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2025河北版数学中考专题
第七模块 图形的变化
第1讲 视图与投影
基础练
1．[2024张家口一模]在阳光照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．[2024邢台、邯郸二模]如图是正方体的表面展开图，将部分面分别标上数字，若正方体朝上一面标注的数字是1，则正方体朝下一面标注的数字是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
3．[2024邯郸武安二模]在父亲节当天，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知这个礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥
【答案】D
4．[2024唐山古冶二模]榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的主视图是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024河北一模]如图是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】D
6．[2024石家庄桥西一模]一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，如图是该几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
7．[2024保定一模]将一张矩形纸片沿虚线折叠，围成一个直三棱柱的侧面，尺寸如图所示，则的值可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
8．[2024张家口万全一模]裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相同的小正方形，若再去掉一个小正方形，便可折成一个正方体，则去掉的小正方形不可能是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
提升练
9．[2024唐山一模]如图，一个球在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球与长方体的组合体的视图始终不变的是（ ）
A. 左视图 B. 主视图
C. 俯视图 D. 左视图和俯视图
【答案】A
10．[2024石家庄新华二模]如图是某机器零件的示意图.在它的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在
【答案】C
11．[2024石家庄裕华二模]如图是一个带有空洞的儿童玩具，左、右两边的空洞从正面看分别为正方形、圆.如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住左边空洞，又可以堵住右边空洞的几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
12．[2024石家庄一模]某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体
的小正方体的个数最少是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 3
【答案】B
13．[2024河北一模]图1所示的几何体由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2所示，则至多能拿走小正方体（ ）
图1 图2
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
14．[2023衡水模拟]一个正方体纸盒的表面展开图如图所示，在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：面上的数与它对面的数互为倒数；面上的数等于它对面的数的绝对值；面上的数与它对面的数互为相反数.下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
15．[2024石家庄裕华一模]如图所示的是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
16．[2022承德一模改编]一把直角三角尺， ，，，测得边的中心投影长为，则长为________.
【答案】
第2讲 图形的变换
课时1
基础练
1．[2024沧州任丘一模]如图，中，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 以上均对
【答案】D
2．[2024保定一模]如图， ，直线平移后得到直线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024邯郸、邢台模拟]如图，与成中心对称，则对称中心是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
4．[2024沧州盐山摸底]下图是由8个小正方形组成的网格．现在嘉嘉想再给一个小正方形涂上阴影，使四个阴影小正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（ ）
A. 只有② B. 只有③ C. ①或③ D. ③或④
【答案】D
5．[2023衡水模拟]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段经过平移后得到线段，其中点与点对应，点与点对应，点的坐标为.若为线段上一点，平移后的对应点为，则点移动到的最小路程为（ ）
A. 5 B. C. 4 D.
【答案】B
6．[2024保定曲阳期末]如图，中，点在上，分别以、为对称轴，画出点的对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，可知的度数为__________．
【答案】
7．[2024唐山一模]如图，已知平面直角坐标系中点，，．
（1） 若线段绕点旋转，使点与点重合，设点的对应点为，则点的坐标为____________；
（2） 若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为____________．
【答案】（1）
（2）
提升练
8．[2024唐山古冶二模]如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
9．[2024邯郸邱县二模]如图，点为内部一点，且，点，点分别为点关于直线，直线的对称点，当 时，的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】A
10．[2024石家庄一模]如图，将一把三角尺绕点按顺时针方向旋转 ，得到，连接，且， ，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】如图，连接，延长交于点，
，，.
由旋转得， ，，是等边三角形.易知是的垂直平分线，
，
，
， ，,
，
.故选A．
11．[2024邯郸武安二模]如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于，作的平分线，交边于．
（1） 若 ，则__ ；
（2） 若，、、三点共线，则________．
【答案】（1） 55
（2）
【解析】
（2） 四边形是矩形，， ，如图，连接,过点作于点，得矩形，
， ，由折叠可知 ， ，平分，，.是边的中点，，由折叠可知，，，，.在中，，，.
12．[2024石家庄十八县模拟]
（1） 【问题发现】
如图1，在中，， ，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是______________；
图1
（2） 【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点顺时针旋转，连接，，，请猜想图2中线段和的数量关系，并证明你的结论；
图2
（3） 【结论运用】
在的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．
【解析】
（1） .
（2） .证明如下：在中，， ，， 四边形是正方形，， ，，，
，，.
（3）或.详解：在中，， ，的面积为8，，则（负值舍去），，由（1）知，.设，则.当、、三点共线时，有两种情况：①如图1，在中， ，，由得，解得（负值舍去）；
图1
②如图2，在中， ，，由得，解得（负值舍去）.
图2
综上，线段的长为或．
课时2
基础练
1．[2024邯郸广平模拟改编]垃圾分类功在当代，利在千秋.下列垃圾分类指引标志图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾
【答案】D
2．[2024石家庄新华二模]如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，是平移重合图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆
【答案】A
3．[2024石家庄裕华模拟]如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，绕着点经过逆时针旋转后能够与重合，再将图1作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图2．两次旋转的角度最小分别为（ ）
图1 图2
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
4．[2024石家庄平山一模]围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（ ）
A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处
【答案】A
5．[2024衡水模拟]如图，将沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．[2024廊坊三河摸底]如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转 得到半圆，半圆与交于点，则的长为____________.
【答案】
7．[2023廊坊一模]如图，在中， ， ，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上.
（1） 旋转角 的度数是________；
（2） 线段所扫过部分的面积是________.（结果保留）
【答案】（1）
（2）
提升练
8．[2024石家庄正定一模]如图，在三角形纸片中，， ，点是边上的动点，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，当时，（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】如图1，，且点与点A在直线的异侧，
图1
由折叠得，
，
，
， ；
如图2，，且点与点A在直线的同侧，
图2
，且 ，
， .
综上所述， 或 ．
9．[2023唐山模拟]如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】由题意知， ，，，
， ，
， ，
是等边三角形， ，，
，，
设，
则，，
矩形的面积为，
，
，（舍去），
.
10．[2024石家庄摸底]如图，点，，连接，点为轴上点左侧的一点，点，分别为线段，线段上的点，点，关于直线对称．
（1） 如果，那么四边形的形状是____；
（2） 当最长时，点的坐标为____________．
【答案】（1） 菱形
（2）
【解析】
（1）如图，连接，
点，关于直线对称，垂直平分，，，，，，，，，，， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形．
（2）连接，延长交于．当点和点重合时最长.
，， ,，，则，.，，．.易证，，， 点的坐标为．
11．[2024石家庄裕华二模]如图1，在中， ，，，为边上一动点．
图1
（1） 的长为____；
（2） 当动点满足 时，求的值；
（3） 如图2，若为的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求的长；
图2
（4） 如图3，若为边上一点，且，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转 得到线段，连接，直接写出长度的最小值．
图3
【解析】
（1）20.
（2）过点作，交于点，过点作于点，
， ，，， ，，，，.设，则，，，，，.
（3） 设与交于点，连接.为的中点，，.由折叠可知，， ，，设，则，，，，或，的长为2或14.
（4） 8.详解：以为边向右作等边，连接，则， .
由旋转知， ，，，， 当的长度取最小值时，的值最小.为上一动点， 当时，的长度最小.过点作于点，作于点，则四边形为矩形，，，，，，，，则，即长度的最小值为8．
课时3
基础练
1．[2024石家庄新乐一模]如图，将沿方向平移，得到.若 , ,则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024石家庄裕华校级二模]如图，在中， ， ，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
3．[2023秦皇岛二模]如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2024石家庄桥西一模]如图，弓形中，所在圆的圆心为点，作关于直线对称的弧，对称的弧经过点，，点为上任意一点（不与点，重合），点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024石家庄裕华模拟]如图，等腰中， ，，是边上的点，将沿翻折得到，边交于点.
（1） ____ ；
（2） 若 ，则______ ．
【答案】（1） 72.5
（2） 107.5
提升练
6．[2024邯郸馆陶模拟]如图，在折线段中，，，可绕点旋转，线段上有一点，将线段分成两部分，可绕点旋转.旋转，，当线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长可为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
7．[2024沧州一模]如图，点是菱形的边上的点，连接．将菱形沿翻折，点恰好落在的中点处，则的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】过A作于点，
由题意知，，为等腰三角形，
， 点为的中点，
点为的中点，.
设，则，
，
.
8．[2024张家口宣化期末]如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若 ，则的度数为______________（用含 的代数式表示）．
【答案】
【解析】如图，连接，过作于，
由对称知，，,
，，
又，，
，
，
.
9．[2023邯郸二模改编]如图1，在中， ，，.
【数学活动】
将进行以下操作：
第一步：折叠使点与点重合，得到折痕，然后展开；
第二步：将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是点、，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点.
图1
【数学思考】
（1） 折痕的长为__；
（2） 在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3） 如图2，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，求的长；
图2
【问题延伸】
（4） 如图3，若的两直角边，在绕点顺时针旋转 的过程中，设与的重叠部分的面积为，则的最小值为____________.
图3
【解析】
（1）3.
（2） .证明如下：连接，由折叠和旋转知，， ，又，，.
（3） 由折叠易得，，，由旋转得，，.设，则，在中，，即，解得，.
（4） .
提示：设交边于点，由（2）知，由旋转知当时有最小值，即当旋转角为 时的面积最大，有最小值，如图所示，
，.延长交于，则 ， ，，，，.
微专题8 图形的折叠、裁剪与拼接
1．[2024沧州一模]嘉淇剪了一个锐角纸片做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则①②③中的线段分别是的（ ）
A. 高线，中线，角平分线 B. 高线，角平分线，中线
C. 中线，高线，角平分线 D. 高线，角平分线，垂直平分线
【答案】B
2．[2024石家庄平山一模]将两张三角形纸片和按图1位置放置，点、分别在、的延长线上，记 .沿虚线将剪掉一部分得到图2的，记 ，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D. 无法比较 与 的大小
【答案】B
3．[2023秦皇岛一模]如图，在正方形纸片上，是上一点（不与点，重合）.将纸片沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接，则（ ）
A. B. C. D. 不是定值
【答案】B
4．[2024石家庄正定一模]淇淇用六个图1中的纸片拼接出图2中的图形，图2中的图形的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（ ）
图1 图2 图3
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
5．[2024沧州任丘一模]如图1，在中，、分别是、的中点，将沿所在直线向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（ ）
图1 图2
A. B. 是等腰三角形
C. 点落在边的中点处 D.
【答案】C
6．[2024邯郸十三中三模]如图，的面积为12，，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，为直线上的一点，则线段的长可能是（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
【答案】D
7．[2024石家庄长安一模]如图，矩形中，点，，分别在边，，上，将矩形分别沿，，折叠，使点，恰好都落在点处，点落在点处．以下结论：
Ⅰ：若点落在上，则；
Ⅱ：若点与点重合，则.
下列判断正确的是（ ）
A. Ⅰ、Ⅱ都正确 B. Ⅰ、Ⅱ都不正确
C. 只有Ⅰ正确 D. 只有Ⅱ正确
【答案】C
【解析】若点落在上，由折叠可得,，，，，
， ，
，
，故结论Ⅰ正确；
若点与点重合，如图所示，
设，，则，，，
在中，，
即，
，，
故结论Ⅱ错误.故选C.
8．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为__．
【答案】24
9．[2024沧州任丘一模]一个燕尾形纸片，如图1所示，，延长，，分别交、于点，.如图2，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图3.则在图1中：
图1 图2 图3
（1） ________；
（2） ________．
【答案】（1）
（2）
10．[2024沧州一模]问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点，沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使落在所在直线上，点的对应点为点，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示．
图1
（1） 的度数为____________；
（2） 若，，求的最大值；
拓展应用：
（3） 一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中边或边与矩形纸片的一边重合，，，，，，求该矩形纸片的面积．
图2
【解析】
（1） .
（2） 设，，则．由（1）知 ， ． 四边形为矩形， ， ，，，，．， 当时，取最大值．的最大值为．
（3） 当为矩形的一边时，作出原矩形，连接，如图，
，，，．． 四边形为矩形，，．设，，则，．
易证，，即,，，
该矩形纸片的面积．
当为矩形的一边时，作出原矩形，如图，
设，则， 四边形为矩形，，．易证，，即，，，，． 该矩形纸片的面积．
综上，该矩形纸片的面积为1 260．
微专题9 几何最值问题
1．如图，在中， ，，，点是半径为2的上一动点，连接，点是的中点，则长度的最大值是（ ）
A. 3 B. 3.5 C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，取的中点，连接，.
，，，
，
，，
，.
，即，
当且仅当B、、三点共线时取等号，
长度的最大值为3.5.
2．[2024邯郸十三中三模]如图，在边长为1的菱形中， ，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】在菱形中，， ，
， ，
由平移得，，
，，
四边形是平行四边形，
，.
点在过点A且平行于的定直线上， 作点D关于定直线的对称点，与定直线交于，连接交定直线于，则的长度即为的最小值.
在中， ，，，
，，
， ，
．故选C.
3．[2024邯郸武安摸底]如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为______．
【答案】3
4．在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则长度的最小值为__________．
【答案】
5．[2022石家庄二模]如图,的半径是6,是的弦,是上一点,,
,点是上一动点,则点与点之间的最大距离是__________；最小距离是__________.
【答案】；
6．[2024保定、张家口一模]如图，，（ 为锐角），，以为斜边，在四边形内部作， ．
（1） 的面积为__；
（2） 当平分时，____（用含 的式子表示）；
（3） 连接，则长度的最小值为__________．
【答案】（1） 30
（2）
（3）
【解析】
（3）设的中点为，连接，,过点作于点，
，为的中点，，由得，当，，三点共线时，的长度最小，易知，则，，在中，，长度的最小值为．
7．[2024邯郸邱县一模节选]如图，在中， ，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，．连接，直线交于点，点为的中点，连接在旋转过程中，的长度是否存在最大值？若存在，求长度的最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】长度存在最大值.
过作交的延长线于，连接，如图.
,,,,.
由旋转得， ，，，
，，
，，
，，，又,
，
，即是的中点，
为的中点，.
即当的值最大时，的值最大，
，
当，，三点共线（点在,之间）时，存在最大值．
长度的最大值为8．
第3讲 尺规作图
基础练
1．[2024石家庄平山一模]如图，中， ，根据尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（ ）
A. 为等腰三角形 B.
C. D. 为等边三角形
【答案】C
2．[2024唐山二模]如图，在中， ，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024唐山一模]在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则对于补充的作图痕迹判断正确的是（ ）
图① 图② 图③
A. 只有甲正确 B. 只有乙正确
C. 甲和乙都正确 D. 甲和乙都不正确
【答案】C
4．[2024石家庄新乐一模]如图，已知直线及直线外一点,过点作直线的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2024河北联考]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中， ,
求作：的外接圆.
作法：如图2.
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于,两点；
（2）作直线,交于点；
（3）以为圆心，为半径作.
即为所求作的圆.
图1 图2
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
6．[2024邯郸、邢台一模]综合实践课上，嘉嘉画出，如图1.利用尺规作图作的平分线．其作图过程如下：
①如图2，在射线上取一点（不与重合），作，且点落在内部；
②如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，作射线，则射线就是的平分线．
图1 图2 图3
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 两直线平行，内错角相等
C. 等边对等角
D. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【答案】D
7．[2024张家口万全一模]在中，.尺规作图要求：
Ⅰ．作边的平行线；
Ⅱ．作线段的垂直平分线；
Ⅲ．作顶角的平分线．
下图是按上述要求打乱顺序的尺规作图痕迹，其中配对正确的是（ ）
A. ①-Ⅲ，②-Ⅱ，③-Ⅰ B. ①-Ⅰ，②-Ⅲ，③-Ⅱ
C. ①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ D. ①-Ⅲ，②-Ⅰ，③-Ⅱ
【答案】B
提升练
8．[2024石家庄新华一模]如图1，已知，画一个，使得.在已有 的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
图1 图2 图3
A. 嘉嘉第一步作图中，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
【答案】C
9．[2024沧州模拟]已知是上一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是 （ ）
甲：如图1，①连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接并延长；②在上截取，连接，直线即为所求． 图1 乙：如图2，①作射线OP；②在直线外取一点，以点为圆心，长为半径作，与射线交于另一点；③连接并延长与交于点，连接，直线即为所求． 图2
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确
【答案】A
10．[2024沧州一模]如图，已知矩形.
（1） 用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点、分别在、边上（不写作法，保留作图痕迹），并给出证明;
（2） 若，，求菱形的周长．
【解析】
（1）如图，菱形即为所求作图形．
证明：设与交于点， 直线为线段的垂直平分线，，， 四边形为矩形，，，，，， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形．
（2） 四边形为矩形， .设，则，在中，，即，解得， 菱形的周长为．
第七模块检测卷
一、选择题
1．[2023沧州三模]一个正方体的表面展开图如图所示，所有相对面的数字之和相等，则的值是 （ ）
A. 5 B. 1 C. 3 D.
【答案】A
2．[2024河北模拟改编]若从①②③④中选择某个方向为正方向，得到图1中的几何体的三视图如图2所示，则选择的正方向是（ ）
图1 图2
A. 方向① B. 方向② C. 方向③ D. 方向④
【答案】B
3．[2024沧州任丘一模]由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
4．[2023唐山模拟]我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024石家庄新华二模]如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分的面积为9．若，则等于（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】B
6．[2023邯郸武安一模]如图，中， ， ，，，动点在边上（不与、重合），点关于所在直线，所在直线的对称点分别为点，，连接，分别交，于点，.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
下列判断正确的是（ ）
A. 甲对、乙对 B. 甲对、乙错 C. 甲错、乙对 D. 甲错、乙错
【答案】C
【解析】连接，，，，，
由对称得，，，
，是等边三角形，，
点不与A、B重合，不存在最大值与最小值，不存在最大值与最小值，故甲错误；
由对称性知， ， ， ，
是钝角三角形，故乙正确.
7．[2022石家庄一模]如图1所示，一块木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等面积的正方形木板.
图1
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需的正方形，并求得.
图2
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需的正方形，并求得.
图3
下列说法正确的是（ ）
A. 甲的分割方式不正确
B. 甲的分割方式正确，的值求解不正确
C. 乙的分割方式与所求的值都正确
D. 乙的分割方式正确，的值求解不正确
【答案】D
【解析】如图.
原来图形的面积，
拼接后的正方形的边长为，
如图1所示，在中，，
图1
甲的分割方式正确，计算也正确.
如图2所示，易得，
图2
，，，
乙的分割方式正确，计算错误.
8．[2023保定一模]如图，在菱形中，， ，为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以的速度向点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：.正确的是（ ）
A. 只有甲答案正确 B. 甲、乙答案合在一起才完整
C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
【答案】C
【解析】由四边形为菱形，
， ，
易知 ，.
由题意知，，
如图1，当时，重合部分的面积.
图1
在中，， ，.，
，（负舍）.
如图2，当时，重合部分的面积.
图2
在中，， ，，
，，
,
或（舍）.
综上，或.故选C.
二、填空题
9．[2024秦皇岛青龙摸底]如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使被涂色的4个小方格组成的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个．
【答案】4
10．[2022石家庄质检]小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为 ，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为______________.
【答案】米
11．[2024石家庄裕华一模]如图，在中， ，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为________．
【答案】
三、解答题
12．[2024陕西]如图，已知直线和外一点.请用尺规作图法，求作一个等腰直角,使得顶点和顶点都在直线上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
【解析】如图，即为所求（作法不唯一）.
13．[2023秦皇岛二模]如图，在中，，，是边上的点，连接、，将沿直线折叠，点与点对应，连接，若，
（1） 求证：；
（2） 求证：平分；
（3） 若 ，，，求的长.
【解析】
（1） 证明：由折叠知，.，，，，，.
（2） 证明：由（1）知，，，，，平分.
（3） ， ，由（2）知，， ，由（1）知，，.在中，，由折叠知，，，在中，.
14．[2023石家庄一模]如图，在中，， ，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，作射线.
（1） 求证：，并求的度数.
（2） 若为的中点，连接，连接并延长，交射线于点.当，时，
① 求的长；
② 直接写出的长.
【解析】
（1） ，，又，，.， ， ，， ， .
（2） ① ,.
在中，，为中点，.
② .提示：在中，为的中点，，，， ， ， ，，，.
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2025河北版数学中考专题
第七模块 图形的变化
第1讲 视图与投影
基础练
1．[2024张家口一模]在阳光照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024邢台、邯郸二模]如图是正方体的表面展开图，将部分面分别标上数字，若正方体朝上一面标注的数字是1，则正方体朝下一面标注的数字是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．[2024邯郸武安二模]在父亲节当天，小东同学准备送给父亲一个小礼物．已知这个礼物外包装的主视图如图所示，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱锥
4．[2024唐山古冶二模]榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的主视图是 （ ）
A． B．
C． D．
5．[2024河北一模]如图是一个正方体茶盒的表面展开图，将其折叠成正方体后，与顶点重合的顶点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．[2024石家庄桥西一模]一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，如图是该几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024保定一模]将一张矩形纸片沿虚线折叠，围成一个直三棱柱的侧面，尺寸如图所示，则的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2024张家口万全一模]裁剪硬纸板得到如图所示的几个边长都相同的小正方形，若再去掉一个小正方形，便可折成一个正方体，则去掉的小正方形不可能是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
提升练
9．[2024唐山一模]如图，一个球在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球与长方体的组合体的视图始终不变的是（ ）
A．左视图 B．主视图
C．俯视图 D．左视图和俯视图
10．[2024石家庄新华二模]如图是某机器零件的示意图.在它的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．不存在
11．[2024石家庄裕华二模]如图是一个带有空洞的儿童玩具，左、右两边的空洞从正面看分别为正方形、圆.如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住左边空洞，又可以堵住右边空洞的几何体是（ ）
A． B． C． D．
12．[2024石家庄一模]某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体
的小正方体的个数最少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．3
13．[2024河北一模]图1所示的几何体由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2所示，则至多能拿走小正方体（ ）
图1 图2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．[2023衡水模拟]一个正方体纸盒的表面展开图如图所示，在其中的三个正方形，，内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：面上的数与它对面的数互为倒数；面上的数等于它对面的数的绝对值；面上的数与它对面的数互为相反数.下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．[2024石家庄裕华一模]如图所示的是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
16．[2022承德一模改编]一把直角三角尺， ，，，测得边的中心投影长为，则长为________.
第2讲 图形的变换
课时1
基础练
1．[2024沧州任丘一模]如图，中，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（ ）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上均对
2．[2024保定一模]如图， ，直线平移后得到直线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024邯郸、邢台模拟]如图，与成中心对称，则对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．[2024沧州盐山摸底]下图是由8个小正方形组成的网格．现在嘉嘉想再给一个小正方形涂上阴影，使四个阴影小正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（ ）
A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④
5．[2023衡水模拟]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段经过平移后得到线段，其中点与点对应，点与点对应，点的坐标为.若为线段上一点，平移后的对应点为，则点移动到的最小路程为（ ）
A．5 B． C．4 D．
6．[2024保定曲阳期末]如图，中，点在上，分别以、为对称轴，画出点的对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，可知的度数为__________．
7．[2024唐山一模]如图，已知平面直角坐标系中点，，．
（1） 若线段绕点旋转，使点与点重合，设点的对应点为，则点的坐标为____________；
（2） 若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为____________．
提升练
8．[2024唐山古冶二模]如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．[2024邯郸邱县二模]如图，点为内部一点，且，点，点分别为点关于直线，直线的对称点，当 时，的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．[2024石家庄一模]如图，将一把三角尺绕点按顺时针方向旋转 ，得到，连接，且， ，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．1
11．[2024邯郸武安二模]如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于，作的平分线，交边于．
（1） 若 ，则__ ；
（2） 若，、、三点共线，则________．
12．[2024石家庄十八县模拟]
（1） 【问题发现】
如图1，在中，， ，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，易知，则线段与的数量关系是______________；
图1
（2） 【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点顺时针旋转，连接，，，请猜想图2中线段和的数量关系，并证明你的结论；
图2
（3） 【结论运用】
在的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到、、三点共线时，请直接写出线段的长．
课时2
基础练
1．[2024邯郸广平模拟改编]垃圾分类功在当代，利在千秋.下列垃圾分类指引标志图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．厨余垃圾 B．可回收物 C．其他垃圾 D．有害垃圾
2．[2024石家庄新华二模]如果存在一条直线把一个图形分割成两部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，是平移重合图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正六边形 D．圆
3．[2024石家庄裕华模拟]如图，和都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，绕着点经过逆时针旋转后能够与重合，再将图1作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图2．两次旋转的角度最小分别为（ ）
图1 图2
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．[2024石家庄平山一模]围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
5．[2024衡水模拟]如图，将沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024廊坊三河摸底]如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转 得到半圆，半圆与交于点，则的长为____________.
7．[2023廊坊一模]如图，在中， ， ，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上.
（1） 旋转角 的度数是________；
（2） 线段所扫过部分的面积是________.（结果保留）
提升练
8．[2024石家庄正定一模]如图，在三角形纸片中，， ，点是边上的动点，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，当时，（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
9．[2023唐山模拟]如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．[2024石家庄摸底]如图，点，，连接，点为轴上点左侧的一点，点，分别为线段，线段上的点，点，关于直线对称．
（1） 如果，那么四边形的形状是____；
（2） 当最长时，点的坐标为____________．
11．[2024石家庄裕华二模]如图1，在中， ，，，为边上一动点．
图1
（1） 的长为____；
（2） 当动点满足 时，求的值；
（3） 如图2，若为的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求的长；
图2
（4） 如图3，若为边上一点，且，连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转 得到线段，连接，直接写出长度的最小值．
图3
课时3
基础练
1．[2024石家庄新乐一模]如图，将沿方向平移，得到.若 , ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024石家庄裕华校级二模]如图，在中， ， ，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．[2023秦皇岛二模]如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024石家庄桥西一模]如图，弓形中，所在圆的圆心为点，作关于直线对称的弧，对称的弧经过点，，点为上任意一点（不与点，重合），点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄裕华模拟]如图，等腰中， ，，是边上的点，将沿翻折得到，边交于点.
（1） ____ ；
（2） 若 ，则______ ．
提升练
6．[2024邯郸馆陶模拟]如图，在折线段中，，，可绕点旋转，线段上有一点，将线段分成两部分，可绕点旋转．旋转，，当线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长可为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．[2024沧州一模]如图，点是菱形的边上的点，连接．将菱形沿翻折，点恰好落在的中点处，则的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．[2024张家口宣化期末]如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若 ，则的度数为______________（用含 的代数式表示）．
9．[2023邯郸二模改编]如图1，在中， ，，.
【数学活动】
将进行以下操作：
第一步：折叠使点与点重合，得到折痕，然后展开；
第二步：将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是点、，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点.
图1
【数学思考】
（1） 折痕的长为__；
（2） 在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】
（3） 如图2，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，求的长；
图2
【问题延伸】
（4） 如图3，若的两直角边，在绕点顺时针旋转 的过程中，设与的重叠部分的面积为，则的最小值为____________.
图3
微专题8 图形的折叠、裁剪与拼接
1．[2024沧州一模]嘉淇剪了一个锐角纸片做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则①②③中的线段分别是的（ ）
A．高线，中线，角平分线
B．高线，角平分线，中线
C．中线，高线，角平分线
D．高线，角平分线，垂直平分线
2．[2024石家庄平山一模]将两张三角形纸片和按图1位置放置，点、分别在、的延长线上，记 .沿虚线将剪掉一部分得到图2的，记 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
3．[2023秦皇岛一模]如图，在正方形纸片上，是上一点（不与点，重合）.将纸片沿折叠，使点落在点处，延长交于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．不是定值
4．[2024石家庄正定一模]淇淇用六个图1中的纸片拼接出图2中的图形，图2中的图形的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（ ）
图1 图2 图3
A．7 B．8 C．9 D．10
5．[2024沧州任丘一模]如图1，在中，、分别是、的中点，将沿所在直线向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（ ）
图1 图2
A． B．是等腰三角形
C．点落在边的中点处 D．
6．[2024邯郸十三中三模]如图，的面积为12，，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，为直线上的一点，则线段的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．[2024石家庄长安一模]如图，矩形中，点，，分别在边，，上，将矩形分别沿，，折叠，使点，恰好都落在点处，点落在点处．以下结论：
Ⅰ：若点落在上，则；
Ⅱ：若点与点重合，则.
下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ、Ⅱ都正确 B．Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有Ⅰ正确 D．只有Ⅱ正确
8．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在中，点、分别是、的中点，作于点，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形．若，，则四边形的面积为__．
9．[2024沧州任丘一模]一个燕尾形纸片，如图1所示，，延长，，分别交、于点，.如图2，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图3.则在图1中：
图1 图2 图3
（1） ________；
（2） ________．
10．[2024沧州一模]问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点，沿翻折，使点落在矩形内部处；
第2步：再次翻折矩形，使落在所在直线上，点的对应点为点，折痕为．
翻折后的纸片如图1所示．
图1
（1） 的度数为____________；
（2） 若，，求的最大值；
拓展应用：
（3） 一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中边或边与矩形纸片的一边重合，，，，，，求该矩形纸片的面积．
图2
微专题9 几何最值问题
1．如图，在中， ，，，点是半径为2的上一动点，连接，点是的中点，则长度的最大值是（ ）
第1题图
A．3 B．3.5 C． D．
2．[2024邯郸十三中三模]如图，在边长为1的菱形中， ，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（ ）
第2题图
A．1 B． C． D．2
3．[2024邯郸武安摸底]如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为6，则的最小值为______．
第3题图
4．在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则长度的最小值为__________．
第4题图
5．[2022石家庄二模]如图,的半径是6,是的弦,是上一点,,,点是上一动点,则点与点之间的最大距离是__________；最小距离是__________.
第5题图
6．[2024保定、张家口一模]如图，，（ 为锐角），，以为斜边，在四边形内部作， ．
第6题图
（1） 的面积为__；
（2） 当平分时，____（用含 的式子表示）；
（3） 连接，则长度的最小值为__________．
7．[2024邯郸邱县一模节选]如图，在中， ，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，．连接，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，的长度是否存在最大值？若存在，求长度的最大值；若不存在，请说明理由．
第3讲 尺规作图
基础练
1．[2024石家庄平山一模]如图，中， ，根据尺规作图的痕迹，下列说法一定正确的是（ ）
第1题图
A．为等腰三角形 B．
C． D．为等边三角形
2．[2024唐山二模]如图，在中， ，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024唐山一模]在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则对于补充的作图痕迹判断正确的是（ ）
图① 图② 图③
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲和乙都正确 D．甲和乙都不正确
4．[2024石家庄新乐一模]如图，已知直线及直线外一点,过点作直线的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2024河北联考]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中， ,
求作：的外接圆.
作法：如图2.
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于,两点；
（2）作直线,交于点；
（3）以为圆心，为半径作.
即为所求作的圆.
图1 图2
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
6．[2024邯郸、邢台一模]综合实践课上，嘉嘉画出，如图1.利用尺规作图作的平分线．其作图过程如下：
①如图2，在射线上取一点（不与重合），作，且点落在内部；
②如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，作射线，则射线就是的平分线．
图1 图2 图3
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
7．[2024张家口万全一模]在中，.尺规作图要求：
Ⅰ．作边的平行线；
Ⅱ．作线段的垂直平分线；
Ⅲ．作顶角的平分线．
下图是按上述要求打乱顺序的尺规作图痕迹，其中配对正确的是（ ）
A．①-Ⅲ，②-Ⅱ，③-Ⅰ B．①-Ⅰ，②-Ⅲ，③-Ⅱ
C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ D．①-Ⅲ，②-Ⅰ，③-Ⅱ
提升练
8．[2024石家庄新华一模]如图1，已知，画一个，使得.在已有 的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
图1 图2 图3
A．嘉嘉第一步作图中，是以为圆心，线段的长为半径画弧
B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C．琪琪第二步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧
D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
9．[2024沧州模拟]已知是上一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是 （ ）
甲：如图1，①连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接并延长；②在上截取，连接，直线即为所求． 图1 乙：如图2，①作射线OP；②在直线外取一点，以点为圆心，长为半径作，与射线交于另一点；③连接并延长与交于点，连接，直线即为所求． 图2
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
10．[2024沧州一模]如图，已知矩形.
（1） 用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点、分别在、边上（不写作法，保留作图痕迹），并给出证明;
（2） 若，，求菱形的周长．
第七模块检测卷
一、选择题
1．[2023沧州三模]一个正方体的表面展开图如图所示，所有相对面的数字之和相等，则的值是 （ ）
A．5 B．1 C．3 D．
2．[2024河北模拟改编]若从①②③④中选择某个方向为正方向，得到图1中的几何体的三视图如图2所示，则选择的正方向是（ ）
图1 图2
A．方向① B．方向② C．方向③ D．方向④
3．[2024沧州任丘一模]由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．[2023唐山模拟]我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄新华二模]如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分的面积为9．若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．[2023邯郸武安一模]如图，中， ， ，，，动点在边上（不与、重合），点关于所在直线，所在直线的对称点分别为点，，连接，分别交，于点，.
甲：我发现线段的最大值为2，最小值为；
乙：我连接，，发现一定为钝角三角形.
下列判断正确的是（ ）
A．甲对、乙对 B．甲对、乙错
C．甲错、乙对 D．甲错、乙错
7．[2022石家庄一模]如图1所示，一块木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2的正方形组成，甲、乙两人打算采用剪拼的办法，把余料拼成一个与它等面积的正方形木板.
图1
甲：如图2，沿虚线剪开可以拼接成所需的正方形，并求得.
图2
乙：如图3，沿虚线剪开可以拼接成所需的正方形，并求得.
图3
下列说法正确的是（ ）
A．甲的分割方式不正确
B．甲的分割方式正确，的值求解不正确
C．乙的分割方式与所求的值都正确
D．乙的分割方式正确，的值求解不正确
8．[2023保定一模]如图，在菱形中，， ，为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以的速度向点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：.正确的是（ ）
A．只有甲答案正确 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
二、填空题
9．[2024秦皇岛青龙摸底]如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成灰色，使被涂色的4个小方格组成的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个．
10．[2022石家庄质检]小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为 ，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为______________.
11．[2024石家庄裕华一模]如图，在中， ，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长为________．
三、解答题
12．[2024陕西]如图，已知直线和外一点.请用尺规作图法，求作一个等腰直角,使得顶点和顶点都在直线上.（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）
13．[2023秦皇岛二模]如图，在中，，，是边上的点，连接、，将沿直线折叠，点与点对应，连接，若，
（1） 求证：；
（2） 求证：平分；
（3） 若 ，，，求的长.
14．[2023石家庄一模]如图，在中，， ，为线段上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，作射线.
（1） 求证：，并求的度数.
（2） 若为的中点，连接，连接并延长，交射线于点.当，时，
① 求的长；
② 直接写出的长.
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