中小学教育资源及组卷应用平台
2025河北版数学中考专题
第二模块 方程（组）与不等式（组）
第1讲 一次方程（组）
基础练
1．[2024石家庄裕华质检]如图，已知相同物体的质量相等，图①中的天平保持平衡状态，则图②中的天平（ ）
A. 能平衡 B. 不能平衡，右边比左边低
C. 不能平衡，左边比右边低 D. 无法确定
【答案】A
2．[2024石家庄桥西质检]《孙子算经》一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.问木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024邯郸广平模拟]甲、乙二人分别从相距的,两地出发，相向而行.下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是,乙的速度是,根据题意所列的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
4．[2024保定高碑店摸底]根据下面的对话,算出小亮今年的年龄为（ ）
A. 8岁 B. 6岁 C. 10岁 D. 7岁
【答案】A
5．[2023湖南永州]关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A. 3 B. C. 7 D.
【答案】A
6．[2023四川南充]关于,的方程组的解满足，则的值是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
7．[2024石家庄桥西质检]如果两个实数,满足,那么称和互为好数.例如：,所以0和1互为好数.解答下列问题：
（1） 3的好数是多少？
（2） 若的好数是5，求的值.
【解析】
（1） ,即3的好数是.
（2） 由题意知，.
8．[2024石家庄正定模拟]对于任意实数、，定义关于“ ”的一种运算：，例如．
（1） 求的值；
（2） 若，且，求的值．
【解析】
（1） ，.
（2） 由题意得两式相加，可得，．
提升练
9．[2024石家庄长安质检]如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去矩形纸片;
第二步：从矩形纸片上剪去矩形纸片.
若矩形纸片和矩形纸片的面积相等，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．[2024石家庄新华质检]现将颗糖果装入个糖盒中.若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果，则只有1颗糖果装不下，有下列四个等式：;;;.其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
【答案】D
11．[2024唐山一模]一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队……还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为.根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）
A. 乙队单独完成需要8天
B. 处代表的代数式为
C. 处代表的实际意义：甲队做2天的工作量
D. 甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程
【答案】D
12．[2024衡水模拟]课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，规则如下：如图，掷到区和区的得分不同，区为小圆内的部分，区为大圆内小圆外的部分（区、区均不含边界，若掷到边界或大圆以外，则重新投掷）.现在将投掷有效的位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分.
（1） 掷中区、区一次各得多少分？
（2） 按照这样的计分方法，小明得了多少分？
【解析】
（1） 设掷中区一次得分，掷中区一次得分.则解得答：掷中区一次得10分，掷中区一次得7分.
（2） 小明得分为分.
第2讲 分式方程
基础练
1．[2024张家口联考]若分式与的值相等，则的值不可能是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
2．[2023唐山模拟改编]某校七年级的同学乘坐大巴车去某展览馆参观大型成就展.展览馆距离该校.1号车出发后，2号车才出发，结果两车同时到达.已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度.设1号车的平均速度为，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024邯郸武安二模]几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊4元车费，设实际参加旅游的同学共人,则所列方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
4．[2023石家庄晋州模拟]嘉嘉和淇淇两人同时从地出发，骑自行车前往地，已知，两地的距离为，______，并且嘉嘉比淇淇先到18分钟.若设淇淇每小时骑行，所列方程为，则横线上的信息可能为（ ）
A. 嘉嘉每小时比淇淇多骑行
B. 嘉嘉每小时比淇淇少骑行
C. 嘉嘉和淇淇每小时共骑行
D. 嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍
【答案】A
5．[2024邯郸广平模拟]对于两个不相等的实数、，我们规定符号,表示、中较大的数,如.按照这个规定,方程,的根为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
6．［原创］嘉淇准备完成题目：解方程．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2024保定竞秀一模改编]甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.设这个人步行的速度为千米/小时.
（1） 这个人步行时间为______小时（用含的代数式表示）；
（2） 求这个人步行的速度.
【解析】
（1） .
（2） 由题意得,解得，经检验，是原方程的解，且符合题意.故这个人步行的速度为5千米/小时.
8．[2023唐山遵化模拟]某地的酥梨皮薄肉细、香甜酥脆、果汁多、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，梨之上品”.一果园有甲、乙两支专业酥梨采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600千克酥梨，甲队采摘28 800千克酥梨所用的天数与乙队采摘19 200千克酥梨所用的天数相同.问甲、乙两队每天分别可采摘多少千克酥梨？
【解析】设甲队每天可采摘千克酥梨，则乙队每天可采摘千克酥梨.
根据题意得.
解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意..
答：甲队每天可采摘1 800千克酥梨，乙队每天可采摘1 200千克酥梨.
提升练
9．［原创］若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
10．[2024邯郸广平模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 （ ）
A. 方案① B. 方案②
C. 方案③ D. 方案①和方案③
【答案】C
【解析】设甲厂单独完成此项任务需天，则乙厂单独完成此项任务需天.依题意得,
解得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
这三种施工方案需要的费用如下:
方案①:（万元）；
方案②:（万元），但乙厂单独完成这项任务超过了规定日期，不能选；
方案③:（万元）.因为,所以方案③最节省费用，故选C.
11．［原创］甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．
（1） 1月1日甲与乙同时开始攀登一座1 800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，求甲的平均攀登速度.
（2） 1月5日甲与丙去攀登另一座米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发1小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含的代数式表示）
【解析】
（1） 设乙的平均攀登速度为米/分钟,则甲的平均攀登速度为米/分钟，根据题意得，解得，经检验，是原分式方程的解且符合题意．.答：甲的平均攀登速度是12米/分钟．
（2） 设丙的平均攀登速度为米/分钟，根据题意得，解得.经检验，是原分式方程的解且符合题意．．答：甲的平均攀登速度是丙的倍.
第3讲 一元二次方程
基础练
1．[2024张家口宣化一模]一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】C
2．[2023沧州模拟]下列方程中，以为根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2024保定竞秀模拟]观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024石家庄桥西质检]关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A. 时，方程有两个不相等的实数根
B. 时，方程有两个不相等的实数根
C. 时，方程有两个不相等的实数根
D. 时，方程有两个不相等的实数根
【答案】B
5．[2024沧州一模改编]某电影上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约为2万元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18万元，将增长率记作，则方程可列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6．[2024邯郸武安二模]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______.
【答案】4
7．[2024石家庄十八县一模]下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
解方程：． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ，．第五步
（1） 任务一：
① 杨老师解方程的方法是______；
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
② 第二步变形的依据是______.
（2） 任务二：请你按括号内要求的方法解下列方程.
① ；（公式法）
② （因式分解法）
【解析】
（1）① B.
② 等式的基本性质1.
（2） ① ，，，， 方程有两个不相等的实数根，,，．
② ，，，，或，，．
8．新定义[2023石家庄模拟]在实数范围内定义新运算“ ”，其规则为，根据这个规则，解决下列问题：
（1） 求中的值；
（2） 证明：中，无论为何值，总有两个不同的值.
【解析】
（1） 由题意可得，整理得，解得，.故的值为或3.
（2） 证明：由题意可得，整理得，, 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根，即无论为何值，总有两个不同的值.
提升练
9．[2024保定高碑店摸底]在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了.因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A. 没有实数根 B. 无法判断根的情况
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
10．[2024沧州一模]嘉嘉在解方程时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A. 嘉嘉的计算结果正确
B. 淇淇的说法正确
C. 嘉嘉的计算结果和淇淇的说法都不正确
D. 该方程有两个不相等的解，但嘉嘉的计算结果错误
【答案】C
11．[2024廊坊安次一模]关于的方程,下面解法完全正确的是（ ）
甲 乙
整理得， ,,， ， ， ,. 两边同时除以, 得到.
丙 丁
移项得, , ,. 整理得, 配方得, , , ,.
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
12．[2024张家口一模]如图，张老师想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形车棚，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）.
（1） 当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？
（2） 车棚的面积能达到吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
【解析】
（1） 设边为，则边为.根据题意得，化简得，解得，.当时，；当时，.答：当车棚的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的车棚.
（2） 不能，理由：设为,由题意得，化简得，， 方程没有实数根. 车棚的面积不能达到.
第4讲 一元一次不等式（组）
基础练
1．[2024衡水模拟]语句“的与的和超过2”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024邢台任泽模拟]若，则,“”中应填（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
3．[2024保定高碑店摸底]无理数满足，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024邯郸模拟]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
5．[2023石家庄晋州模拟]若是不等式的解，但不是不等式的解，则下列选项中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2024邯郸武安二模]不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．[2024保定高碑店摸底]设三个有理数2，，的和为.
（1） 当时，求的值；
（2） 若不大于，求的负整数解.
【解析】
（1） 当时，.
（2） 由题意得,解得.的负整数解有,,.
8．[2024石家庄平山摸底]
发现 比较与的大小.（填“ ”“ ”或“”）
① 当时，______;
② 当时，______;
③ 当时，______.
论证 无论取何值，判断与的大小关系，并说明理由.
拓展 试通过计算比较与的大小.
【解析】
发现 ① ② ③ .
论证 无论取何值，总有.理由：,,即无论取何值，总有.
拓展 ,.
提升练
9．[2024邢台一模]如图，若是整数，且满足则落在（ ）
A. 段④ B. 段③ C. 段② D. 段①
【答案】B
10．[2023石家庄二模]课堂上，老师给出了这样一道题目：“求一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集.”甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解的，不能在数轴上表示.”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个.”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成的数字是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】D
11．[2024九地市摸底]定义：不大于实数的最大整数称为的整数部分，记作,如,,按照此规定，回答下列问题.
（1） ________;
（2） 若,则的取值范围为____________.
【答案】（1）
（2）
12．[2024邯郸广平模拟]对于三个实数,,,用,表示，用,,表示这三个数中最大的数，例如：,
,2,,.
请结合上述材料，解决下列问题：
（1） ,________;
（2） 若,,,,则负整数的值是________.
【答案】（1）
（2）
13．[2024石家庄新华质检]已知数轴上有,两点，点表示的数为,点表示的数为.
（1） 当时,求线段的长；
（2） 若点与点关于原点对称，求点表示的数；
（3） 若点在点的左侧，求的正整数值.
【解析】
（1） 当时，点表示的数为,点表示的数为,则.即线段的长为18.
（2） 点与点关于原点对称，,解得,,即点表示的数为.
（3） 点在点的左侧，,解得，的正整数值为1,2,3.
14．[2024沧州一模]将克糖放入一杯水中，得到克糖水.
（1） 糖水的浓度为______；
A. B. C.
（2） 再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为______；
（3） 请证明（2）中的不等式成立.
【解析】
（1） B.
（2） .
（3） 证明： .，,,.,即.
第二模块检测卷
一、选择题
1．下列解方程的过程正确的是（ ）
A. ,系数化为1得
B. ,解得
C. ,移项得
D. ,去括号得
【答案】B
2．已知,下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．解方程组:比较简便的方法是（ ）
A. 都用代入消元法
B. 都用加减消元法
C. ①用代入消元法,②用加减消元法
D. ①用加减消元法,②用代入消元法
【答案】C
4．[2024邯郸模拟]某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图.老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
5．[2024石家庄新乐模拟]解不等式,下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
6．[2022承德一模]解分式方程的结果为（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】D
7．[2024邢台一模]嘉淇在判断一元二次方程的根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有一个根是3
【答案】A
8．[2024石家庄一模]我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ）
甲：设换了清酒斗，列方程为,
乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，
A. 只有甲正确 B. 只有乙正确
C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确
【答案】A
二、填空题
9．若关于的分式方程有增根，则增根是______，的值是______．
【答案】2； 3
10．[2023唐山二模]已知方程的解与关于的方程的解相同，则______；若表示不大于的最大整数，则______.
【答案】7； 2
11．[2023唐山一模]根据示意图中给出的信息，解答下列问题.
（1） 若向左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是____________；
（2） 若向左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是______.
【答案】（1）
（2） 4
【解析】
（1） 由已知得向左边水桶中放入一个小球，水桶中的水位高度上升，放入一个大球，水桶中的水位高度上升， 向左边水桶中放入一个小球和一个大球，水桶中的水位高度是.
（2） 设放入大球个，则放入小球个，根据题意得，解得 放入大球的个数是4.
12．[2023衡水二模]六张完全相同的小矩形纸片与，两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长分别为，50的大矩形，部分数据如图所示.
（1） 若，则矩形的水平边长为__；
（2） 请用含，的代数式表示矩形的周长：______________________________________________________；
（3） 若矩形，的面积相等，则________.
【答案】（1） 26
（2） （答案不唯一，或等）
（3）
【解析】
设矩形的水平边长为，竖直边长为.
（1） 由题图可知，.
（2） 由（1）可知，由题图可知， 矩形的周长 .
（3）矩形的面积，矩形的面积， 矩形，的面积相等，，由题图知，小矩形纸片的长，整理得,,把②代入①，整理得，解得，（舍）.故.
三、解答题
13．新情境·优美U型[2023邯郸模拟]2022年2月的月历表如图所示：
（1） 在图中用优美的“”形框框住5个数字，其中最小的数字为1，则形框中的5个数字之和为______.
（2） 在图中将形框上下、左右移动，框住月历表中的5个数字，设最小的数字为，则形框框住的5个数字之和为______（用含的代数式表示）.
（3） 在图中移动形框的位置，框住的5个数字之和可以为63吗？若可以，求出这5个数字中最小的数字；若不可以，请说明理由.
【解析】
（1） 38.
（2） .提示：形框框住的5个数字分别是，，，，，.
（3） 框住的5个数字之和不可以为63.理由如下：设最小的数字为，由（2）可知这5个数字之和为，，解得，由题图知，不能框住这样的5个数字.
14．[2023石家庄一模]每年的6月5日为世界环境日，为了响应低碳环保的号召，某公司决定购买节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.
（1） 求甲、乙两种型号设备的价格；
（2） 公司决定购买甲、乙两种型号的设备共10台，且该公司预算购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司至多购买几台甲型设备？
【解析】
（1） 设每台甲型设备的价格为万元，每台乙型设备的价格为万元，依题意得解得答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为10万元.
（2） 设购买台甲型设备，则购买台乙型设备，依题意得，解得，为正整数，的最大值为5.答：该公司至多购买5台甲型设备.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025河北版数学中考专题
第二模块 方程（组）与不等式（组）
第1讲 一次方程（组）
基础练
1．[2024石家庄裕华质检]如图，已知相同物体的质量相等，图①中的天平保持平衡状态，则图②中的天平（ ）
A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低
C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定
2．[2024石家庄桥西质检]《孙子算经》一书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.问木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024邯郸广平模拟]甲、乙二人分别从相距的,两地出发，相向而行.下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是,乙的速度是,根据题意所列的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024保定高碑店摸底]根据下面的对话,算出小亮今年的年龄为（ ）
A．8岁 B．6岁 C．10岁 D．7岁
5．[2023湖南永州]关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
6．[2023四川南充]关于,的方程组的解满足，则的值是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．[2024石家庄桥西质检]如果两个实数,满足,那么称和互为好数.例如：,所以0和1互为好数.解答下列问题：
（1） 3的好数是多少？
（2） 若的好数是5，求的值.
8．[2024石家庄正定模拟]对于任意实数、，定义关于“ ”的一种运算：，例如．
（1） 求的值；
（2） 若，且，求的值．
提升练
9．[2024石家庄长安质检]如图，在正方形纸片上进行如下操作：
第一步：剪去矩形纸片;
第二步：从矩形纸片上剪去矩形纸片.
若矩形纸片和矩形纸片的面积相等，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024石家庄新华质检]现将颗糖果装入个糖盒中.若每个糖盒放40颗糖果，则还有10颗糖果装不下，若每个糖盒放43颗糖果，则只有1颗糖果装不下，有下列四个等式：;;;.其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
11．[2024唐山一模]一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队……还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图，设两队合作还需天完成任务，并列方程为.根据上面信息，下面结论不正确的是（ ）
A．乙队单独完成需要8天
B．处代表的代数式为
C．处代表的实际意义：甲队做2天的工作量
D．甲队先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程
12．[2024衡水模拟]课间游戏时同学们设计了一个飞镖游戏，规则如下：如图，掷到区和区的得分不同，区为小圆内的部分，区为大圆内小圆外的部分（区、区均不含边界，若掷到边界或大圆以外，则重新投掷）.现在将投掷有效的位置用一个点标注，统计出小红和小华的有效成绩情况如下：小红得了65分，小华得了71分.
（1） 掷中区、区一次各得多少分？
（2） 按照这样的计分方法，小明得了多少分？
第2讲 分式方程
基础练
1．[2024张家口联考]若分式与的值相等，则的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
2．[2023唐山模拟改编]某校七年级的同学乘坐大巴车去某展览馆参观大型成就展.展览馆距离该校.1号车出发后，2号车才出发，结果两车同时到达.已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度.设1号车的平均速度为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024邯郸武安二模]几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊4元车费，设实际参加旅游的同学共人,则所列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
4．[2023石家庄晋州模拟]嘉嘉和淇淇两人同时从地出发，骑自行车前往地，已知，两地的距离为，______，并且嘉嘉比淇淇先到18分钟.若设淇淇每小时骑行，所列方程为，则横线上的信息可能为（ ）
A．嘉嘉每小时比淇淇多骑行
B．嘉嘉每小时比淇淇少骑行
C．嘉嘉和淇淇每小时共骑行
D．嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍
5．[2024邯郸广平模拟]对于两个不相等的实数、，我们规定符号,表示、中较大的数,如.按照这个规定,方程,的根为（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．［原创］嘉淇准备完成题目：解方程．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
7．[2024保定竞秀一模改编]甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍.设这个人步行的速度为千米/小时.
（1） 这个人步行时间为______小时（用含的代数式表示）；
（2） 求这个人步行的速度.
8．[2023唐山遵化模拟]某地的酥梨皮薄肉细、香甜酥脆、果汁多、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，梨之上品”.一果园有甲、乙两支专业酥梨采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600千克酥梨，甲队采摘28 800千克酥梨所用的天数与乙队采摘19 200千克酥梨所用的天数相同.问甲、乙两队每天分别可采摘多少千克酥梨？
提升练
9．［原创］若关于的方程的解为整数，则整数的值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．[2024邯郸广平模拟]某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 （ ）
A．方案① B．方案②
C．方案③ D．方案①和方案③
11．［原创］甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．
（1） 1月1日甲与乙同时开始攀登一座1 800米高的山，甲比乙早30分钟到达顶峰．已知甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，求甲的平均攀登速度.
（2） 1月5日甲与丙去攀登另一座米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发1小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含的代数式表示）
第3讲 一元二次方程
基础练
1．[2024张家口宣化一模]一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．[2023沧州模拟]下列方程中，以为根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024保定竞秀模拟]观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）
4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A． B． C． D．
4．[2024石家庄桥西质检]关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ）
A．时，方程有两个不相等的实数根
B．时，方程有两个不相等的实数根
C．时，方程有两个不相等的实数根
D．时，方程有两个不相等的实数根
5．[2024沧州一模改编]某电影上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约为2万元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18万元，将增长率记作，则方程可列为（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024邯郸武安二模]若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______.
7．[2024石家庄十八县一模]下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
解方程：． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ，．第五步
（1） 任务一：
① 杨老师解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
② 第二步变形的依据是______.
（2） 任务二：请你按括号内要求的方法解下列方程.
① ；（公式法）
② （因式分解法）
8．新定义[2023石家庄模拟]在实数范围内定义新运算“ ”，其规则为，根据这个规则，解决下列问题：
（1） 求中的值；
（2） 证明：中，无论为何值，总有两个不同的值.
提升练
9．[2024保定高碑店摸底]在解关于的一元二次方程时，佳佳将的值写成了.因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A．没有实数根 B．无法判断根的情况
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．[2024沧州一模]嘉嘉在解方程时，经过一系列的计算后得到，，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的计算结果正确
B．淇淇的说法正确
C．嘉嘉的计算结果和淇淇的说法都不正确
D．该方程有两个不相等的解，但嘉嘉的计算结果错误
11．[2024廊坊安次一模]关于的方程,下面解法完全正确的是（ ）
甲 乙
整理得， ,,， ， ， ,. 两边同时除以, 得到.
丙 丁
移项得, , ,. 整理得, 配方得, , , ,.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．[2024张家口一模]如图，张老师想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形车棚，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）.
（1） 当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？
（2） 车棚的面积能达到吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
第4讲 一元一次不等式（组）
基础练
1．[2024衡水模拟]语句“的与的和超过2”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024邢台任泽模拟]若，则,“”中应填（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．[2024保定高碑店摸底]无理数满足，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024邯郸模拟]不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．[2023石家庄晋州模拟]若是不等式的解，但不是不等式的解，则下列选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024邯郸武安二模]不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024保定高碑店摸底]设三个有理数2，，的和为.
（1） 当时，求的值；
（2） 若不大于，求的负整数解.
8．[2024石家庄平山摸底]
发现 比较与的大小.（填“ ”“ ”或“”）
① 当时，______;
② 当时，______;
③ 当时，______.
论证 无论取何值，判断与的大小关系，并说明理由.
拓展 试通过计算比较与的大小.
提升练
9．[2024邢台一模]如图，若是整数，且满足则落在（ ）
A．段④ B．段③ C．段② D．段①
10．[2023石家庄二模]课堂上，老师给出了这样一道题目：“求一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集.”甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解的，不能在数轴上表示.”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个.”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成的数字是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
11．[2024九地市摸底]定义：不大于实数的最大整数称为的整数部分，记作,如,,按照此规定，回答下列问题.
（1） ________;
（2） 若,则的取值范围为____________.
12．[2024邯郸广平模拟]对于三个实数,,,用,表示，用,,表示这三个数中最大的数，例如：,,2,,.
请结合上述材料，解决下列问题：
（1） ,________;
（2） 若,,,,则负整数的值是________.
13．[2024石家庄新华质检]已知数轴上有,两点，点表示的数为,点表示的数为.
（1） 当时,求线段的长；
（2） 若点与点关于原点对称，求点表示的数；
（3） 若点在点的左侧，求的正整数值.
14．[2024沧州一模]将克糖放入一杯水中，得到克糖水.
（1） 糖水的浓度为______；
A． B． C．
（2） 再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为______；
（3） 请证明（2）中的不等式成立.
第二模块检测卷
一、选择题
1．下列解方程的过程正确的是（ ）
A．,系数化为1得
B．,解得
C．,移项得
D．,去括号得
2．已知,下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．解方程组:比较简便的方法是（ ）
A．都用代入消元法
B．都用加减消元法
C．①用代入消元法,②用加减消元法
D．①用加减消元法,②用代入消元法
4．[2024邯郸模拟]某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图.老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．[2024石家庄新乐模拟]解不等式,下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．[2022承德一模]解分式方程的结果为（ ）
A． B． C． D．无解
7．[2024邢台一模]嘉淇在判断一元二次方程的根的情况时，把看成了它的相反数，得到方程有两个相等的实数根，则原方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是3
8．[2024石家庄一模]我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ）
甲：设换了清酒斗，列方程为,
乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
二、填空题
9．若关于的分式方程有增根，则增根是______，的值是______．
10．[2023唐山二模]已知方程的解与关于的方程的解相同，则______；若表示不大于的最大整数，则______.
11．[2023唐山一模]根据示意图中给出的信息，解答下列问题.
（1） 若向左边水桶中放入一个小球和一个大球，则水桶中的水位高度是____________；
（2） 若向左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到，则放入大球的个数是______.
12．[2023衡水二模]六张完全相同的小矩形纸片与，两张矩形纸片恰好能拼成一个相邻边长分别为，50的大矩形，部分数据如图所示.
（1） 若，则矩形的水平边长为__；
（2） 请用含，的代数式表示矩形的周长：______________________________________________________；
（3） 若矩形，的面积相等，则________.
三、解答题
13．新情境·优美U型[2023邯郸模拟]2022年2月的月历表如图所示：
（1） 在图中用优美的“”形框框住5个数字，其中最小的数字为1，则形框中的5个数字之和为______.
（2） 在图中将形框上下、左右移动，框住月历表中的5个数字，设最小的数字为，则形框框住的5个数字之和为______（用含的代数式表示）.
（3） 在图中移动形框的位置，框住的5个数字之和可以为63吗？若可以，求出这5个数字中最小的数字；若不可以，请说明理由.
14．[2023石家庄一模]每年的6月5日为世界环境日，为了响应低碳环保的号召，某公司决定购买节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.
（1） 求甲、乙两种型号设备的价格；
（2） 公司决定购买甲、乙两种型号的设备共10台，且该公司预算购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司至多购买几台甲型设备？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
