人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 教案(表格式)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 教案(表格式) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 875.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-31 19:41:20 | ||
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文档简介
最短路径问题教学设计
一、教学内容分析
《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章《轴对称》的课题学习内容，是在学生已经学习过轴对称、三角形的基础上，探究如何利用线段公理解决最短路径问题。它既是轴对称、平移、三角形知识运用的延续，又能培养学生独立思考、自主学习、合作探究的能力，在知识与能力转化上起到衔接作用。本节课的学习过程体现了建模、转化、类比的数学思想方法。
二、学情分析：
作为八年级上册的学生，在以前的学习中很少遇到最值问题（最短路径问题即最值问题），所以在解决这方面问题的方法储备较少，感觉比较陌生，无从下手；但是学生已有两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质与轴对称的知识储备，为本节课的学习奠定了较好的基础。所以本节课的策略就是怎样建立这些知识之间的联系，从而解决本节课的问题。
三、学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。
四、教学重、难点
1．重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
2．难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
五、教学过程
学习过程设计
学习流程 学生活动 设计意图
（一）创设情境、导入新课师：日常生活中从A地前往B地，人们都喜欢走红色这条路线，而不走蓝色这条路线，为什么？生：这样走更近。师：依据是什么？生：（1）两点之间，线段最短（2）三角形两边之和大于第三边而我们这节课所要共同探讨的内容就是——最短路径问题。（板书）知识回顾1．两点的所有连线中， 最短。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。 通过日常生活中的实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性。同时新课程标准强调数学与现实生活的联系，而且要求“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发”，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。利用生活常识学生很容易得到答案，感受数学来源于生活。
自学教材第85 页至87 页，思考下列问题：1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． 引导学生思考现象背后蕴含的数学原理，对这节课的教学做好铺垫。
例题1、相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？问：1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小问：2.你能找到这样的点C了吗？答：还是不能问：当点A、B在直线l的异侧，点C在直线l的什么位置时，AC+BC的和最小？答：连接A、B两点所在的线段，交直线l于点C，C点即为所求。依据: 两点之间，线段最短。问：4.观察刚才的图形和问题图形，它们的点和直线的位置关系有什么不同？答：点在直线的同侧和异侧问：5.你能把同侧的问题转化为异侧解决吗？（学生思考，也可以相互之间讨论一下）（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求． （也可以作A点关于l的对称点）问：6.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（学生以小组为单位合作解决这个问题）证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．教师引导学生对解决问题的思想、方法的小结。练习：1．如图， A、B是河流 同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求． 为学生提供生活情景，培养学生把生活问题转化为数学问题的能力。经历观察—作图—总结等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力。通过实际问题建模成数学问题，让学生体会建模思想，认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法，由于计算机的发展，数学已不仅是一门学科，还是一门技术，在自然科学、社会科学的领域都有应用，感受数学于薄小纸片上决胜千里之外的巨大作用，激发学生的上进心、求知欲，培养学生用数学的意识和能力，落实学习目标。 及时练习巩固，锻炼学生的动手能力，同时也检验学生的掌握情况。
例题2、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。小组合作完成解题思路：过点M作BC的对称点 M′，连接M′N，与BC的交点即为所求的点P。如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草,然后到河边饮水，最后再回到马棚A。问题：请你确定这一过程的最短路径。（学生小组合作讨论，相互交流解题经验）1.转化为数学问题: 如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 解题思路：（1）过直线l1、l2作A点关于它们的对称点A′, A′′,（2）连接A′A′′所在的线段，与直线l1、l2分别交于点M、N（3）走A—M—N路线就最短 类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法,通过类比刚才解决问题的方法，小组合作，很容易就能完成这个问题。由于此题较难，充分发挥小组的优势来解决这个问题。进一步提升学生利用已学知识解决问题的能力，并在设置上由浅入深，逐渐加深学生思考，培养学生应用意识、创新意识、过程经验，通过这道题继续巩固本节课解题基本思路（轴对称、线段和最短），再次体会转化思想，把本节课的知识进一步拓展延伸。
本节课你收获了哪些知识？1、本节课研究问题的基本过程：2、本节课运用了转化的数学思想方法。 教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时使学生养成善于总结的良好的学习习惯，在开动思维、深入探究直到解决问题中获得成功，最后由教师精讲点拨。
2、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径． 答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，∴旅游船线路：P—Q—R—P. 既是练习又是检测，教师通过巡视和发挥小组的作用了解学生的掌握情况并及时处理。
安全教育 课后不要追逐打闹，上下楼梯靠右行，注意安全，课间喝水。
A
B
C
B’
C
C’
A
L1
.
A
L2
数学模型
实际问题
逻辑证明
合情推理
一、教学内容分析
《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章《轴对称》的课题学习内容，是在学生已经学习过轴对称、三角形的基础上，探究如何利用线段公理解决最短路径问题。它既是轴对称、平移、三角形知识运用的延续，又能培养学生独立思考、自主学习、合作探究的能力，在知识与能力转化上起到衔接作用。本节课的学习过程体现了建模、转化、类比的数学思想方法。
二、学情分析：
作为八年级上册的学生，在以前的学习中很少遇到最值问题（最短路径问题即最值问题），所以在解决这方面问题的方法储备较少，感觉比较陌生，无从下手；但是学生已有两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质与轴对称的知识储备，为本节课的学习奠定了较好的基础。所以本节课的策略就是怎样建立这些知识之间的联系，从而解决本节课的问题。
三、学习目标：
1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用。
2、在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性。
四、教学重、难点
1．重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
2．难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。
五、教学过程
学习过程设计
学习流程 学生活动 设计意图
（一）创设情境、导入新课师：日常生活中从A地前往B地，人们都喜欢走红色这条路线，而不走蓝色这条路线，为什么？生：这样走更近。师：依据是什么？生：（1）两点之间，线段最短（2）三角形两边之和大于第三边而我们这节课所要共同探讨的内容就是——最短路径问题。（板书）知识回顾1．两点的所有连线中， 最短。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。 通过日常生活中的实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性。同时新课程标准强调数学与现实生活的联系，而且要求“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发”，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。利用生活常识学生很容易得到答案，感受数学来源于生活。
自学教材第85 页至87 页，思考下列问题：1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． 引导学生思考现象背后蕴含的数学原理，对这节课的教学做好铺垫。
例题1、相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？问：1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小问：2.你能找到这样的点C了吗？答：还是不能问：当点A、B在直线l的异侧，点C在直线l的什么位置时，AC+BC的和最小？答：连接A、B两点所在的线段，交直线l于点C，C点即为所求。依据: 两点之间，线段最短。问：4.观察刚才的图形和问题图形，它们的点和直线的位置关系有什么不同？答：点在直线的同侧和异侧问：5.你能把同侧的问题转化为异侧解决吗？（学生思考，也可以相互之间讨论一下）（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求． （也可以作A点关于l的对称点）问：6.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（学生以小组为单位合作解决这个问题）证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′ 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．教师引导学生对解决问题的思想、方法的小结。练习：1．如图， A、B是河流 同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求． 为学生提供生活情景，培养学生把生活问题转化为数学问题的能力。经历观察—作图—总结等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力。通过实际问题建模成数学问题，让学生体会建模思想，认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法，由于计算机的发展，数学已不仅是一门学科，还是一门技术，在自然科学、社会科学的领域都有应用，感受数学于薄小纸片上决胜千里之外的巨大作用，激发学生的上进心、求知欲，培养学生用数学的意识和能力，落实学习目标。 及时练习巩固，锻炼学生的动手能力，同时也检验学生的掌握情况。
例题2、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。小组合作完成解题思路：过点M作BC的对称点 M′，连接M′N，与BC的交点即为所求的点P。如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草,然后到河边饮水，最后再回到马棚A。问题：请你确定这一过程的最短路径。（学生小组合作讨论，相互交流解题经验）1.转化为数学问题: 如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 解题思路：（1）过直线l1、l2作A点关于它们的对称点A′, A′′,（2）连接A′A′′所在的线段，与直线l1、l2分别交于点M、N（3）走A—M—N路线就最短 类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法,通过类比刚才解决问题的方法，小组合作，很容易就能完成这个问题。由于此题较难，充分发挥小组的优势来解决这个问题。进一步提升学生利用已学知识解决问题的能力，并在设置上由浅入深，逐渐加深学生思考，培养学生应用意识、创新意识、过程经验，通过这道题继续巩固本节课解题基本思路（轴对称、线段和最短），再次体会转化思想，把本节课的知识进一步拓展延伸。
本节课你收获了哪些知识？1、本节课研究问题的基本过程：2、本节课运用了转化的数学思想方法。 教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时使学生养成善于总结的良好的学习习惯，在开动思维、深入探究直到解决问题中获得成功，最后由教师精讲点拨。
2、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径． 答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，∴旅游船线路：P—Q—R—P. 既是练习又是检测，教师通过巡视和发挥小组的作用了解学生的掌握情况并及时处理。
安全教育 课后不要追逐打闹，上下楼梯靠右行，注意安全，课间喝水。
A
B
C
B’
C
C’
A
L1
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A
L2
数学模型
实际问题
逻辑证明
合情推理