椭圆及其标准方程
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椭圆及其标准方程 2003年10月15日，神舟五号9:00整发射成功，实现了中国人千年飞天梦！ 请问：神州五号运行轨迹是什么？数 学 实 验[1]取一条细绳长为2a
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。思考问题？ 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 1.当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？思考问题？ 3.当两个图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？能画出图形吗？ 2.当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？画出满足下列等式的图形？
画不出图形
椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦
点的距离叫做椭圆焦距（一般用2c表示）。
求椭圆的方程例题：求平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹方程． 定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距．求曲线方程的基本步骤1.建系； 2.写点集； 3.列方程； 4.化简； 5.证明。方案一方案二方案三椭圆标准方程推导方案如图所示：M为椭圆上任意的一点， F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面上点M到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的轨迹方程。解：取过焦点F1F2的直线为X轴，线段 F1F2 的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。且:|MF1|+ |MF2|=2a 椭圆就是集合椭圆的标准方程[1]它表示：
[1]椭圆的焦点在x轴
[2]焦点是F1（-C，0）、F2（C，0）
[3]C2= a2 - b2 椭圆的标准方程[2]它表示：
[1]椭圆的焦点在y轴
[2]焦点是F1（0，-C）、 F2（0，C）
[3]C2= a2 - b2
F1F2M0xy答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和(0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明
写出焦点坐标椭圆的焦点总在长轴上，因此可通过标准方程
判断焦点的位置看 的分母的大小，哪个分母大
焦点就在哪个坐标轴上典型例题例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3，0），
（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等
于8的标准方程？
待定系数法确定方程的类型设出标准方程由条件确定方
程中的参数先定型，再定量典型例题分析:例题2.例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：根据椭圆定义可知，这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。因此若焦点在x轴上，这个椭圆的标准方程是：若焦点在y轴上，这个椭圆的标准方程为：典型例题分析:例题4.代入法求轨迹1、设出所求轨迹上的任意一点，P(x,y)和已知
曲线上的一点M(x0,y0)
2、建立x,y与x0,y0之间的关系
3、将x0,y0用x,y表示，然后代入已知曲线的方程即可
已知三角形ABC的两个标点A、B的坐标分别为A（0，0），
B（6，0），顶点C在曲线 上运动，求三角形重心
的轨迹方程？练习
(1)已知椭圆的方程为： 则a=_____，b=_______c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)620基础题能力题AB3. 标准方程的简单应用。1.椭圆的定义,及焦点、焦距的概念。2.椭圆的标准方程。小结4.初步掌握用代定系数法和代入法求轨迹的
方法求椭圆标准方程。作业：第１、２、４、题动脑筋：观察椭圆标准方程推导过程中的方程
探讨椭圆概念的其它定义方式
如图，已知|F1F2|=10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次为1，2，3，……，按“加1”依次递增．试按照下列步骤，利用这两组同心圆画一个椭圆．（1）在两组同心圆的交点中描出“与F1，F2两点距离和等于12”的交点；（2）用光滑的曲线顺次连结所描出的点．谢谢指导！
椭圆及其标准方程 2003年10月15日，神舟五号9:00整发射成功，实现了中国人千年飞天梦！ 请问：神州五号运行轨迹是什么？数 学 实 验[1]取一条细绳长为2a
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。思考问题？ 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 1.当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？思考问题？ 3.当两个图钉固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？能画出图形吗？ 2.当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？画出满足下列等式的图形？
画不出图形
椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于
常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦
点的距离叫做椭圆焦距（一般用2c表示）。
求椭圆的方程例题：求平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹方程． 定义：平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距．求曲线方程的基本步骤1.建系； 2.写点集； 3.列方程； 4.化简； 5.证明。方案一方案二方案三椭圆标准方程推导方案如图所示：M为椭圆上任意的一点， F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面上点M到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的轨迹方程。解：取过焦点F1F2的直线为X轴，线段 F1F2 的垂直平分线为Y轴建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。且:|MF1|+ |MF2|=2a 椭圆就是集合椭圆的标准方程[1]它表示：
[1]椭圆的焦点在x轴
[2]焦点是F1（-C，0）、F2（C，0）
[3]C2= a2 - b2 椭圆的标准方程[2]它表示：
[1]椭圆的焦点在y轴
[2]焦点是F1（0，-C）、 F2（0，C）
[3]C2= a2 - b2
F1F2M0xy答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和(0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明
写出焦点坐标椭圆的焦点总在长轴上，因此可通过标准方程
判断焦点的位置看 的分母的大小，哪个分母大
焦点就在哪个坐标轴上典型例题例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3，0），
（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等
于8的标准方程？
待定系数法确定方程的类型设出标准方程由条件确定方
程中的参数先定型，再定量典型例题分析:例题2.例2、平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：根据椭圆定义可知，这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。因此若焦点在x轴上，这个椭圆的标准方程是：若焦点在y轴上，这个椭圆的标准方程为：典型例题分析:例题4.代入法求轨迹1、设出所求轨迹上的任意一点，P(x,y)和已知
曲线上的一点M(x0,y0)
2、建立x,y与x0,y0之间的关系
3、将x0,y0用x,y表示，然后代入已知曲线的方程即可
已知三角形ABC的两个标点A、B的坐标分别为A（0，0），
B（6，0），顶点C在曲线 上运动，求三角形重心
的轨迹方程？练习
(1)已知椭圆的方程为： 则a=_____，b=_______c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则?F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)620基础题能力题AB3. 标准方程的简单应用。1.椭圆的定义,及焦点、焦距的概念。2.椭圆的标准方程。小结4.初步掌握用代定系数法和代入法求轨迹的
方法求椭圆标准方程。作业：第１、２、４、题动脑筋：观察椭圆标准方程推导过程中的方程
探讨椭圆概念的其它定义方式
如图，已知|F1F2|=10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次为1，2，3，……，按“加1”依次递增．试按照下列步骤，利用这两组同心圆画一个椭圆．（1）在两组同心圆的交点中描出“与F1，F2两点距离和等于12”的交点；（2）用光滑的曲线顺次连结所描出的点．谢谢指导！