【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【压轴精讲一】涧小举行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图帮助理解）
【答案】解：如下图：
8×4﹣4
=32﹣4
=28（人）
28×4=112（套）
8×8﹣28
=64﹣28
=36（人）
36×4=144（套）
答：一共要准备红色运动服112套，绿色运动服144套．
【解析】【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有8人，一共是8×4=32人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去4个顶点的人数一次，最外层有32﹣4=28人，也就是每个方阵穿红色运动服的人数，再乘上4，就是红色运动服需要准备的套数；
每个方阵一共有8×8=64人，再减去最外层的28人，就是需要穿绿色运动服的人数，然后乘上4即可求解。
【压轴精讲二】做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？
【答案】解：扩大的方阵每边上有：
（10+15+1）÷2，
=26÷2，
=13（人）；
原来人数：
13×13﹣15，
=169﹣15，
=154（人）；
答：原来有154人．
【解析】【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数。
【压轴精讲三】学校举行队列表演。六年级1班学生排成正方形的方阵，最外层每边站16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？
【答案】解：16×4-4=60(名)或(16-1)×4=60(名)
16×16=256(名)
答：最外层一共有60名同学，整个方阵一共有256名同学。
【解析】【分析】用最外层的人数乘4，再减去每个角上重复计算的4名同学即可求出最外层人数，或者用最外层每边的人数减去1，再乘4求出最外层人数；方阵一共有16行，16列，用行数乘列数即可求出一共的人数。
1．学校运动会开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵。在方阵中，小龙的东、西、南、北四个方向各有3人。你知道这个方阵一共有多少人吗？
2．同学们站成方阵做体操，小明站在排尾，他的前面有4人，左边有1人，右边有3人，这个方阵共有多少人？
3．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？
4．公园菊花展期间，工作人员将菊花摆成了一个实心方阵，最外层放了124盆菊花，最外层每边放多少盆菊花？这个实心方阵一共有多少盆菊花？
5．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？
6．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
7．公园在水池周围用鲜花围成了一个每边四层的方阵，最外面一层每边有14盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？
8．学校教学楼前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放10盆花，最外层共摆放了多少盆花？这个方阵一共摆放了多少盆花？
9．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人 一共有多少人
10．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？
11．同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？
12．要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？
13．战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？
14．同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？
15．我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美观，准备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算一下每边各需要有多少彩旗？
1． 为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成一个空心方阵，最外层人数共120人，最内层共有 80人。这个空心方阵一共有多少人？
2．据中国载人航天工程办消息，北京时间 2023 年 10 月 26 日 11 时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。某科技实验小学的同学们排成一个方阵观看直播，最外层每边有 15 名同学，最外层一共有学生多少名？ 整个方阵一共有多少名同学观看？
3．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6 行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套
4．金星小学五年级的同学进行团体操表演，这些人排成了一个正方形队列，最外面一圈的人数为60人，这个队列一共有多少人？
5．为庆祝建国70周年，我校组织一个表演方阵进行文艺演出，该表演方阵共有8行，小王同学排在其中一行里。从左边数他排在第18位，从右边数他排在第13位，问这个表演方阵一共有多少人？
6．在学校的文艺演出中，小演员们在舞台的中央排成了一个空心正方形，每条边上站了16人（四个顶点都站有1人）。这个舞台上共有多少位小演员？
7．在学校楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成8排，每排8盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（可以先画图表示出1个方阵的排列，再计算。）
8．同学们举行健美操队列表演，共有4个方阵，每个方阵最后一行最后一列的那位同学用数对表示是（6，6）。方阵最外面的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服。共要准备红色、绿色运动服各多少套？
9．学校排练大型团体操，原来是一个正方形方阵，由于人数本少，又增加了 56 人。队形重新排列后每行比原来增加了 4人，行数增加了 2行。现在共有多少人参加团体操表演 画一画，算一算。
10．有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【压轴精讲一】涧小举行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图帮助理解）
【答案】解：如下图：
8×4﹣4
=32﹣4
=28（人）
28×4=112（套）
8×8﹣28
=64﹣28
=36（人）
36×4=144（套）
答：一共要准备红色运动服112套，绿色运动服144套．
【解析】【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有8人，一共是8×4=32人，由于顶点的人数都被重复计算了一次，所以需要减去4个顶点的人数一次，最外层有32﹣4=28人，也就是每个方阵穿红色运动服的人数，再乘上4，就是红色运动服需要准备的套数；
每个方阵一共有8×8=64人，再减去最外层的28人，就是需要穿绿色运动服的人数，然后乘上4即可求解。
【压轴精讲二】做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，求原来有多少人？
【答案】解：扩大的方阵每边上有：
（10+15+1）÷2，
=26÷2，
=13（人）；
原来人数：
13×13﹣15，
=169﹣15，
=154（人）；
答：原来有154人．
【解析】【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数。
【压轴精讲三】学校举行队列表演。六年级1班学生排成正方形的方阵，最外层每边站16名同学，最外层一共有多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？
【答案】解：16×4-4=60(名)或(16-1)×4=60(名)
16×16=256(名)
答：最外层一共有60名同学，整个方阵一共有256名同学。
【解析】【分析】用最外层的人数乘4，再减去每个角上重复计算的4名同学即可求出最外层人数，或者用最外层每边的人数减去1，再乘4求出最外层人数；方阵一共有16行，16列，用行数乘列数即可求出一共的人数。
1．学校运动会开幕式上，小龙班上的同学组成了一个方阵。在方阵中，小龙的东、西、南、北四个方向各有3人。你知道这个方阵一共有多少人吗？
【答案】解：3+3+1=7(人)
7×7=49(人)
答：这个方阵一共有49人。
【解析】【分析】小龙的东面3人，西面3人，说明东西排列每行7人，那么南北排列每列也是7人，所以这是一个7行7列的方阵。
2．同学们站成方阵做体操，小明站在排尾，他的前面有4人，左边有1人，右边有3人，这个方阵共有多少人？
【答案】解：每排人数：1+4=5（人）
排数：1+3+1=5（排）
5×5=25（人）
答：这个方阵共有25人。
【解析】【分析】小明站在排尾，他的前面有4人，说明每排人数为（5+1）；左边有1人，右边有3人，说明排数为（1+3+1）；排数×每排的人数=总人数。
3．在英才小学运动会上的团体操表演中，高年级的参演学生排成了一个方阵，方阵最外面一层共有28名同学，整个方阵一共有多少名学生？
【答案】解：28÷4+1=7+1=8（名）
8×8=64（名）
答：整个方阵一共有64名学生。
【解析】【分析】方阵最外面一层的学生数÷4+1=每层的学生数，每层的学生数×层数=整个方阵学生数。
4．公园菊花展期间，工作人员将菊花摆成了一个实心方阵，最外层放了124盆菊花，最外层每边放多少盆菊花？这个实心方阵一共有多少盆菊花？
【答案】解：124÷4+1
=31+1
=32（盆）
32×32=1024（盆）
答：最外层每边放32盆菊花，这个实心方阵一共有1024盆菊花。
【解析】【分析】最外层放的菊花盆数÷4+1=每边放的盆数，每边放的盆数×每边放的盆数=这个实心方阵一共放的盆数。
5．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？
【答案】解：9×4-4
=36-4
=32（人）
9×9=81（人）
答：外层一共有32人，整个方阵一共有81人。
【解析】【分析】方阵最外层每边人数×4-4=最外层的总人数；方阵最外层每边人数×最外层每边人数=这个方阵的总人数。
6．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
【答案】解：（10-1）×4
=9×4
=36（名）
10×10=100（名）
答：最外层一共有36名；整个方阵一共有100名。
【解析】【分析】方阵最外层每边人数×4-4=最外层的总人数；方阵最外层每边人数×最外层每边人数=这个方阵的总人数。
7．公园在水池周围用鲜花围成了一个每边四层的方阵，最外面一层每边有14盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？
【答案】解：（14-4）×4×4
=10×4×4
=160（盆）
答：一共摆了160盆鲜花。
【解析】【分析】空心方阵的总人数=（最外层每边的人数-空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
8．学校教学楼前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放10盆花，最外层共摆放了多少盆花？这个方阵一共摆放了多少盆花？
【答案】解：10×4-4＝36(盆)
10×10＝100(盆)
答：最外层共摆放了36盆花，这个方阵一共摆放了100盆花。
【解析】【分析】最外层四个角上的花是重复计数的，因此用每边摆放花的盆数乘4，再减去4即可求出最外层的总盆数；方阵共10行，每行10盆花，用每行的盆数乘行数即可求出总盆数。
9．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人 一共有多少人
【答案】60÷4+1=16(人)，16×16=256(人)，答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人。
【解析】【分析】方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数-1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1。
根据公式：每边的人数=四周的人数÷4+1可得：60÷4+1=16（人），据此解答。
10．大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？
【答案】解：8×4﹣4
=32﹣4
=28（盆）
8×8=64（盆）
答：最外层一共摆了28盆，这个方阵花坛共有64盆花
【解析】【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆8盆，可以看做每边点数为8的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解决问题．
11．同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？
【答案】解：20×4﹣4
=80﹣4
=76（人）
20×20=400（人）
答：最外层有76人，整个方阵一共400人．
【解析】【分析】排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，即最外层每边20人，根据“最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数”，代入数据即可解答．
12．要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？
【答案】解：根据题意可得：
（5﹣1）×5
=4×5
=20（盆）
答：最少需要20盆花．
【解析】【分析】在五边形的水池边上摆花盆，五个顶点各摆上一盆，这样摆花盆最少，然后用每一边摆的5盆花减去1，再乘上边数5就可以求出结果．
13．战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？
【答案】解：12×4﹣4，
=48﹣4，
=44（人），
12×12=144（人），
答：最外层一共有44名学生，参加军训的一共有144名学生．
【解析】【分析】最外层人数=每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．
14．同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？
【答案】解：（12﹣4）×4×4
=8×16
=128（朵）
答：共有红花128朵．
【解析】【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵共有红花多少朵，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
15．我们学校在庆六一活动中，开展了大型的文艺汇演，为了把会场装扮得更加美观，准备在正方形会场的四周插上56面彩旗，每边彩旗相等．四个顶点都有彩旗，请你计算一下每边各需要有多少彩旗？
【答案】解：56÷4+1
=14+1
=15（面）
答：每边各需要有15面彩旗．
【解析】【分析】此题可以看做是空心方阵问题；最外围每边点数=四周点数之和÷4+1，由此代入数据即可解答．
1． 为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成一个空心方阵，最外层人数共120人，最内层共有 80人。这个空心方阵一共有多少人？
【答案】解：4×2=8(人)
(120-80)÷8=5(个)
5+1=6(层)
80+8=88(人) 88+8=96(人）
96+8=104(人) 104+8=112(人)
80+88+96+104+112+120=600(人)
答：这个空心方阵一共有600人。
【解析】【分析】本题为方阵问题，外面一层每边人数比相邻的内层多2人，那么四条边就多8人。最外层一共有120人，最内层一共有 80人，(120-80)÷8=5(个)间隔，所以这是一个6层的空心方阵，则中间4层的人数分别是80+8=88(人)、88+8=96(人)、96+8=104(人)、104+8=112(人)。由此即可求出这个方阵中的总人数。
2．据中国载人航天工程办消息，北京时间 2023 年 10 月 26 日 11 时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。某科技实验小学的同学们排成一个方阵观看直播，最外层每边有 15 名同学，最外层一共有学生多少名？ 整个方阵一共有多少名同学观看？
【答案】解：15×4-4=56(名)
15×15=225(名)
答： 最外层一共有学生56名，；整个方阵一共有225名同学观看。
【解析】【分析】方阵最外层的总人数等于最外层每边的人数×4-四个角重复计算的4人，方阵的总人数=最外层每行人数×最外层每列人数。
3．在学校举办的运动会上，四年级一班的同学排成一个方队走过主席台。每个方队排成6 行，每行6人。最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿白色运动服，一共要准备两种颜色的运动服各多少套
【答案】解：6×4-4
=24-4
=20（套）
6×6-20
=36-20
=16（套）
答：红色运动服20套，白色运动服16套。
【解析】【分析】红色运动服的套数=最外一圈的人数=平均每行的人数×4-4个顶点的人数；白色运动服的套数=平均每行的人数×行数-最外一圈的人数。
4．金星小学五年级的同学进行团体操表演，这些人排成了一个正方形队列，最外面一圈的人数为60人，这个队列一共有多少人？
【答案】解：60÷4+1
=15＋1
=16（人）
16×16=256（人）
答：这个队列一共有256人。
【解析】【分析】这个队列一共的人数=平均每列的人数×列数；其中，平均每列的人数=列数=最外面一圈的人数÷4＋1人。
5．为庆祝建国70周年，我校组织一个表演方阵进行文艺演出，该表演方阵共有8行，小王同学排在其中一行里。从左边数他排在第18位，从右边数他排在第13位，问这个表演方阵一共有多少人？
【答案】解：(18+13-1)×8
=30×8
=240(人)
答：这个表演方阵一共有240人。
【解析】【分析】由题意可知，每行有（18+13-1）人，再乘上行数，即可求出方阵的总人数。
6．在学校的文艺演出中，小演员们在舞台的中央排成了一个空心正方形，每条边上站了16人（四个顶点都站有1人）。这个舞台上共有多少位小演员？
【答案】解：16×4-4
=64-4
=60（位）
答：这个舞台上共有60位小演员。
【解析】【分析】四个顶点处的4人是重复计数的，因此用每条边上站人的个数乘4，再减去4个顶点处重复计数的4人即可求出小演员的总数。
7．在学校楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成8排，每排8盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（可以先画图表示出1个方阵的排列，再计算。）
【答案】解：
一个方阵黄花的盆数：6×6=36（盆）
一个方阵红花的盆数：8×8-36=28（盆）
36×3=108（盆）
28×3=84（盆）
答：一共要准备黄花108盆，红花84盆。
【解析】【分析】根据题意画出一个8×8方阵的排列，观察图可知一个方阵里黄花围成了一个6×6的正方形，据此可以得出一个方阵里黄花的盆数。一个方阵里摆放的花盆数=8×8，一个方阵里红花的盆数=一个方阵里摆放的花盆数-一个方阵里黄花的盆数，进一步得出3个方阵里黄花跟红花各有多少盆。
8．同学们举行健美操队列表演，共有4个方阵，每个方阵最后一行最后一列的那位同学用数对表示是（6，6）。方阵最外面的同学穿红色运动服，其余都穿绿色运动服。共要准备红色、绿色运动服各多少套？
【答案】解：（6×4-4）×4=80（套）
6×6×4-80=64（套）
答：一共要准备红色运动服80套，绿色运动服64套。
【解析】【分析】（6，6）表示每个方阵都是6列6行；每个方阵最外面的人数=每边的人数×4-4人，4个方阵最外面的人数=（每边的人数×4-4人）×4；每个方阵的列数×每列的人数=每个方阵的人数，每个方阵的人数×4=4个方阵的人数，4个方阵的人数-4个方阵最外面的人数=其余的人数。
9．学校排练大型团体操，原来是一个正方形方阵，由于人数本少，又增加了 56 人。队形重新排列后每行比原来增加了 4人，行数增加了 2行。现在共有多少人参加团体操表演 画一画，算一算。
【答案】解：如图：
原理每边的人数：
（56-2×4）÷（2+4）
=48÷6
=8（人）
现在的人数：8×8+56
=64+56
=120（人）
答：现在共有120人参加团体操表演。
【解析】【分析】图中白色正方形表示原来的人数，黄色和红色部分表示增加的人数。用增加的人数减去红色部分增加的8人求出黄色部分的人数，把两部分黄色合成一个宽（2+4）的长方形，用两个黄色部分的人数除以（2+4）即可求出原来正方形每条边的人数。用原来方阵的人数加上增加的人数即可求出现在的总人数。
10．有一个团体操表演队，想排成6层的中空方阵的表演队形。已知参加表演的有360人，最外层每边应安排多少人
【答案】解：设最外层每边人数是x人，则(x一6)×6×4=360．
解得：x=21。
【解析】【解答】解：设最外圈人数是x人。
x+（x-8）+（x-8×2）+（x-8×3）+（x-8×4）+（x-8×5）=360
x+x-8+x-16+x-24+x-32+x-40=360 6x-120=360 6x=360+120 x=480÷6 x=80
80÷4+1=21（人）
答：最外层每边应安排21人。
【分析】方阵中相邻两层的人数相差8人，设最外层人数是x人，则第二层就是（x-8）人，第三层就是（x-8×2）人，这样分别表示出每层的人数，这些人数相加就是总人数，列方程求出最外层的人数。用最外层人数除以4再加上1就是外层每边的人数。
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