【点睛】此题用枚举法也是不错的方法，只要将在每个站时车上的人数列出来，同样可以求出人数的最大值。
1．一套课桌椅 210元，椅子价格是课桌的，课桌和椅子的单价各是多少元？
【答案】解：课桌：210÷（1+）
=210÷
=150（元）
椅子：210-150=60（元）
答：课桌的单价是150元，椅子的单价是60元，
【解析】【分析】把课桌的单价看成单位“1”，所以课桌的单价=一套课桌椅的价钱÷（1+椅子价格是课桌的几分之几），椅子的单价=一套课桌椅的价钱-课桌的单价，据此代入数值作答即可。
2．某商场运进200台冰箱，第一天卖出总数的 ，第二天卖出总数的 ，两天一共卖出冰箱多少台？
【答案】解： ，
200× =90（台）；
答：两天一共卖出冰箱90台。
【解析】【分析】可以先求出两天一共卖出总数的几分之几，即可求出两天一共卖出的台数．
3．一列动车的速度为320千米∕时，比一架客机的速度慢 。这架客机每小时可以飞行多少千米
【答案】解：320÷(1-)
=320÷
=320×3
=960（千米）
答：这架客机每小时可以飞行960千米.
【解析】【分析】根据条件“一列动车的速度为320千米∕时，比一架客机的速度慢 ”可知，把这架客机的速度看作单位“1”，求单位“1”，用除法计算，用这列动车的速度÷(1-)=这架客机的速度，据此列式解答.
4．同学们参观天文馆，六年级去了154人，五年级去的人数是六年级的 ，四年级去的人数是五年级的 ．四年级去了多少人？
【答案】解：154× × =112（人）
答：四年级去了112人．
【解析】【分析】六年级去了154人，五年级去的人数是六年级的，根据乘法的意义，五年级去了154×人，四年级去的人数是五年级的，则用五年级人数乘四年级去的人数占五年级人数的分率，即得四年级去了多少人．
5．学校图书室去年有图书2400册，今年图书册数比去年增加了 ，今年有图书多少册？
【答案】解：2400×（1+ ）
=2400×
=2760（册）
答：今年有图书2760册．
【解析】【分析】首先根据题意，把学校图书室去年有图书的册数看作单位“1”，则今年图书的册数是去年的 （1+=）。然后根据分数乘法的意义，用学校图书室去年有图书的册数乘，求出今年有图书多少册即可．
6．一辆汽车从甲地开往乙地，计划10 小时到达，实际 8 小时到达。实际速度比计划速度提高了百分之多少？
【答案】解：
答：实际速度比计划速度提高了25%。
【解析】【分析】把甲、乙两地间的路程看作单位“1”，则计划速度为 实际速度为
7． 两家售货亭都以每件120元的价格出售某种商品。一周后，甲售货亭先把售价降低了15%，再过一周又提高了 30%；乙售货亭在两周后提价15%。两周后，甲、乙两家售货亭哪一家售价高？
【答案】解：120×(1-15%)×(1+30%)=132.6(元)
120×(1+15%)=138(元)
132.6<138
答：乙售货亭售价高。
【解析】【分析】先利用百分数乘法的意义分别计算出甲售货亭和乙售货亭的售价，再比较大小即可。
8． 东北虎是我国一级保护动物。据估计，野生东北虎大约有 360 只，动物园里的东北虎大约比野生东北虎多35%。动物园里的东北虎大约有多少只？
【答案】解：360×(1+35%)=486(只)
答：动物园里的东北虎大约有486只。
【解析】【分析】动物园里的东北虎数量占野生东北虎的(1+35%)，求动物园里的东北虎数量，就是求 360 只的(1+35%)是多少只。
9．某校调查了六年级的 300 名学生，为了健康，能每天坚持阳光体育运动1小时的学生有240 人。根据上级要求，每天坚持阳光体育运动1小时的人数要达到95%，现在应增加多少人？
【答案】解：300×95%-240=45(人)
答：现在应增加45人。
【解析】【分析】根据上级要求，每天参加阳光体育运动1小时的人数要达到95%，是把六年级的总人数300名学生看作单位“1”，先根据乘法的意义，用300乘95%算出要达到95%应该有的人数，然后减去240人，即可得解。
10． 一个垃圾处理厂平均每天收到生活垃圾40吨，其中可回收利用垃圾占 40%，这个垃圾处理厂平均每天收到可回收利用垃圾多少吨？
【答案】解：40×40%=16(吨)
答： 这个垃圾处理厂平均每天收到可回收利用垃圾16吨？
【解析】【分析】本题的关键在于理解题目中给出的信息，即垃圾处理厂每天收到的生活垃圾总量，以及可回收利用垃圾占总量的比例。需要运用基本的数学运算，如乘法，来计算每天可回收利用垃圾的数量。
11．四川省的主要油料作物和重要经济作物是油菜。如果 500 千克油菜籽可榨油 190~200千克，那么油菜的最低出油率是多少？最高出油率呢？
【答案】解：190÷500=0.38=38%
200÷500=0.4=40%
答： 油菜的最低出油率是38%，最高出油率是40%。
【解析】【分析】根据出油率=油的重量÷油菜籽的重量×100%，分别用190和200除以500，再乘100%即可。
12．甲、乙两箱苹果共重 t，甲箱取出 ，乙箱取出 ，共取出苹果多少吨
【答案】解：
答： 共取出苹果吨 。
【解析】【分析】将甲、乙两箱苹果的总质量看作单位“1”，因为甲、乙两箱各取 ，所以可以看作共取出甲、乙两箱苹果总质量的 ，即求 t的 是多少，用乘法计算可得出答案。
13．如图是两个大小不同互相咬合的齿轮，大齿轮的半径是15 cm，小齿轮的半径是5cm。大齿轮转动一周，小齿轮要转动多少周
【答案】解：
大齿轮的周长为：2×3.14×15=94.2（cm）
小齿轮的周长为：2×3. 14×5 =31.4（cm）
小齿轮要转动：94.2÷31.4=3（周）
答：小齿轮要转动3周。
【解析】【分析】本题主要计算大齿轮的周长是小齿轮周长的几倍。先分别求出大齿轮和小齿轮的周长，再用大齿轮的周长除以小齿轮的周长，即可求出小齿轮要转动的周数。
14． 有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的 乙桶油比甲桶油多5kg，乙桶油的质量是多少千克
【答案】解：5÷（1-）
=5÷
=（千克）
答：乙桶油的质量是千克。
【解析】【分析】乙桶油的质量=乙桶油比甲桶油多的质量÷（1-） 。
15．为响应“节能减排，低碳生活”，小方骑自行车上学。小方家到学校的距离约有 2km，小方骑的自行车轮胎的外直径约70 cm，如果轮胎每分钟转 100 圈，他从家到学校大约需几分钟 (得数保留整数)
【答案】解：
2km=2000m
70cm=0.7 m
自行车车轮周长为：3.14×0.7=2.198（米）
自行车每分钟行驶路程：2.198×100=219.8（米/分）
到学校需要用的时间：2000÷219.8≈9（分）
答：他从家到学校大约需9分钟。
【解析】【分析】本题考查圆的周长计算及应用。根据周长公式，先求出自行车轮胎的周长，再乘100求出自行车每分钟行驶的路程，再用总路程除以自行车每分钟行驶的路程即可求出时间，注意单位换算。
1．用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少？
【答案】102,210
【详解】列出所有这样的三位数，因为0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4个，其中最大的是210，最小的是102．
2．一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米
【答案】48
【详解】如下图所示，我们将长方体的顶点标上字母：
注意到，我们尽量让小虫多走长方形的长，此时有A→B→C→D→A→E→F→G→H→E，小虫共走了6+5+6+5+4+6+5+6+5＝48分米．
当然与上面的路线对称的路线也是符合题意的．
所以，小虫最多能爬48分米．
3．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，在这样的自然数中，最小的一个是多少？
【答案】27
【详解】解：与3的和是5的倍数的自然数从小到大依次为：2、7、12、17、22、27、32……与3的差是6的倍数的自然数从小到大依次为：9、15、21、27、33、39、45……27是第一个同时符合两个条件的自然数，故满足条件的最小的自然数是27．
【点睛】将符合某条件的自然数一一列举，逐一比较，从中找出最值，这种方法叫枚举法．
4．有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【答案】74
【详解】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(个)，其中个用黑色．
这样，在表面的个的正方形中，有22个是黑色，(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
5．一根长72厘米的铁丝围成一个长方体，问围成一个什么形体时，体积最大？最大体积是多少立方厘米？
【答案】围成一个正方体时，体积最大，最大为216立方厘米
【详解】由于长方体分别有四条高、长、宽，不妨设为a、b、c，因此，因此，问题转化为已知a+b+c=18，求abc的最大值．显然，当这三个数相等，即a=b=c =6时，即围成一个正方体时，体积最大，此时体积为6×6×6=216（立方厘米）．
6．在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.
【答案】122364
【详解】如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.
7．将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，求最少有几个笼？
【答案】6个
【详解】解：设有x个笼，则共有（4x+1）只鸡，当每个笼中放5只鸡时，有一笼无鸡可放，这说明x个笼中有一个空笼，还有一个笼中不一定放满5只，但至少1只至多5只，有（x-2）个笼里放满5只．故1≤4x+1－5（x-2）≤5，解得6≤x≤10，由x是整数，则x最小取6，且当x=6时，有鸡25只，满足题意，故至少有6个鸡笼．
8．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？
【答案】15个；1人．
【详解】试题分析：因为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3+4+4+…15=120，而135﹣120=15，所以这15人再每个小组分给1人，最后一个小组分2人，即第一组1人，第二组3人，第三组4人，第五组5人…第15组17人，由此得出至多可以分成15个组，人数最少的那组有1人．
解：因为1+2+3+4+5+…15=120，而135﹣120=15
所以1+3+4+4+5+6+7+…+17=135
所以至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．
答：至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．
点评：关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，所以应该从一个组一个人开始试着进行推算．
9．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？
【答案】10000元
【分析】将所有货物集中存放在某一仓库的情形列出来，共有五种情况，通过枚举比较，确定要选择的仓库，再求出最少运输费，这是比较容易想到的办法．除此以外，也可以用“小往大处靠”原则求解，即如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中所花的运费最少．
【详解】解法一：我们设依次计算以一、二、……、五号仓库为集中点所需要的运输费：
1×（20×100+40×400）=2000+16000=18000（元）
1×（10×100+40×300）=1000+12000=13000（元）
1×（10×200+20×100+40×200）=2000+2000+8000=12000（元）
1×（10×300+20×200+40×100）=3000+4000+4000=11000（元）
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运输费最少，为10000元．
解法二：由于，所以可以用“小往大处靠”原则解题．所以五号仓库为最佳集中仓库，此时运费最少，为
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
【点睛】要注意“小往大处靠”原则成立的前提是“某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半”，失去这个前提条件，结论便不成立．例如将一、二、五号仓库的存货分别变为30吨、10吨、30吨，那么容易算出集中到二号仓库运输费最少．
10．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。
【答案】最小值为28。
见详解
【分析】由题意“任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和”可以看出：从第1个圆圈加到第5个圆圈，第2个圆圈加到第6个圆圈……第10个圆圈加到第4个圆圈，其中包括了所有的连续5个圆圈的之和，从中可以看出每个数都是加了5次，而其之和是10倍，所以可以得出：5×（1＋2＋……＋10≤10M，可据此解答。
【详解】由题意可得：
5×（1＋2＋……＋10≤10M
5×55≤10M
275≤10M
27.5≤M
由于M为整数，所以M＝28。
答：M的最小值为28。
因为是任意之和都不大于28，可将1，2，…，10这10个数均匀分布，将10，7，6，3，2，9，8，5，4，1依次填入圆圈中。填图如下：
【点睛】本题主要考查整数的综合运用，解决本题的关键是找到每个数都是加了5次，而其之和是10倍，从而得出5×（1＋2＋……＋10≤10M，这是本题的突破口。
11．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．
【答案】60483
【详解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小．
则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．
则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．
类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．
12．有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？
【答案】仅一面红色的长方体最多可形成5×4=20个一面红色的小正方体；
恰有两面红色的长方体最多可形成20×2=40个一面红色的小正方体；
恰有三面红色的长方体最多可形成4+16×2=36个一面红色的小正方体；
恰有四面红色的长方体最多可形成：12×2+4×2=32个一面红色的小正方体；
恰有五面红色的长方体最多可形成：
3+9×2+3×2=27个一面红色的小正方体；
六面红色的长方体恰形成：
（6＋2+3） × 2=22个一面红色的小正方体；
分割后，所得一面红色的小正方体最多有：
20＋40＋36＋32＋27＋22=177个.
【详解】略
13．某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午12点返回原码头．已知河水的流速为1.4千米/小时，划船时，船在静水中速度可达3千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远．
【答案】甲最远离开码头1.7千米
【分析】甲从上午9时15分到中午12时返回码头，共划行2小时45分钟，即165分钟．他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，由165=30×4+15×3，可得甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟的休息．
分两种情况讨论：
（一）甲先向下游划，由于只有4个划行时间段，还要原路返回，故甲最多只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则他将无法返回．
（二）甲先向上游划，则他至少可以用2个30分钟的时间段向上游划．
【详解】解：先假设甲向下游划，则他划行30分钟，休息15分钟共航行的距离为：
（3+1.4）×0.5+1.4×0.25=2.55（千米）
返回时用3个30分钟，2个15分钟休息，可得航行的距离为：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米
由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时将不能回到出发地．
如果甲开始向上游划，划了3个30分钟的时间段，并休息了2个15分钟后，从第3个休息的15分钟起就已经随水流向回去的方向开始漂移．
因此，甲离开码头最远的距离为：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米
答：甲最远只能离开码头1.7千米
【点睛】当题目中没有指明航行的方向时，应分情况讨论．另外要注意题目中单位的一致．
14．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？
【答案】应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵．
【分析】想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：
A种：由20朵花组成的花束价值4元
B种：由35朵花组成的花束价值6元
C种：由50朵花组成的花束每束价值9元
平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束
【详解】解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买．由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵．
因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵．
解法二：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数．可以先缩小字母的取值范围．例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束．同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16
15．要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米的钢管，那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少？
【答案】当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少．
【分析】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余．
【详解】解：设38毫米、90毫米的钢管分别锯了x段、y段，一共需要锯（x+y-1）次，由题意得：
38x+90y+（x+y-1）=1000，并且要使x+y最小，化简方程得
y=11-，由于x、y都是正整数，得：
要使锯的次数最少，应取x=7，y=8
即当锯得38毫米的钢管7段，90毫米的钢管8段时，钢管的损耗最少．
16．三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了场，乙打了场时，丙最多打几场？
【答案】场
【分析】可以假设极端情况，甲、乙都只与丙打，这样丙可以打15场，但是但甲比乙多打3场，所以甲不全是和丙打，还会和乙打。
【详解】甲、乙都只与丙打，丙可打（场）
但甲比乙多打（场）
不算最后一场输赢，甲应赢丙（场）
这样总场数为（场）
丙打了（场）
答：丙最多打11场。
【点睛】本题考查的是体育比赛中的最值问题，对于最值问题，可以考虑极端情况求解问题。
17．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？
【答案】27盆
【解析】甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，总共浇水275次，要使得恰好被1个人浇过的花最少，那么被浇4次的花也需要尽量多，也就是30盆。
【详解】（次）
100盆花共被浇水275次；
（次）
平均每盆被浇2.75次；
为了让被浇1次的花最多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆；
（次）
那么余下70盆共被浇155次；
平均每盆被浇（次）
说明需要一些花被浇3次才可以．我们假设70盆都被浇3次，那么多出（次）
每盆花少浇2次变为被浇1次，最多可以变为：
（次）
所以本题答案为27盆；
答：恰好被1个人浇过的花最多有27盆。
【点睛】这不是一道单纯的包含与排除问题，本题涉及较复杂的“最不利原则”理论，平均数理论，以及鸡兔同笼理论。
18．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
【答案】盆
【分析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有70盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了。
【详解】（盆）
（盆）
（盆）
（盆）
（盆）
答：恰好被3个人浇过的花最少有15盆。
【点睛】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画图表示各个量之间的关系。
19．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【答案】
【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，由内往外，有重复计算三次的，重复计算两次的，只计算一次的，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中。
【详解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1）
＝52＋126＋52＋10
＝240
答：和最大是多少是240。
【点睛】本题将容斥问题、最值问题、数阵图问题相结合，关键是区分每一个区域重复计算的次数。
20．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？
【答案】人
【分析】先分别求出会打乒乓球、会打羽毛球、会打排球的人数，然后根据容斥原理求解问题。
【详解】解：设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有人，只会打乒乓球和排球两项的有人，只会打羽毛球和排球两项的有人。由于只会三项运动中的一项的不可能小于，所以、、有如下关系：
会打乒乓球的人数：（人）
会打羽毛球的人数：（人）
会打排球的人数：（人）
将三条关系式相加，得到，而60人当中会至少一项运动的人数有
人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当、、分别取、、时，不等式组成立）。
答：这三项运动都不会的最多有4人。
【点睛】本题考查的是容斥原理与最值问题，可以画韦恩图表示各个量的关系，假设极端情况进行分析求解。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。
【压轴精讲一】用1、2、3、4、5、6六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？
【答案】最大乘积是342002，最小乘积是33210
【详解】要使乘积最大，不仅百位上的数一定是5和6，十位上的数一定是3和4，个位上的数只能是1和2，而且要使组成的三位数的差尽可能小．由于
631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是631×542=342002．
同理，要使乘积最小，必须百位上为1和2，十位上为3和4，个位数上为5和6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为135和246，此时最小乘积为33210．
【压轴精讲二】六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得多少分？
【答案】95分
【分析】六位同学的总分为92.5×6=555分，要使第三名同学得分尽可能少，第二名应仅次于第一名的得分99分，因此第二名同学得98分，同时应使第四、第五名同学的得分尽可能与第三名同学的得分接近．
【详解】解：第三、四、五名同学的总分是：92.5×6-99-98-76=282（分）
由于282÷3=94分，因此要使这三名同学得分接近，应为95、94、93分．所以按分数从高到低排列居第三名的同学至少得95分．
【压轴精讲三】．有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有10个停车站．如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站坐到以后的每一站．为了使乘客都有座位，那么这辆公共汽车上至少要有多少个座？
【答案】25个
【分析】根据题意，在起点有9个乘客上了车，第二站又上来8个乘客，下去一个乘客，我们列表写出具体情况：
因此，这辆车至少应有的座位数应该按上车人数最少的情况来考虑，也就是说
按表所列上车人数的情况下，应保证每位乘客均有座位．
从表上看出，前五站上车人多下车人少，后五站上车人少下车人多，因此车上乘客最多时是在第五站乘客上下车后的人数．
【详解】车上的乘客在第五站时最多，此时汽车上的乘客人数为：（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（个）
因此，车上至少要有25个座位，才能保证每个乘客都有座位．
【点睛】此题用枚举法也是不错的方法，只要将在每个站时车上的人数列出来，同样可以求出人数的最大值。
1．一套课桌椅 210元，椅子价格是课桌的，课桌和椅子的单价各是多少元？
2．某商场运进200台冰箱，第一天卖出总数的 ，第二天卖出总数的 ，两天一共卖出冰箱多少台？
3．一列动车的速度为320千米∕时，比一架客机的速度慢 。这架客机每小时可以飞行多少千米
4．同学们参观天文馆，六年级去了154人，五年级去的人数是六年级的 ，四年级去的人数是五年级的 ．四年级去了多少人？
5．学校图书室去年有图书2400册，今年图书册数比去年增加了 ，今年有图书多少册？
6．一辆汽车从甲地开往乙地，计划10 小时到达，实际 8 小时到达。实际速度比计划速度提高了百分之多少？
7． 两家售货亭都以每件120元的价格出售某种商品。一周后，甲售货亭先把售价降低了15%，再过一周又提高了 30%；乙售货亭在两周后提价15%。两周后，甲、乙两家售货亭哪一家售价高？
8． 东北虎是我国一级保护动物。据估计，野生东北虎大约有 360 只，动物园里的东北虎大约比野生东北虎多35%。动物园里的东北虎大约有多少只？
9．某校调查了六年级的 300 名学生，为了健康，能每天坚持阳光体育运动1小时的学生有240 人。根据上级要求，每天坚持阳光体育运动1小时的人数要达到95%，现在应增加多少人？
10． 一个垃圾处理厂平均每天收到生活垃圾40吨，其中可回收利用垃圾占 40%，这个垃圾处理厂平均每天收到可回收利用垃圾多少吨？
11．四川省的主要油料作物和重要经济作物是油菜。如果 500 千克油菜籽可榨油 190~200千克，那么油菜的最低出油率是多少？最高出油率呢？
12．甲、乙两箱苹果共重 t，甲箱取出 ，乙箱取出 ，共取出苹果多少吨
13．如图是两个大小不同互相咬合的齿轮，大齿轮的半径是15 cm，小齿轮的半径是5cm。大齿轮转动一周，小齿轮要转动多少周
14． 有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶油的 乙桶油比甲桶油多5kg，乙桶油的质量是多少千克
15．为响应“节能减排，低碳生活”，小方骑自行车上学。小方家到学校的距离约有 2km，小方骑的自行车轮胎的外直径约70 cm，如果轮胎每分钟转 100 圈，他从家到学校大约需几分钟 (得数保留整数)
1．用0、1、2这三个数，分别能组成多少个不同的三位数？其中最小的三位数和最大的三位数分别是多少？
2．一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米
3．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，在这样的自然数中，最小的一个是多少？
4．有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
5．一根长72厘米的铁丝围成一个长方体，问围成一个什么形体时，体积最大？最大体积是多少立方厘米？
6．在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.
7．将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，求最少有几个笼？
8．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？
9．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？
10．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。求M的最小值并完成你的填图。
11．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．
12．有6个棱长分别是3厘米，4厘米，5厘米的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得一个长方体只有一个面是红色的，一个长方体恰有两个面是红色的，一个长方体恰有三个面是红色的，一个长方体恰有四个面是红色的，一个长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色.染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小立方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小立方体最多有几个？
13．某甲于上午9时15分由码头划船出游，最迟于中午12点返回原码头．已知河水的流速为1.4千米/小时，划船时，船在静水中速度可达3千米/小时，如果甲每划30分钟就要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，求甲最多能划离码头多远．
14．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？
15．要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米的钢管，那么只有当锯得的38毫米的钢管和90毫米的钢管各多少段时，所损耗的钢管才能最少？
16．三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了场，乙打了场时，丙最多打几场？
17．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被1个人浇过的花最少有多少盆？
18．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？
19．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
20．60人中有的人会打乒乓球，的人会打羽毛球，的人会打排球，这三项运动都会的人有人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？
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