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2025河北版数学中考专题
第二部分 题型突破
题型一 选择、填空压轴题
类型1 选择压轴题
一、新定义类
1．[2024山东威海]定义新运算：
①在平面直角坐标系中，,表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作,.
②加法运算法则：,,,,其中,,,为实数.
若,,,则下列结论正确的是 （ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
2．[2023石家庄一模]定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形中，，，当互异二次函数的图象与正方形的四边有交点时，的最大值和最小值分别为（ ）
A. 4， B. ，
C. 4，0 D. ，
【答案】B
【解析】互异二次函数图象的顶点坐标为，顶点在直线上运动（如图）.
在正方形中，，，，
从图象可以看出，在二次函数的图象从左上向右下运动的过程中，若与正方形四边有交点，则当互异二次函数的图象经过点时，有最小值，则，解得（舍），；当互异二次函数的图象经过点时，有最大值，则，解得（舍），. 当互异二次函数的图象与正方形四边有交点时，的最大值和最小值分别是，.故选B.
3．[2024河北]平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】当点的横、纵坐标之和为6时，例如的坐标为或，其横、纵坐标之和除以3先余0，再余1，然后余2，之后余1、余2循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项C.
当点的横、纵坐标的和为8时，例如的坐标为或或，其横、纵坐标之和除以3先余2，再余1，然后余2、余1循环，所以当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点；当点坐标为时，按上述规则连续平移16次后，到达点，排除选项B.故选项D正确.
当点的坐标为时，按规则连续平移16次后，到达点，排除选项A.故选D.
二、解题思路（或结论）正误判断类
4．[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A. “20”左边的数是16
B. “20”右边的“”表示5
C. 运算结果小于6 000
D. 运算结果可以表示为
【答案】D
【解析】设三位数从左到右数字分别为，，，两位数从左到右数字分别为，.根据题图2可得，，，所以，，由于，，，，都是一位数，所以，，进而可得，，所以“20”左边的数是8，“20”右边的“”表示4，排除选项A、B；易得“”上边的数是，则运算结果可以表示为，选项D正确；当时，运算结果为，排除选项C.故选D.
5．[2023邢台二模]对于几何作图“过直线外一点作这条直线的平行线”，给出以下两种方案：
方案Ⅰ：①在直线上取一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
③作直线.所以直线就是所求作的直线．
方案Ⅱ：①在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点；
②连接，以为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；
③作直线，所以直线就是所求作的直线．
对于以上两个方案，判断正确的是（ ）
A. 方案Ⅰ正确，方案Ⅱ不正确 B. 方案Ⅱ正确，方案Ⅰ不正确
C. 方案Ⅰ、Ⅱ均正确 D. 方案Ⅰ、Ⅱ均不正确
【答案】C
【解析】方案Ⅰ的作图如下，
由作图可知，，
是的中位线，.
方案Ⅱ中，过作于，过作于，连接，，.
，，，
，
易知，， 四边形是平行四边形，，故方案Ⅰ、Ⅱ均正确．故选C.
6．[2023承德联考]如图，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作直线和.甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若，则点的坐标为.
乙：若，则的值有两个，且互为倒数.
丙：若，点是直线上一点，则点到直线的最大距离为.
下列判断正确的是（ ）
A. 甲对，乙和丙错 B. 乙对，甲和丙错
C. 甲和丙对，乙错 D. 甲、乙、丙都对
【答案】D
【解析】当时，，
点的坐标为，
轴， 点的纵坐标为4，
，
或，.
当时，点的坐标为，甲的说法正确.
点与点，关于对称轴对称， 对称轴为直线，.
抛物线与轴分别交于点和点， 点的坐标为，，，，解得或，乙的说法正确.
点是直线上的一点，当时，点到直线的距离最大，最大值为的长.
，， ，
，
即点到直线的最大距离为，丙的说法正确.故选D.
三、几何最值类
7．[2024江苏苏州]如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为,则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】连接，交于，
四边形是矩形，
， ，
，，
，
动点，分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，，
，，
又，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，
当点与点重合时，有最大值，最大值为1，故选D．
8．[2023唐山测评]如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图， 点C为平面直角坐标系内一点，， 点C在上，的半径为1，
取，连接，
，，是的中位线，，
当的值最大时，的值最大，当D，B，C三点共线（C在的延长线上）时，的值最大，的值也最大.， ，
，，
，即长度的最大值为，故选B.
类型2 填空压轴题
一、反比例函数综合问题
9．[2023唐山一模]如图，已知点，，点为线段上的一个动点，反比例函数为常数，的图象经过点.
（1） 当点与点重合时，______；
（2） 若点与点重合，则，此时点到直线的距离为__.
【答案】（1） 2
（2） 11
【解析】
（2） 当点与点重合时，，，的坐标为，，轴, 点到直线的距离为.
10．[2024广东广州]如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，,.将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点,过点作轴于点,则下列结论：
①;
②的面积等于四边形的面积;
③的最小值是;
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】,，四边形是矩形，，
,故①正确.
如图，设与的交点为,
易得,
,
，
即的面积等于四边形的面积，故②正确.
易证四边形为矩形，
,
当的值最小时，的值最小.
设，
.
又,.
的最小值为2，故③不正确.
设平移距离为,
,,
，,
,
,又，,
,
，，
,故④正确.
故答案为①②④.
二、图形变换类问题
11．[2023邯郸模拟]如图1所示，已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间的距离相等，小研将这两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48.
图1
（1） 如图2所示，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度4，则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度__；
图2
（2） 如图3所示，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度，则此时甲尺的刻度会对准乙尺的刻度____________.（用含，的式子表示）
图3
【答案】（1） 32
（2）
三、操作探究类问题
12．[2023石家庄一模]如图1，将三条重合的线段中的两条绕一个公共端点分别沿逆时针和顺时针方向旋转，旋转角为 ，所得的两条新线段夹角为 ，以 为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形的边数为.如图2，当 时，得到两个正六边形.
图1 图2
（1） 用含 的代数式表示______________；
（2） 边数，旋转角 ，夹角 的部分对应值如表格所示，其中____ ；
边数 4 5 6 …
旋转角 …
夹角 …
（3） 若 ，则的最小值是__.
【答案】（1）
（2） 144
（3） 72
【解析】
当 时， ，解得 ，，
又且为整数，，解得，的最小值为72.
13．[2023石家庄模拟]某厂家要设计一个装彩色蜡笔的纸盒，已知每支蜡笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为.目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的纸盒设计方案，我们以6支蜡笔为例，可以设计出如图所示的两种收纳方案：
（1） 如果要装6支蜡笔，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是________；
（2） 如果你要装12只蜡笔，要求相邻蜡笔拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）方案1中，正六边形边长为,通过计算易知圆的半径为， 方案1中底面积为.方案2中，如图，连接，，.
易知， ， ，，，，则.
， 等边三角形作为底面时，面积较小，为.
（2）设计方案如图所示，过点作于，连接，
在中，，易求得，，，则. 底面半径的最小值为.
题型二 函数图象与性质综合题
类型1 一次函数的图象与性质
1．[2023石家庄桥西质检]在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，．
（1） 若点在直线上，求的值；
（2） 若直线将矩形分成面积相等的两部分，求直线的函数表达式；
（3） 若直线与矩形有交点（含边界），直接写出的取值范围．
【解析】
（1） 由矩形及三个顶点的坐标可知，将代入中，得，解得．
（2） 矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分， 直线一定经过矩形的对称中心.，， 对称中心的坐标为，代入中，得，解得， 直线的函数表达式为．
（3） 或.
2．[2024廊坊安次一模]如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且的面积为56，点为线段的中点，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转 得到线段，连接．
（1） 求点的坐标及直线的表达式.
（2） 在点运动的过程中，若的面积为5，求此时点的坐标.
（3） 设点的坐标为.
① 用表示点的坐标；
② 在点运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
【解析】
（1） 由题易得,,，，.设直线的表达式为,将，代入，解得，.
（2） 设 线段绕着点逆时针旋转 得到线段,， ,由（1）知,的面积为5,，，，或，点坐标为或.
（3） ① 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
易得,，，，,.
② .
详解：， 点在直线上.令，解得，即点在直线上时，；当时，，解得，即点在轴上时，. 若始终在的内部（包括边界），则有，解得.
3．[2023石家庄裕华二模]如图，直线与轴，轴交于点，，直线与轴，轴交于点，，
（1） 求点的坐标及直线的解析式.
（2） 已知点在直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 若点在内部（含边界），求的取值范围；
③ 横、纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移（，且为整数）个单位长度后，所得直线上，在第二象限恰有2 023个整点，直接写出的值．
【解析】
（1） 点的坐标为.直线的解析式为.
（2） ① 直线的解析式为.
② 解得解得 点在内部（含边界），的取值范围是.
③ 的值为2 021.提示：将直线向上平移个单位长度所得直线解析式为，令,得, 平移后的直线与轴交点坐标为.由题意知，在直线上的整点的横坐标为奇数，,解得，
为整数，的值为2 021.
4．[2023邢台一模]在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，，从点发射光线，其解析式为.
（1） 已知点为平面镜的中点.
① 求点的坐标；
② 若光线恰好经过点，求的值.
（2） 规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，求点是整点的个数.
【解析】
（1）① ，，是的中点，.
② 光线经过和，两式相加得.
（2） 点关于所在直线的对称点为.设直线的解析式为，解得.同理可得直线的解析式为.设点的坐标为，则，可以取的整数有4，5，6，7，8，9，10， 点是整点的个数为7.
类型2 二次函数的图象与性质
5．[2023石家庄模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接.
（1） 求抛物线的解析式及点的坐标.
（2） 如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值.
（3） 动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒1个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1） 抛物线解析式为点坐标为.
（2） 设直线的解析式为，将、代入，得解得.设，，，
, 当时，.
（3）点的坐标为或或.提示：设运动时间为秒.，，， .连接，过点作轴于，.如图1，当时， ，
图1
， 四边形为矩形，，由得，，，.如图2，当时，作轴于，，
图2
易得四边形是矩形，，，，，，.如图3，当时，，
图3
，，,．综上所述，的坐标为或或（0,．
6．[2023衡水摸底]如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点是.
（1） 求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2） 如图1，点是线段上的动点（不与，重合），轴于点，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
图1
（3） 如图2，将抛物线向下平移个单位长度，平移后的顶点为，与轴的交点是，.若的外心在该三角形的内部（不含边界），直接写出的取值范围.
图2
【解析】
（1） 抛物线解析式为,顶点的坐标为.
（2） 由抛物线解析式可得，设所在直线的解析式为，把，代入可得解得，.易得四边形为梯形，， 当时，取得最大值，为.
（3） .
提示：由题意得，为锐角三角形，设平移后的抛物线解析式为，当为直角三角形时，根据抛物线的对称性可知，为等腰直角三角形，，,,
将代入，解得或（,两点重合，舍去），故符合题意的的取值范围是.
类型3 多函数综合
一、反比例函数与一次函数综合
7．[2023石家庄一模]如图，在矩形中，，，点是的中点，反比例函数且的图象经过点，交于点，直线的解析式为.
（1） 求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2） 在反比例函数的图象上找一点，使的面积为1，求点的坐标.
【解析】
（1） 点是的中点，，. 四边形是矩形，，. 反比例函数且的图象经过点，，.当时，,，把和代入，得.
（2） 设点的坐标为.的面积为1，,解得或， 点的坐标为或.
8．[2024山东烟台]如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点.将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点,,与轴,轴交于点,,且满足.过点作轴，垂足为点为轴上一点,直线与关于直线成轴对称,连接.
（1） 求反比例函数的表达式;
（2） 求的值及的面积.
【解析】
（1） 反比例函数的表达式为.
（2） 正比例函数图象向下平移个单位后得到的直线的表达式为.作轴于，轴于，，，，.设点的坐标为，则点的坐标为，
点,在直线上， ，，直线的表达式为，，. 直线与关于直线成轴对称，，．
二、反比例函数与二次函数综合
9．[2022江苏泰州]如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点.
（1） 求这两个函数的表达式；
（2） 当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
（3） 平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点,若与的面积相等，求点的坐标.
【解析】
（1） 二次函数的表达式为，反比例函数的表达式为.
（2） .
（3） 如图.易知,且直线在点、上方.
，中边上的高与中边上的高相等，
与的面积相等，，即是二次函数图象的对称轴与反比例函数图象的交点，．
三、一次函数与二次函数综合
10．[2024湖北武汉]抛物线交轴于,两点（在的右边），交轴于点.
（1） 直接写出点,,的坐标.
（2） 如图（1），连接,,过第三象限的抛物线上的点作直线,交轴于点.若平分线段,求点的坐标.
图（1）
（3） 如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于,两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点,连接.若 ,求直线的解析式.
图（2）
【解析】
（1） ,,.
（2） 设直线的解析式为，将，代入，得解得 直线的解析式为.， 设直线的解析式为,
在第三象限的抛物线上, 设，,,.
设的中点为，则.，
设所在直线的解析式为，将代入得，，解得, 直线的解析式为，
平分线段，在直线上，,
解得,（舍去）.
当时，,.
（3）如图，过作轴，过,分别作的垂线，垂足分别为,，
则 .，，即. 点与原点关于点对称，,设直线的解析式为，直线的解析式为.联立直线与抛物线的解析式得可得，即.联立直线与抛物线的解析式得可得，即.设,，，，，，，，.，，将代入得，，， 直线的解析式为.
题型三 函数的实际应用问题
类型1 一次函数的应用
1．[2024云南]、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元.
（1） 求、的值；
（2） 若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的,又不超过种型号吉祥物数量的2倍,设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值.
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
【解析】
（1） 根据题意得解得
（2） 根据题意得,解得,取整数，. .,随的增大而减小， 当时，取最大值，.
2．[2023唐山丰润摸底]某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为元.
（1） 求与的关系式.
（2） 若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大
（3） 由于蔬菜自身的特点，有的乙种蔬菜需要保鲜处理,每千克的保鲜费用是元．若获得的总利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围.
【解析】
（1） 由题意，得,即.
（2） 由题意，得,解得,随的增大而减小.
当时，取最大值，.答：购进甲、乙两种蔬菜分别为24千克、36千克时，该店获得的总利润最大.
（3） .提示：由题意得，化简得.若获得的总利润随的增大而减小，则，解得.的取值范围是.
3．[2023石家庄长安质检]某服装厂有甲,乙两条生产线,生产一款由上衣和裤子配套的运动套装,甲生产线专门生产套装的上衣,乙生产线专门生产套装的裤子.某天两条生产线同时开始生产,乙生产线在生产中停产一段时间更换了新设备,更换新设备后,生产效率是更换前的2倍.甲、乙生产线各自生产的服装数量（件）与生产时间（小时）的函数关系如图所示.
（1） 求甲生产线生产的套装上衣（件）与工作时间（小时）的函数关系式;
（2） 求图中的值;
（3） 乙生产线使用更换的新设备后,在生产过程中,甲、乙两条生产线每小时的损耗成本分别是30元和80元,若生产一批上衣和裤子成套的运动套装的总损耗成本不超过520元,则这批运动套装最多生产多少套
【解析】
（1） 设函数关系式为，将代入得,,解得 甲生产线生产的上衣（件）与工作时间（小时）的函数关系式为.
（2） 乙生产线更换设备前每小时生产裤子（件）, 乙生产线更换设备后每小时生产裤子（件）．.
（3） 设这批运动套装为套.则，解得. 这批运动套装最多生产400套.
4．[2023黑龙江齐齐哈尔]一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回地.巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1） ，两地之间的距离是__千米，__；
（2） 求线段所在直线的函数解析式；
（3） 货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【解析】
（1） 60；1.
（2） 设线段所在直线的解析式为，将，代入得解得 线段所在直线的函数解析式为.
（3）小时或小时或小时. 提示：巡逻车速度为（千米/时）， 线段的解析式为.当货车第一次追上巡逻车后两车相距15千米时，，解得，符合题意；当货车返回与巡逻车未相遇且相距15千米时，，解得，符合题意；当货车返回与巡逻车相遇后两车相距15千米时，，解得，符合题意.综上，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米．
类型2 反比例函数的应用
5．［人教九下P15练习T2改编］方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶的里程为480千米，设小汽车行驶的时间为（单位：小时），行驶的平均速度为（单位：千米/时），且全程速度限定为不超过120千米/时.
（1） 求关于的函数表达式，并写出的范围.
（2） 方方上午8点驾驶小汽车从地出发.
① 方方需在当天12点48分至14点间（含12点48分和14点）到达地，求小汽车行驶的平均速度的范围；
② 方方能否在当天11点30分前到达地 说明理由.
【解析】
（1） 根据题意，得，所以.因为，所以当时，，所以.
（2） ① 根据题意，得.因为，所以，所以.
② 不能.理由：若方方在11点30分前到达地，则，
所以，与题干矛盾.所以方方不能在11点30分前到达地.
6．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系：
时间天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1） 在整改过程中，当时，求硫化物的浓度与时间的函数表达式.
（2） 在整改过程中，当时，求硫化物的浓度与时间的函数表达式.
（3） 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的 为什么
【解析】
当时，设函数表达式为，把，代入，得解得
当时，.
（2） 由题中表格可知，满足，是的反比例函数， 当时，.
（3） 能.理由：当时，.， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高允许的.
7．[2024广东广州]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图1中描出表中数据对应的点;
图1
（2） 根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3） 如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为,请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高.
图2
【解析】
（1） 如图所示.
（2） 由（1）知应选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系.将点,代入得解得 一次函数解析式为.
（3） 将代入得. 估计这个人的身高为.
8．[2023邯郸模拟]某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图2所示图形.为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点，沙发腿轴，请你根据图形解决以下问题：
图1 图2
（1） 请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写的取值范围）；
（2） 过点向轴作垂线，交轴于点，已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
【解析】
（1） 将代入,解得,所以反比例函数表达式为.将代入,解得,所以一次函数表达式为.
（2） 由沙发三视图可知,沙发的长为.过点作轴,则,因为,所以,,因为,所以,所以,因为轴，所以点的横坐标为8,将其代入中,得,所以点的坐标为,即,故沙发的高为.因为,所以点的纵坐标为40,将其代入中,解得,所以点的坐标为,因为轴,所以,所以,故沙发的宽为,因此这个长方体箱子长、宽、高至少分别是,,.
类型3 二次函数的应用
9．［人教九上P50探究2改编］“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多消费者，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条.
（1） 直接写出与的函数关系式.
（2） 设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
（3） 该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【解析】
（1） .
（2） 由题意得，有最大值，当时，， 应降价（元）.答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，为4 500元.
（3） 由题意得，，解得，.为了让消费者得到最大实惠，故， 当销售单价定为66元时，既符合网店要求，又能让消费者得到最大实惠.
10．[2024四川南充]2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
（1） 求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元.
（2） A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（3） 在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元 （利润售价-进价）
【解析】
（1） 设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元.根据题意得.解得.每件类特产的售价为（元）.答：类特产的售价为60元/件，类特产的售价为72元/件.
（2） 由题意得.
（3） .， 当时，有最大值,最大值为1 840.答：每件类特产降价2元时，总利润最大，最大利润为1 840元.
11．[2024承德一模]嘉嘉在玩弹力球，琪琪据此出了一道数学题，请根据信息解答此题.
如图，在平面直角坐标系中，嘉嘉在某处将球掷出后弹力球第一次落地点在原点处，第一次反弹后，弹力球的运动路径符合函数的图象的一部分，小球在距第一次落地点水平距离为处时，高度为,第二次落地点与第一次落地点的距离为,弹力球第二次反弹后，运动路径也是抛物线的一部分，且运动的最大高度和水平距离都为第一次的一半.
（1） 求第一次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式，并直接写出路径顶点的坐标.
（2） 若在距离原点处放置一块高度为的挡板，请通过计算判断弹力球是否会碰到挡板.
【解析】
（1） 将点和点代入,得解得即第一次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为.路径顶点的坐标为.
（2） 由题意，可知第二次反弹后，弹力球运动路径的顶点的坐标为.可设第二次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为
点在该抛物线上，,解得, 第二次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式为.将代入,得., 弹力球会碰到挡板.
12．[2022石家庄质检]图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为轴，以过发射装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点处，距离地面1米，距发射装置底部3米的点处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球时（忽略空气阻力），小球的飞行路线为一段抛物线.
图1 图2
（1） 直接写出的值，当小球离处的水平距离和竖直距离都为4米时，求的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离处的水平距离;
（2） 若小球最远着陆点到轴的距离为15米，且当小球飞行到小山丘顶的正上方时，与其顶部距离不小于米，求的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值;
（3） 圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形，已知点在上．其横坐标为14，轴，，.若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁）,请直接写出的取值范围.
【解析】
.由题意可知，抛物线经过点，,解得， 抛物线的函数表达式为.
小球到小山丘的竖直距离为1米，，解得（不合题意，舍去），, 当小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离处的水平距离为12米.
将代入抛物线，得，
最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为,将代入抛物线，得，解得， 抛物线, 小山丘的顶点坐标为, 当小球飞行到小山丘顶的正上方时，与其顶部距离不小于米，，解得，的取值范围是.易知抛物线的顶点坐标为，
, 当时，有最小值，为， 小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值为米.
.提示：当时，，，，，，，
当时，,与的交点坐标为,若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），则当时，，解得,当时，，解得.故.
类型4 函数的形成问题
13．一批商品的利润（元）可表示为,（元）由两部分的和构成,其中一部分与浮动价（元）的平方成正比，另一部分与浮动价（元）成正比,销售过程中得到了下表中的数据:
3 4
W 4 420 4 480
（1） 用含的式子表示;
（2） 要使最大,确定的值;
（3） 发现在最大的基础上,若降低 ,则降低,请说明理由.
【解析】
（1） 由题可设,由表可知解得,,.
（2） 由（1）得,, 浮动价为5元时,利润最大,为4 500元.
（3） 由（2）得最大时，为5元,为4 500元,为500元,由得,当时,，令，则 ,降低,降低成立.
14．[2022保定一模]有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为，室内甲醛含量为，开机后净化器开始消耗净化药物.当时，室内甲醛含量不改变;当时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为，并有以下两种工作模式:
模式Ⅰ 室内甲醛含量与净化药物的消耗量成反比，且当时，;
模式Ⅱ 净化药物的消耗量由档位值，且为整数）控制，消耗量是档位值与时间的积，计时后甲醛的减少量与时间的平方成正比，且时，.
已知开机前测得该室内的甲醛含量为.
（1） 在模式Ⅰ下，直接写出与的关系式（不写的取值范围）.
（2） 在模式Ⅱ下,
① 用,表示，用表示；
② 当时,求与的关系式（不写的取值范围）.
（3） 若采用模式Ⅱ去除甲醛，当，时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果更好 请通过计算说明.
【解析】
（1） .
（2） ① 由题意可得.设，，由时，，得，解得，.
② 当时，，,将代入与的表达式中，得,化简得.
（3） 对于模式Ⅱ，当时，，
当时，，解得，（舍去），
当时，对于模式Ⅰ，有，
, 模式Ⅰ去除甲醛的效果更好.
题型四 圆的综合问题
类型1 圆的实际问题
1．[2023唐山古冶二模]淇淇受古代“石磨”（如图1）这种“曲柄连杆机构”动力传输工具的启发，设计了一个“双连杆机构”，设计图如图2所示，两个固定长度的连杆，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图3．请仅就图3的情形解答下列问题．
图1 图2 图3
（1） 求证：；
（2） 若的半径为5，，求的长．
【解析】
证明：连接，是的切线，，即 ， ，， ，，，．
（2） 过点作，垂足为，在中，，，，，，设，，则，，，，，在中，．
2．[2024保定竞秀一模]某款“不倒翁”的主视图如图1所示，它由半圆和等边组成，直径，半圆弧的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上作无滑动地滚动．
图1 图2 图3
（1） 如图1，当时，，间的距离为______（结果保留根号）.
（2） 如图2，当时，连接，.
① 直接写出的度数，并求点到桌面的距离（结果保留根号）；
② 比较与直径的长度.
（3） 当或垂直于时，“不倒翁”开始折返，直接写出从（图2）滚动到（图3）的过程中，点在上移动的距离．
【解析】
（1） .
（2） ① .过点作于点，则，，即点到桌面的距离为.
② ,的长为，，的长 直径的长.
（3） 点在上移动的距离为．
3．如图①所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件.管片的横截面（阴影部分）如图②所示,是同心圆环的一部分,左右两边沿的延长线交于圆心,甲,乙,丙三个小组分别采用三种不同的方法,测算三片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径.
图① 图② 图③ 图④
（1） 如图②,,的延长线交于圆心,若甲组测得,,,求的长;
（2） 如图③，、的延长线交于圆心,若乙组测得, 的长为, 的长为,求的长;
（3） 如图④,有一混凝土管片放置在水平地面上,底部用两个完全相同的长方体砖块固定，管片与地面的接触点为的中点,若丙组测得,
,求该混凝土管片的外圆弧半径.
【解析】
（1） ,,，,,，设,则，,解得，经检验,是原方程的解,且符合题意,.
（2） 设 ,则的长为,的长为，，设,则,，解得,经检验,是原方程的解,且符合题意，.
（3） 如图,设所在圆的圆心为点,连接,,,,与相交于点,由题意得 ，,.
设外圆弧半径为,即,则,在中,由勾股定理可得,,即，解得.
答:该混凝土管片的外圆弧半径为.
类型2 静态圆问题
4．[2024张家口宣化摸底]已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，，且．
（1） 求证：；
（2） 若，，求的值．
【解析】
（1） 证明：，. 四边形内接于，，.
（2） 是的中点，，．，，，,．
5．[2024沧州模拟改编]如图，的半径为1，为直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，且.
（1） 求的度数；
（2） 通过计算比较的直径和劣弧长度的大小；
（3） 若点是下方的弧上任意一点，连接,，过点作的垂线，与的延长线交于点,求长度的最大值．
【解析】
（1） 连接，是圆的切线， .，，是等边三角形， ， .
（2） ， ，的长，又圆的直径为2，，的长度大于的直径.
（3） 由（1）可知 ， ，则， 当的长度最大时，的长度最大.当为圆的直径，即时，的长度最大，长度的最大值是．
类型3 与圆相关的翻折问题
6．[2023唐山路北模拟]在扇形中， ，半径，点为上任意一点（不与、重合）．
图1 图2
（1） 如图1，是上一点，若，求证：.
（2） 如图2，将扇形沿折叠，得到的对称点．
① 若点落在上，求的长；
② 当与扇形所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）
【解析】
（1） 证明：，，，．．
（2） ① 如图1，点落在上，连接，由折叠可得，
图1
又，是等边三角形， ． ， ．的长为 ．
② 与扇形所在的圆相切时， ，如图2所示.
图2
则 ．过点作于点，， ，． ， ，．，即折痕的长为．
7．[2024保定模拟]中， ，，，，分别在，边上，且.将沿翻折至位置．以为直径作半圆．
（1） 当时，______，点到的距离为______；
（2） 若以，，为顶点的三角形与相似，求的长；
（3） 在（2）的条件下，求点到的距离；
（4） 面积的最大值是______．
【解析】
（1） ；.
（2） 已知，在中，,,，则.当时，，.当时，，.综上,的长为3或4.
（3） 当时，是的中位线，则点到的距离为.当时，如图，
过点作，交于，交于，则，，，，同理可得，，，，，，过点作于点，.
综上,点到的距离为或.
（4） .提示:中边上的高.
8．[2023张家口蔚县模拟]如图1，在中， ，，，以为直径，在的上方作半圆，交于点，为上一动点（不与点，重合），将半圆沿折叠，得到点的对称点，点的对称点．
图1 图2
（1） 当点在半圆上时，的度数为______.
（2） 如图2，连接，,设与交于点．已知，且．
① 求的长度及的值；
② 求阴影部分的面积；
（3） 点在上运动过程中，当直线与所在的圆相切时，直接写出的取值范围．
【解析】
（1） .提示：由翻折易得点在半圆上时，是等边三角形.
（2） ① 连接，．是的直径， ，由题意可知， ．， ， ． ， ， ，，， 四边形是平行四边形，，.在中，，， ， ，，即的值为.
② 连接，过点作于点．由①可得 ， ，， .
（3） 的取值范围是．提示：如图1，若点与点重合，则点与点也重合，
图1
，是等腰直角三角形，，又 四边形是平行四边形，，， 此时直线与相切，． 点不与点重合，．如图2，当点与点重合时，
图2
由翻折的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 此时直线与所在的圆相切，且最大，．故的取值范围是．
9．[2023唐山路北二模]如图1，菱形中， ，．点为射线上一动点，在射线上取一点，连接，，使 ．作的外接圆，设圆心为．
图1 图2
（1） 当圆心在上时，______.
（2） 当点在边上时，
① 判断与的位置关系，并证明.
② 当为何值时，有最大值？并求出最大值.
（3） 如图2，连接，若，则______；将优弧沿翻折交射线于点，则的长______．
【解析】
（1） 1.
（2） ① 与相切.证明：连接，.
， ，又， . ， .与相切.
② ，，，，，， 当长度最小时，的长度最大，此时，，,
当时，有最大值，最大值为1.
（3） 8；.提示： 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ，.易知点关于的对称点是点，在以为圆心，长为半径的圆上，的长为.
类型4 与圆相关的旋转问题
10．[2023九地市模拟]如图，已知是半圆的直径，，点是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线，垂足为点，在直线上选取一点（点在点的上方），使，将射线绕点逆时针旋转，旋转角为．
（1） 若，求在旋转过程中，点与点之间距离的最小值；
（2） 当射线与相切于点时，求劣弧的长度．
【解析】
（1） 由题意知，当点在线段上时，点与点之间的距离最小，，，，即点与点之间距离的最小值为3.
（2） 如图，连接，
，，，，是的切线， ， ， 劣弧的长度为.
11．[2023五地市模拟]已知在中， ，点是的内心，连接、、，且，，现将以为圆心顺时针旋转，使点落在延长线上的点处，将以为圆心逆时针旋转，使点落在延长线上的点处．
（1） 求证：和所在的直线；
（2） 求线段的长度；
（3） 在中，求以为圆心角的扇形与以为圆心角的扇形和以为圆心角的扇形面积之比.
【解析】
证明:连接,作于，于,则,,，, 四边形为矩形，.
由（1）知点，，三点共线，在中， ，，,， ，， .设的半径为，则，，即.由旋转的性质得，，由是的内心可知平分， ，，.
易知，.
（3） 点是的内心， ， ， ， ， ， ， ， ， . 以为圆心角的扇形与以为圆心角的扇形和以为圆心角的扇形的半径相等， 以为圆心角的扇形与以为圆心角的扇形和以为圆心角的扇形面积之比．
12．[2023石家庄裕华五校联考]平面内，与直径为的半圆如图1方式摆放， ，，，半圆交边于点，将半圆绕点按逆时针方向旋转，点随半圆旋转且始终等于，旋转角记为.
图1 图2 备用图
（1） 当 时，连接，则______ ，______；
（2） 试判断旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3） 若，，当时，求线段的长；
（4） 若，，当半圆旋转至与的边相切时，直接写出线段的长．
【解析】
（1） 90;.
（2） 无变化.证明：，，
,，.
（3） 在中，，，根据勾股定理得，，, 旋转后点落在上，在中，，，由（2）知，，.
（4） 的长为或.提示：，，，，根据勾股定理得.①当 时，半圆与相切，在中，.
②当时， ，半圆与相切，过点作交的延长线于，
易得四边形为矩形，，，，，由（2）知，，．
13．[2024邯郸模拟]如图，已知线段长为8，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转 ，得到扇形和扇形，如图1.固定扇形，将扇形绕点逆时针旋转，连接，，设旋转角为.
图1 图2 备用图
（1） 请仅就图2的情形证明.
（2） 当点落在边上时，与扇形所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由.
（3） 当，，三点共线时，线段的长是______.
【解析】
（1） 证明：在题图2中， ，，又，，，.
（2） 与扇形所在的圆相切．理由：连接，当点落在上时，， ，是等边三角形，,,,即 ，由（1）得， ，与扇形所在的圆相切.
（3） 或.提示：如图1,当点在线段上时,过点作于.
图1
由题意易得为等边三角形, ,,,.在中，..如图2，当点在的延长线上时，同法可得.
图2
综上，线段的长为或.
类型5 与圆相关的平移与滚动问题
14．[2023保定容城一模]如图①，已知线段，，是线段的三等分点，以为圆心，长为半径在线段的上方作半圆，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
图① 图② 图③
（1） 如图②，连接，当与半圆相切时，设切点为，求的长（结果保留）；
（2） 如图②，在平移的过程中，设与半圆交于点，连接，，当 时，求的长；
（3） 如图③，点是半圆上的一点，且到的距离为1，当点到达点后，正方形立即绕着点顺时针旋转，当边旋转 时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点旋转的速度为每秒 ，求点在正方形内（含边界）的时长．
【解析】
（1） 连接，是正方形的对角线， ，为半圆的切线，，即 ， ， .在题图①中，，，为的三等分点，，的长为 .
（2） 当点在点左侧时， ，， ， 在中，,.在中,.当点在点右侧时，易得为等边三角形，.综上，的长为或2.
（3） 当正方形向右运动到点在上时，连接，
，，，， 正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，秒；正方形绕点顺时针旋转过程中，当点在上时，连接，过点作于点，
，，， ，又， ， 正方形绕点顺时针旋转的速度为每秒 ，（秒）， 点在正方形内（含边界）的时长为秒．
15．[2024石家庄模拟]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，.如图1，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，初始情况下，重合，且．
图1 图2
（1） 求圆心到水面的距离.
（2） 求水槽最高和最低点之间的距离.
［探究］将图1中的水槽沿向右作无滑动地滚动，当 时停止滚动，如图2．
（3） 在图2中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
（4） 在图1滚动至图2的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
【解析】
（1）设与交于点，，，由题意得，
，，，，在中，，即圆心到水面的距离为.
（2）延长，过点作，垂足为，连接，易证，，，.在中，， 点到最低点之间的距离为.
（3）作图如下.
易知， ， ， ，由题意可得圆心移动的距离为的长， 圆心移动的距离为.
（4）由（3）可得，滚动过程中点旋转了 ，在题图1中，作 ，连接,则 ，易知点对应水槽滚动后的点，从未露出水面，．
题型五 三角形及四边形的综合题
类型1 动点问题
1．[2024廊坊模拟]在中，，．点在线段上运动（不与点、重合）．如图1，连接，作，与交于点．
图1
（1） 求证：．
（2） 若 ，当为多少度时，是等腰三角形？
（3） 如图2，当点运动到中点时，点在的延长线上，连接，，点在线段上，连接．
图2
① 与是否相似？请说明理由．
② 设，的面积为，试用含的代数式表示．
【解析】
（1） 证明：，，，，，.
（2） 当时，， ， ， .由（1）得， .当时， ，， ， ， 不存在这种情况.当时， ， ， .综上所述，当为 或 时，是等腰三角形.
（3） ① 相似.理由：同（1）得，，，,即.，．
② 连接，过点作于点，，交的延长线于点，
，，，，，，，解得（负值舍去），，，则，由①得，，，．
[2024江苏扬州]如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且,分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形,
,直角边恒过点,直角边恒过点.
（1） 如图1,若,,求点与点之间的距离；
图1
（2） 如图1,若,当点在点、之间运动时，求的最大值；
（3） 如图2,若,当点在点、之间运动时，点随之运动，连接,点是的中点，连接、,则的最小值为______.
图2
【解析】
（1）由题易得 ， ，，，，，，，，或6，
点与点之间的距离是4或6．
（2） 由（1）知，设，，，，，，， 当时，，即的最大值为12.5．
（3） .详解： ，是的中点，，，如图，连接，则点在的平分线上，作点关于的对称点，连接交的延长线于，则当在处时，的值最小，最小值为的长．
过点作于点． ，在的延长线上，
易知 ， 四边形为矩形，，，由对称得，，
在中，，即的最小值为，的最小值为．
3．[2024衡水模拟]如图，是的高，，，是边上一动点，过点作的平行线，交于点，交于点，是直线上一动点，点从点出发，沿匀速运动，点从点出发沿直线向右匀速运动，当点运动到点时，，同时停止．设点与点在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点的运动距离是．
备用图
（1） 在运动过程中，点到的距离为__________（用含的代数式表示）；
（2） 求证：点在的平分线上；
（3） 当直线平分的面积时，求的值；
（4） 当点与点之间的距离小于时，直接写出的取值范围．
【解析】
（1） .
（2） 证明：连接，如图所示，
由题意得，，又，，，即点在的平分线上．
（3） 由题意知，是的高，，，，则，且.，， 直线平分的面积，，即，解得，（不合题意，舍去），．
（4） .
4．[2023唐山一模]如图1，2，在四边形中，，，， ，点在边上，点，分别在，边上，且，点从点出发沿折线匀速运动，点在边所在直线上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点，同时出发，点的速度是点的一半，点到达点停止，点随之停止．设点移动的路程为．
图1 图2
（1） 当时，求的长；
（2） 如图2，当时，求的值；
（3） 用含的式子表示的长；
（4） 已知点从点到点再到点共用时20秒，若，请直接写出点在线段上（包括端点）的总时长．
【解析】
（1） ，，，,,当时，点在上，，，.
（2） ， ， ，，.
（3） ①当点在上，即时，易知，，.
②当点在上，即时， ， ，，
又,，，
，，， ，当时，点在点上方，，当时，点在点下方，.综上，
（4）总时长为秒.详解：由题意可知，点的速度为单位长度/秒，
点的速度为单位长度/秒，①当点在上，点与点重合时，，运动时间为（秒）.②当点在上时，设，则，，，，当点运动到时，，解得或.当点运动到时，（秒），当时，即，（秒）， 点先到达点，此时点在点下方，（秒）.当时，点在的上方（含），点在的下方，（秒）.
总时长为（秒）．
类型2 旋转问题
5．[2024邢台一模]如图，在平行四边形中，，，点是的中点，将绕点顺时针旋转得到，过点作的平分线，交平行四边形的边于点,连接．
（1） 连接，求证：；
（2） 在旋转过程中，求点与点之间的最小距离；
（3） 在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求长度的取值范围；
（4） 已知与边交于点，若 ，直接写出点到的距离．
【解析】
（1） 证明：，，，.
（2） 连接，当点落在上时，点与点之间的距离最小.，是的中点，， ，. 四边形是平行四边形，，， ，， 点与点之间的最小距离为.
（3） 当点落在上时，，平分， .由（2）得， ，， ，，，，，.当点落在上时，连接交于点，，.平分， ，，， ，，.综上，若点落在的内部（不包含边界），则长度的取值范围为.
（4） .详解：延长交于点，延长交的延长线于点，
易证，， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， ，又 ， 四边形是矩形，，，，.易证，，.
6．[2024石家庄裕华模拟]将两个等腰直角三角形和放在平面直角坐标系中，已知，，， ，并将绕点顺时针旋转．
（1） 当旋转至如图1所示的位置时， ，求此时点的坐标.
图1
（2） 如图2，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，
图2
① 求证：；
② 求的长.
（3） 当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）．
【解析】
（1） 过点作于． ，，，点的坐标为．
（2） ① 证明： ，,即，，，.
② 过点作于．，.在等腰中，，，，，在中,，.
（3） .详解：如图，当时，的度数最大，此时，．
过点作轴于，过点作于． ，， ，，，，，，．
7．[2023石家庄长安模拟]如图1，正方形与正方形有公共点，点，分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．
图1
（1） 当 时，______.
（2） 如图2，当 时，连接，，是不是定值？请说明理由.
（3） 若，，当，，三点共线时，求的长度．
图2
【解析】
（1） .
（2） 为定值.理由：连接，
由旋转知 ，在和中，，，，，，,为定值.
（3）①当点在线段的延长线上时，如图.
由（2）知，， 四边形是正方形，，， 四边形是正方形， ，，，，三点共线．，，.
②当点在线段上时，如图.
同（2）易证， 四边形是正方形，，， 四边形是正方形， ，，，，三点共线． ，，，．综上，当，，三点共线时，的长度为或．
类型3 平移问题
8．[2024沧州模拟]如图，中， ，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿绕行一周，与垂直的动直线从开始,以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
（1） 当点在上运动时，过点作于.
① 当时，求证：；
② 设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值.
（2） 当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上.
（3） 直接写出时的值．
【解析】
（1）① 证明：，，，，， ，.
② 点在上运动，，，由题意可知，，，，，，，，，，， 当时，取得最大值，最大值为.
（2） 由②可知，，，， 直线等分的面积，，，解得或，，，，点在边上.
（3） 或.提示：当点在上时，由，知.
，,，解得.当点在上时，,不符合题意.当点在上时，过作于，
由，易得，，，，，解得.综上,的值为或．
9．[2023石家庄桥西二模]在四边形中，已知， ， ，，，于点．在中，，， ．将按图1方式放置，顶点在上，且，然后将沿平移至点与点重合，再改变的位置，如图3，将顶点沿移动至点，并使点始终在上．
图1
（1） 当点在上运动时，
① 如图1，连接，当时，求的长；
② 如图2，设与的交点为，当顶点落在上时，求的长.
图2
（2） 如图3，点在上运动时，交于点，设，请用表示的长，并求出长度的最小值．
图3
【解析】
（1）① 在中， ，，，， ，，， ，， ，.
② ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形，，，.
（2） 过点作于点．
，，，，，， ，，
，，，．， 当时，的值最小，最小值为．
10．[2023天津滨海新区一模]在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形， ，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，，点在第二象限．将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设．
（1） 如图1，当时，与交于点，求点，的坐标.
图1
（2） 若矩形与重叠部分的面积为.
① 如图2，当矩形与重叠部分为五边形时，与交于点，与交于点与交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
图2
② 当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【解析】
由点，得，由平移得，，， ，又是等腰直角三角形， ，
是等腰直角三角形，， 点的坐标为，点的坐标为.
① 由平移知，， ，，过点作于，
易知，，由，得 ，与均为等腰直角三角形，又，，， ，其中的取值范围是.
② ．提示：当时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，.当时，随的增大而增大.当时，.当时，.当时，矩形与重叠部分的面积最大，.的范围为．
类型4 轴对称问题
11．如图1，在中，，是上一动点，将沿折叠得到，连接．
图1
（1） 试证明.
（2） 若 ， ，试判断与的位置关系，并说明理由.
（3） 如图2，当折叠后时，与全等吗？请说明理由．
图2
【解析】
（1） 证明：设与交于点，，， 将沿折叠得到，，，，.
（2） .理由如下： 将沿折叠得到， ， ，， ， ， ，，.
（3） ．理由如下：由折叠知，，，，，，，，，，，又，．
12．已知在等腰三角形中，，取的中点，过作，且，关于成轴对称，连接，，，和分别交，于点，．
（1） 求证：四边形为菱形；
（2） 记的面积为，菱形的面积为，且，当时，求的长．
【解析】
（1） 证明：为中点，，为的中垂线，，，，关于成轴对称，，，， 四边形为菱形.
（2） 如图，记与的交点为，
，，，，
，，，
设，则，，，
，，，．
13．[2023石家庄二模]冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试.
如图1，已知矩形纸片，其中，，点是射线上一点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点．
图1
（1） 如图2，当点与点重合时，求证：是等腰三角形.
图2
（2） 如图3，当点在的延长线上时，设交于点，点落在点的位置，能折出一个等腰三角形，找出这个三角形，并求出当时的值.
图3
（3） 在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
【解析】
（1） 证明： 四边形是矩形，，根据折叠的性质得，，，，，是等腰三角形.
（2） 是等腰三角形.，，由折叠可知，，，是等腰三角形.由，得，，即，解得，，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，，，.
（3） 由（2）可知，，， 该等腰三角形的面积为．
14．[2024邯郸模拟]已知在中，，，点是线段上一点，且不与点、重合．
（1） 当点为中点时，的长为______．
（2） 如图1，过点作于点，于点，则的值是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
图1
（3） 将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（点不与点、重合），折痕交边于点.
① 如图2，当点是的中点时，求的长度；
图2
② 如图3，设，若存在两次不同的折痕，使点落在边上两个不同的位置，直接写出的取值范围．
图3
【解析】
（1） 6.
（2） 的值是定值.连接，过点作于．，，，，，，，，，，．
（3） ① 连接，.
，，，由（2）可知，，由，易知 ，即，，，．
② .提示：过点作于，易知，，当时，，，，，观察图形可知当时，存在两次不同的折叠，使点落在边上两个不同的位置．
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2025河北版数学中考专题
第二部分 题型突破
题型一 选择、填空压轴题
类型1 选择压轴题
一、新定义类
1．[2024山东威海]定义新运算：
①在平面直角坐标系中，,表示动点从原点出发，沿着轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向或负方向平移个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移2个单位长度，再沿着轴正方向平移1个单位长度，记作,.
②加法运算法则：,,,,其中,,,为实数.
若,,,则下列结论正确的是 （ ）
A．, B．,
C．, D．,
2．[2023石家庄一模]定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形中，，，当互异二次函数的图象与正方形的四边有交点时，的最大值和最小值分别为（ ）
A．4， B．，
C．4，0 D．，
3．[2024河北]平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度.
若“和点”按上述规则连续平移16次后，到达点,则点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、解题思路（或结论）正误判断类
4．[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为
5．[2023邢台二模]对于几何作图“过直线外一点作这条直线的平行线”，给出以下两种方案：
方案Ⅰ：①在直线上取一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
②在直线上取一点（不与点重合），连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点；
③作直线.所以直线就是所求作的直线．
方案Ⅱ：①在直线上取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，交直线于，两点；
②连接，以为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；
③作直线，所以直线就是所求作的直线．
对于以上两个方案，判断正确的是（ ）
A．方案Ⅰ正确，方案Ⅱ不正确 B．方案Ⅱ正确，方案Ⅰ不正确
C．方案Ⅰ、Ⅱ均正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ均不正确
6．[2023承德联考]如图，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，轴交抛物线于点，作直线和.甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若，则点的坐标为.
乙：若，则的值有两个，且互为倒数.
丙：若，点是直线上一点，则点到直线的最大距离为.
下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错
C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对
三、几何最值类
7．[2024江苏苏州]如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为,则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
8．[2023唐山测评]如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
类型2 填空压轴题
一、反比例函数综合问题
9．[2023唐山一模]如图，已知点，，点为线段上的一个动点，反比例函数为常数，的图象经过点.
（1） 当点与点重合时，______；
（2） 若点与点重合，则，此时点到直线的距离为__.
10．[2024广东广州]如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，,.将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点,过点作轴于点,则下列结论：
①;
②的面积等于四边形的面积;
③的最小值是;
④.
其中正确的结论有____.（填写所有正确结论的序号）
二、图形变换类问题
11．[2023邯郸模拟]如图1所示，已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间的距离相等，小研将这两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48.
图1
（1） 如图2所示，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度4，则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度__；
图2
（2） 如图3所示，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度，则此时甲尺的刻度会对准乙尺的刻度____________.（用含，的式子表示）
图3
三、操作探究类问题
12．[2023石家庄一模]如图1，将三条重合的线段中的两条绕一个公共端点分别沿逆时针和顺时针方向旋转，旋转角为 ，所得的两条新线段夹角为 ，以 为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形的边数为.如图2，当 时，得到两个正六边形.
图1 图2
（1） 用含 的代数式表示______________；
（2） 边数，旋转角 ，夹角 的部分对应值如表格所示，其中____ ；
边数 4 5 6 …
旋转角 …
夹角 …
（3） 若 ，则的最小值是__.
13．[2023石家庄模拟]某厂家要设计一个装彩色蜡笔的纸盒，已知每支蜡笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为.目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的纸盒设计方案，我们以6支蜡笔为例，可以设计出如图所示的两种收纳方案：
（1） 如果要装6支蜡笔，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是________；
（2） 如果你要装12只蜡笔，要求相邻蜡笔拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为________.
题型二 函数图象与性质综合题
类型1 一次函数的图象与性质
1．[2023石家庄桥西质检]在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，矩形的顶点坐标分别为，，．
（1） 若点在直线上，求的值；
（2） 若直线将矩形分成面积相等的两部分，求直线的函数表达式；
（3） 若直线与矩形有交点（含边界），直接写出的取值范围．
2．[2024廊坊安次一模]如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于点，且的面积为56，点为线段的中点，点为轴上一动点，连接，将线段绕着点逆时针旋转 得到线段，连接．
（1） 求点的坐标及直线的表达式.
（2） 在点运动的过程中，若的面积为5，求此时点的坐标.
（3） 设点的坐标为.
① 用表示点的坐标；
② 在点运动的过程中，若始终在的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围．
3．[2023石家庄裕华二模]如图，直线与轴，轴交于点，，直线与轴，轴交于点，，
（1） 求点的坐标及直线的解析式.
（2） 已知点在直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 若点在内部（含边界），求的取值范围；
③ 横、纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移（，且为整数）个单位长度后，所得直线上，在第二象限恰有2 023个整点，直接写出的值．
4．[2023邢台一模]在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，，从点发射光线，其解析式为.
（1） 已知点为平面镜的中点.
① 求点的坐标；
② 若光线恰好经过点，求的值.
（2） 规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，求点是整点的个数.
类型2 二次函数的图象与性质
5．[2023石家庄模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，连接.
（1） 求抛物线的解析式及点的坐标.
（2） 如图，点为线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值.
（3） 动点以每秒个单位长度的速度在线段上由点向点运动，同时动点以每秒1个单位长度的速度在线段上由点向点运动，在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．[2023衡水摸底]如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点是.
（1） 求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2） 如图1，点是线段上的动点（不与，重合），轴于点，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并求的最大值；
图1
（3） 如图2，将抛物线向下平移个单位长度，平移后的顶点为，与轴的交点是，.若的外心在该三角形的内部（不含边界），直接写出的取值范围.
图2
类型3 多函数综合
一、反比例函数与一次函数综合
7．[2023石家庄一模]如图，在矩形中，，，点是的中点，反比例函数且的图象经过点，交于点，直线的解析式为.
（1） 求反比例函数的解析式和直线的解析式；
（2） 在反比例函数的图象上找一点，使的面积为1，求点的坐标.
8．[2024山东烟台]如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点.将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点,,与轴,轴交于点,,且满足.过点作轴，垂足为点为轴上一点,直线与关于直线成轴对称,连接.
（1） 求反比例函数的表达式;
（2） 求的值及的面积.
二、反比例函数与二次函数综合
9．[2022江苏泰州]如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点.
（1） 求这两个函数的表达式；
（2） 当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；
（3） 平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点,若与的面积相等，求点的坐标.
三、一次函数与二次函数综合
10．[2024湖北武汉]抛物线交轴于,两点（在的右边），交轴于点.
（1） 直接写出点,,的坐标.
（2） 如图（1），连接,,过第三象限的抛物线上的点作直线,交轴于点.若平分线段,求点的坐标.
图（1）
（3） 如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于,两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点,连接.若 ,求直线的解析式.
图（2）
题型三 函数的实际应用问题
类型1 一次函数的应用
1．[2024云南]、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
型号 35
型号 42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元.
（1） 求、的值；
（2） 若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的,又不超过种型号吉祥物数量的2倍,设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值.
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
2．[2023唐山丰润摸底]某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为元.
（1） 求与的关系式.
（2） 若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大
（3） 由于蔬菜自身的特点，有的乙种蔬菜需要保鲜处理,每千克的保鲜费用是元．若获得的总利润随的增大而减小，请直接写出的取值范围.
3．[2023石家庄长安质检]某服装厂有甲,乙两条生产线,生产一款由上衣和裤子配套的运动套装,甲生产线专门生产套装的上衣,乙生产线专门生产套装的裤子.某天两条生产线同时开始生产,乙生产线在生产中停产一段时间更换了新设备,更换新设备后,生产效率是更换前的2倍.甲、乙生产线各自生产的服装数量（件）与生产时间（小时）的函数关系如图所示.
（1） 求甲生产线生产的套装上衣（件）与工作时间（小时）的函数关系式;
（2） 求图中的值;
（3） 乙生产线使用更换的新设备后,在生产过程中,甲、乙两条生产线每小时的损耗成本分别是30元和80元,若生产一批上衣和裤子成套的运动套装的总损耗成本不超过520元,则这批运动套装最多生产多少套
4．[2023黑龙江齐齐哈尔]一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回地.巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1） ，两地之间的距离是__千米，__；
（2） 求线段所在直线的函数解析式；
（3） 货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
类型2 反比例函数的应用
5．［人教九下P15练习T2改编］方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶的里程为480千米，设小汽车行驶的时间为（单位：小时），行驶的平均速度为（单位：千米/时），且全程速度限定为不超过120千米/时.
（1） 求关于的函数表达式，并写出的范围.
（2） 方方上午8点驾驶小汽车从地出发.
① 方方需在当天12点48分至14点间（含12点48分和14点）到达地，求小汽车行驶的平均速度的范围；
② 方方能否在当天11点30分前到达地 说明理由.
6．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系：
时间天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 …
（1） 在整改过程中，当时，求硫化物的浓度与时间的函数表达式.
（2） 在整改过程中，当时，求硫化物的浓度与时间的函数表达式.
（3） 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的 为什么
7．[2024广东广州]一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图1中描出表中数据对应的点;
图1
（2） 根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3） 如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为,请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高.
图2
8．[2023邯郸模拟]某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图2所示图形.为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点，沙发腿轴，请你根据图形解决以下问题：
图1 图2
（1） 请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写的取值范围）；
（2） 过点向轴作垂线，交轴于点，已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？
类型3 二次函数的应用
9．［人教九上P50探究2改编］“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多消费者，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为元（为正整数），每月的销售量为条.
（1） 直接写出与的函数关系式.
（2） 设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
（3） 该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4 220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
10．[2024四川南充]2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
（1） 求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元.
（2） A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（3） 在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元 （利润售价-进价）
11．[2024承德一模]嘉嘉在玩弹力球，琪琪据此出了一道数学题，请根据信息解答此题.
如图，在平面直角坐标系中，嘉嘉在某处将球掷出后弹力球第一次落地点在原点处，第一次反弹后，弹力球的运动路径符合函数的图象的一部分，小球在距第一次落地点水平距离为处时，高度为,第二次落地点与第一次落地点的距离为,弹力球第二次反弹后，运动路径也是抛物线的一部分，且运动的最大高度和水平距离都为第一次的一半.
（1） 求第一次反弹后，弹力球运动路径的函数解析式，并直接写出路径顶点的坐标.
（2） 若在距离原点处放置一块高度为的挡板，请通过计算判断弹力球是否会碰到挡板.
12．[2022石家庄质检]图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置．图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为轴，以过发射装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．发射装置底部在轮廓线的点处，距离地面1米，距发射装置底部3米的点处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球时（忽略空气阻力），小球的飞行路线为一段抛物线.
图1 图2
（1） 直接写出的值，当小球离处的水平距离和竖直距离都为4米时，求的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离处的水平距离;
（2） 若小球最远着陆点到轴的距离为15米，且当小球飞行到小山丘顶的正上方时，与其顶部距离不小于米，求的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到轴距离的最小值;
（3） 圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形，已知点在上．其横坐标为14，轴，，.若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁）,请直接写出的取值范围.
类型4 函数的形成问题
13．一批商品的利润（元）可表示为,（元）由两部分的和构成,其中一部分与浮动价（元）的平方成正比，另一部分与浮动价（元）成正比,销售过程中得到了下表中的数据:
3 4
W 4 420 4 480
（1） 用含的式子表示;
（2） 要使最大,确定的值;
（3） 发现在最大的基础上,若降低 ,则降低,请说明理由.
14．[2022保定一模]有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为，室内甲醛含量为，开机后净化器开始消耗净化药物.当时，室内甲醛含量不改变;当时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为，并有以下两种工作模式:
模式Ⅰ 室内甲醛含量与净化药物的消耗量成反比，且当时，;
模式Ⅱ 净化药物的消耗量由档位值，且为整数）控制，消耗量是档位值与时间的积，计时后甲醛的减少量与时间的平方成正比，且时，.
已知开机前测得该室内的甲醛含量为.
（1） 在模式Ⅰ下，直接写出与的关系式（不写的取值范围）.
（2） 在模式Ⅱ下,
① 用,表示，用表示；
② 当时,求与的关系式（不写的取值范围）.
（3） 若采用模式Ⅱ去除甲醛，当，时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果更好 请通过计算说明.
题型四 圆的综合问题
类型1 圆的实际问题
1．[2023唐山古冶二模]淇淇受古代“石磨”（如图1）这种“曲柄连杆机构”动力传输工具的启发，设计了一个“双连杆机构”，设计图如图2所示，两个固定长度的连杆，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，．当与相切时，点恰好落在上，如图3．请仅就图3的情形解答下列问题．
图1 图2 图3
（1） 求证：；
（2） 若的半径为5，，求的长．
2．[2024保定竞秀一模]某款“不倒翁”的主视图如图1所示，它由半圆和等边组成，直径，半圆弧的中点为点，为桌面，半圆与相切于点，拨动“不倒翁”后它在桌面上作无滑动地滚动．
图1 图2 图3
（1） 如图1，当时，，间的距离为______（结果保留根号）.
（2） 如图2，当时，连接，.
① 直接写出的度数，并求点到桌面的距离（结果保留根号）；
② 比较与直径的长度.
（3） 当或垂直于时，“不倒翁”开始折返，直接写出从（图2）滚动到（图3）的过程中，点在上移动的距离．
3．如图①所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件.管片的横截面（阴影部分）如图②所示,是同心圆环的一部分,左右两边沿的延长线交于圆心,甲,乙,丙三个小组分别采用三种不同的方法,测算三片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径.
图① 图② 图③ 图④
（1） 如图②,,的延长线交于圆心,若甲组测得,,,求的长;
（2） 如图③，、的延长线交于圆心,若乙组测得, 的长为, 的长为,求的长;
（3） 如图④,有一混凝土管片放置在水平地面上,底部用两个完全相同的长方体砖块固定，管片与地面的接触点为的中点,若丙组测得,,求该混凝土管片的外圆弧半径.
类型2 静态圆问题
4．[2024张家口宣化摸底]已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点，，且．
（1） 求证：；
（2） 若，，求的值．
5．[2024沧州模拟改编]如图，的半径为1，为直径，点在上，过点的切线与的延长线交于点，且.
（1） 求的度数；
（2） 通过计算比较的直径和劣弧长度的大小；
（3） 若点是下方的弧上任意一点，连接,，过点作的垂线，与的延长线交于点,求长度的最大值．
类型3 与圆相关的翻折问题
6．[2023唐山路北模拟]在扇形中， ，半径，点为上任意一点（不与、重合）．
图1 图2
（1） 如图1，是上一点，若，求证：.
（2） 如图2，将扇形沿折叠，得到的对称点．
① 若点落在上，求的长；
② 当与扇形所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）
7．[2024保定模拟]中， ，，，，分别在，边上，且.将沿翻折至位置．以为直径作半圆．
（1） 当时，______，点到的距离为______；
（2） 若以，，为顶点的三角形与相似，求的长；
（3） 在（2）的条件下，求点到的距离；
（4） 面积的最大值是______．
8．[2023张家口蔚县模拟]如图1，在中， ，，，以为直径，在的上方作半圆，交于点，为上一动点（不与点，重合），将半圆沿折叠，得到点的对称点，点的对称点．
图1 图2
（1） 当点在半圆上时，的度数为______.
（2） 如图2，连接，,设与交于点．已知，且．
① 求的长度及的值；
② 求阴影部分的面积；
（3） 点在上运动过程中，当直线与所在的圆相切时，直接写出的取值范围．
9．[2023唐山路北二模]如图1，菱形中， ，．点为射线上一动点，在射线上取一点，连接，，使 ．作的外接圆，设圆心为．
图1 图2
（1） 当圆心在上时，______.
（2） 当点在边上时，
① 判断与的位置关系，并证明.
② 当为何值时，有最大值？并求出最大值.
（3） 如图2，连接，若，则______；将优弧沿翻折交射线于点，则的长______．
类型4 与圆相关的旋转问题
10．[2023九地市模拟]如图，已知是半圆的直径，，点是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线，垂足为点，在直线上选取一点（点在点的上方），使，将射线绕点逆时针旋转，旋转角为．
（1） 若，求在旋转过程中，点与点之间距离的最小值；
（2） 当射线与相切于点时，求劣弧的长度．
11．[2023五地市模拟]已知在中， ，点是的内心，连接、、，且，，现将以为圆心顺时针旋转，使点落在延长线上的点处，将以为圆心逆时针旋转，使点落在延长线上的点处．
（1） 求证：和所在的直线；
（2） 求线段的长度；
（3） 在中，求以为圆心角的扇形与以为圆心角的扇形和以为圆心角的扇形面积之比.
12．[2023石家庄裕华五校联考]平面内，与直径为的半圆如图1方式摆放， ，，，半圆交边于点，将半圆绕点按逆时针方向旋转，点随半圆旋转且始终等于，旋转角记为.
图1 图2 备用图
（1） 当 时，连接，则______ ，______；
（2） 试判断旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；
（3） 若，，当时，求线段的长；
（4） 若，，当半圆旋转至与的边相切时，直接写出线段的长．
13．[2024邯郸模拟]如图，已知线段长为8，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转 ，得到扇形和扇形，如图1.固定扇形，将扇形绕点逆时针旋转，连接，，设旋转角为.
图1 图2 备用图
（1） 请仅就图2的情形证明.
（2） 当点落在边上时，与扇形所在的圆存在怎样的位置关系？说明理由.
（3） 当，，三点共线时，线段的长是______.
类型5 与圆相关的平移与滚动问题
14．[2023保定容城一模]如图①，已知线段，，是线段的三等分点，以为圆心，长为半径在线段的上方作半圆，以为边在的上方作正方形，将正方形沿所在直线水平向右移动．
图① 图② 图③
（1） 如图②，连接，当与半圆相切时，设切点为，求的长（结果保留）；
（2） 如图②，在平移的过程中，设与半圆交于点，连接，，当 时，求的长；
（3） 如图③，点是半圆上的一点，且到的距离为1，当点到达点后，正方形立即绕着点顺时针旋转，当边旋转 时停止，若正方形向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点旋转的速度为每秒 ，求点在正方形内（含边界）的时长．
15．[2024石家庄模拟]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，.如图1，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，初始情况下，重合，且．
图1 图2
（1） 求圆心到水面的距离.
（2） 求水槽最高和最低点之间的距离.
［探究］将图1中的水槽沿向右作无滑动地滚动，当 时停止滚动，如图2．
（3） 在图2中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
（4） 在图1滚动至图2的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
题型五 三角形及四边形的综合题
类型1 动点问题
1．[2024廊坊模拟]在中，，．点在线段上运动（不与点、重合）．如图1，连接，作，与交于点．
图1
（1） 求证：．
（2） 若 ，当为多少度时，是等腰三角形？
（3） 如图2，当点运动到中点时，点在的延长线上，连接，，点在线段上，连接．
图2
① 与是否相似？请说明理由．
② 设，的面积为，试用含的代数式表示．
2．[2024江苏扬州]如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且,分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形, ,直角边恒过点,直角边恒过点.
（1） 如图1,若,,求点与点之间的距离；
图1
（2） 如图1,若,当点在点、之间运动时，求的最大值；
（3） 如图2,若,当点在点、之间运动时，点随之运动，连接,点是的中点，连接、,则的最小值为______.
图2
3．[2024衡水模拟]如图，是的高，，，是边上一动点，过点作的平行线，交于点，交于点，是直线上一动点，点从点出发，沿匀速运动，点从点出发沿直线向右匀速运动，当点运动到点时，，同时停止．设点与点在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点的运动距离是．
备用图
（1） 在运动过程中，点到的距离为__________（用含的代数式表示）；
（2） 求证：点在的平分线上；
（3） 当直线平分的面积时，求的值；
（4） 当点与点之间的距离小于时，直接写出的取值范围．
4．[2023唐山一模]如图1，2，在四边形中，，，， ，点在边上，点，分别在，边上，且，点从点出发沿折线匀速运动，点在边所在直线上随移动，且始终保持；点从点出发沿匀速运动，点，同时出发，点的速度是点的一半，点到达点停止，点随之停止．设点移动的路程为．
图1 图2
（1） 当时，求的长；
（2） 如图2，当时，求的值；
（3） 用含的式子表示的长；
（4） 已知点从点到点再到点共用时20秒，若，请直接写出点在线段上（包括端点）的总时长．
类型2 旋转问题
5．[2024邢台一模]如图，在平行四边形中，，，点是的中点，将绕点顺时针旋转得到，过点作的平分线，交平行四边形的边于点,连接．
（1） 连接，求证：；
（2） 在旋转过程中，求点与点之间的最小距离；
（3） 在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求长度的取值范围；
（4） 已知与边交于点，若 ，直接写出点到的距离．
6．[2024石家庄裕华模拟]将两个等腰直角三角形和放在平面直角坐标系中，已知，，， ，并将绕点顺时针旋转．
（1） 当旋转至如图1所示的位置时， ，求此时点的坐标.
图1
（2） 如图2，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时，
图2
① 求证：；
② 求的长.
（3） 当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）．
7．[2023石家庄长安模拟]如图1，正方形与正方形有公共点，点，分别在，上，点在正方形的对角线上．将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．
图1
（1） 当 时，______.
（2） 如图2，当 时，连接，，是不是定值？请说明理由.
（3） 若，，当，，三点共线时，求的长度．
图2
类型3 平移问题
8．[2024沧州模拟]如图，中， ，，．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿绕行一周，与垂直的动直线从开始,以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交，于，两点．当点运动到点时，直线也停止运动，设点的运动时间为秒．
（1） 当点在上运动时，过点作于.
① 当时，求证：；
② 设的面积为，用含的代数式表示，并求当为何值时，有最大值.
（2） 当直线等分的面积时求的值，并判断此时点落在的哪条边上.
（3） 直接写出时的值．
9．[2023石家庄桥西二模]在四边形中，已知， ， ，，，于点．在中，，， ．将按图1方式放置，顶点在上，且，然后将沿平移至点与点重合，再改变的位置，如图3，将顶点沿移动至点，并使点始终在上．
图1
（1） 当点在上运动时，
① 如图1，连接，当时，求的长；
② 如图2，设与的交点为，当顶点落在上时，求的长.
图2
（2） 如图3，点在上运动时，交于点，设，请用表示的长，并求出长度的最小值．
图3
10．[2023天津滨海新区一模]在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形， ，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，，点在第二象限．将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设．
（1） 如图1，当时，与交于点，求点，的坐标.
图1
（2） 若矩形与重叠部分的面积为.
① 如图2，当矩形与重叠部分为五边形时，与交于点，与交于点与交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
图2
② 当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
类型4 轴对称问题
11．如图1，在中，，是上一动点，将沿折叠得到，连接．
图1
（1） 试证明.
（2） 若 ， ，试判断与的位置关系，并说明理由.
（3） 如图2，当折叠后时，与全等吗？请说明理由．
图2
12．已知在等腰三角形中，，取的中点，过作，且，关于成轴对称，连接，，，和分别交，于点，．
（1） 求证：四边形为菱形；
（2） 记的面积为，菱形的面积为，且，当时，求的长．
13．[2023石家庄二模]冀教版八年级上册课本146页有这样一道题：你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三角形吗？请你试一试.
如图1，已知矩形纸片，其中，，点是射线上一点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点．
图1
（1） 如图2，当点与点重合时，求证：是等腰三角形.
图2
（2） 如图3，当点在的延长线上时，设交于点，点落在点的位置，能折出一个等腰三角形，找出这个三角形，并求出当时的值.
图3
（3） 在（2）的条件下，求该等腰三角形的面积．
14．[2024邯郸模拟]已知在中，，，点是线段上一点，且不与点、重合．
（1） 当点为中点时，的长为______．
（2） 如图1，过点作于点，于点，则的值是不是定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
图1
（3） 将沿着过点的直线折叠，使点落在边的点处（点不与点、重合），折痕交边于点.
① 如图2，当点是的中点时，求的长度；
图2
② 如图3，设，若存在两次不同的折痕，使点落在边上两个不同的位置，直接写出的取值范围．
图3
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