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2025河北版数学中考专题
第三模块 函数
第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2024石家庄新乐模拟]点到轴的距离是（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
2．[2024石家庄平山摸底]实数的取值范围如图所示，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
3．[2024石家庄桥西质检]某种正方形合金板材的成本（元）与它的边长（厘米）成正比.当时，,则当成本为18元时，边长为（ ）
A. 6厘米 B. 4厘米 C. 3厘米 D. 厘米
【答案】C
4．[2024张家口联考]如图，轴，点，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．［2024九地市摸底］小刚向空壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面示意图，则小刚使用的水壶是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．跨学科·物理[2023石家庄二模]
如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计的读数、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
图1 图2 图3
A. 图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B. 图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C. 图2表示水面高度和时间的函数图象
D. 图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
【答案】A
7．[2024邢台摸底]如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廓（如图中箭头方向所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
提升练
8．[2024廊坊广阳一模]如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点,则的值是________.
【答案】
【解析】过点作轴于，过点作轴于，
由光的反射知，，又,，
,即.
，,
，,
,,
.
9．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接,.若 , ,则我们把叫做点的“角坐标”.
（1） 若点的坐标为,则点的“角坐标”为____________________；
（2） 若点到轴的距离为1，则的最小值为__.
【答案】（1）
（2） 90
【解析】
（2）若取得最小值,则取得最小值,根据三角形内角和定理可得需取得最大值.如图,当以中点为圆心,1为半径的圆与直线相切于点时,最大,且 .的最小值为90.
10．[2023石家庄一模]小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回.已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系的图象如图所示.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 请在图中画出小明的妈妈距离家的路程与小明离开家的时间之间函数关系的图象；（备注：请对画出的图象用数据做适当的标注）
（3） 直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校时的值.
【解析】
（1） 由题图可知，，设.将代入，得，解得..
（2） 如图，折线即为所求.
（3） 的值为17.5或22.5.提示：易知家与学校的距离为，小明妈妈到达学校所用时间为， 小明妈妈的速度为. 小明妈妈在追赶小明的过程中，距学校时,，小明妈妈在返回家的过程中，距学校时,.综上，的值为17.5或22.5.
11．[2023唐山迁安二模]如图，嘉琪组装了一套遥控车，并在长度为的跑道上测试它在不同速度下的运行情况.从点出发，先以的速度行进了，接着以的速度行进到终点.为记录全程，安装了拍摄设备，拍摄设备在与起点相距处的点.设遥控车的运动时间为，遥控车与拍摄点的距离为.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 求遥控车距离拍摄点时的运动时间；
（3） 当遥控车从点出发时，一个机器人从拍摄点出发，以的速度向点行进，并在与点相距内（不与点重合）被遥控车追上，直接写出的取值范围.
【解析】
（1） 当时，，当时，.
（2） 将代入，得，解得，将代入，得，解得， 遥控车距离拍摄点时的运动时间为或.
（3） 的取值范围为.提示：假设追上时机器人在点，则，解得，，解得；假设追上时机器人与点相距，则，解得，，解得，的取值范围为.
微专题2 函数图象的分析与判断
1．[2024石家庄正定模拟]如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为,（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则,随时间变化的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．[2024石家庄长安质检]刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家.下图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．[2024保定高碑店摸底]如图，过三角形纸片的一组邻边上的两点（不包括顶点）剪去一角，得到一个四边形，设剪去的这个角为 ,图中的 ，则与的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．[2024张家口联考]如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点（不与点重合），，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5．一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点,长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
6．[2024邯郸模拟]如图，在中， ，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点时，两点均停止运动，则的面积随出发时间变化的函数关系图象大致是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
7．[2023石家庄晋州质检]如图1，正方形中，点是边的中点，动点从点出发，在正方形的边上沿的路线匀速运动到点停止，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化关系的图象，根据图中的数据，可知点的坐标为（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题图2可得.当点到点时，点的运动路程,，由勾股定理可得,则，所以点的坐标为，故选C.
8．[2024邯郸广平模拟]如图，点在线段上运动，分别以和为边作等边和等边,连接,为线段的中点；,为线段上两点，且满足,当点从点运动到点时，设点到直线的距离为,点的运动时间为,则与之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】过点,,分别向作垂线，垂足分别为,,,
由,是等边三角形可知,.
的中点为,到直线的距离为定值，故选D.
9．[2024石家庄新华质检]如图是一种轨道示意图，其中,,,分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和.若移动时间为,两个机器人之间的距离为，则与之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设正方形的边长为1，两个机器人的速度均为1，将两个机器人看作点和．
当点在边上，点在边上时，．
作于点，可得矩形和矩形，
， ．
，．
两个机器人之间的距离为，
．
函数图象的前半部分为开口向上的抛物线，排除选项C和D.
当机器人未出发时，；当机器人分别到达点D和点B时，.
结合可知B选项正确，故选B.
10．[2024石家庄十八县一模]如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则与之间函数关系的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，点在上，点在上，
则，.
当时，点在上，点在上，作于点，
则，，
．
当时，点在上，点在上，
则，，，
．综上，选项A中的图象符合题意.故选A.
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．[2024石家庄模拟]在如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式所对应的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．[2024廊坊广阳一模]一次函数满足下列两个条件：随的增大而减小；②当时，.符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024石家庄裕华质检]如图，直线与的交点横坐标为，则关于的连续不等式的整数解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．［原创］如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 直线过坐标为的点
C. 若点,在直线上，则
D.
【答案】D
5．[2023邯郸模拟]如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2024唐山摸底]如图，直线与两坐标轴交于，两点，点是线段上一动点（不与，重合）．过点作轴于点，轴于点.小明认为矩形的周长不变且始终为6；小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距离为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ）
A. 小明与小红都是正确的 B. 小明与小红都是错误的
C. 小明是正确的，小红是错误的 D. 小明是错误的，小红是正确的
【答案】A
【解析】设点的坐标为，,，
矩形的周长为，故小明判断正确；
,，为等腰直角三角形.当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，
即，，故小红判断正确.故选A.
7．[2024石家庄开学考改编]如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
（1） 直线的解析式为____________；
（2） 直线被直线和轴所截线段的长度为________．
【答案】（1）
（2）
提升练
8．[2023石家庄质检]已知直线如图所示，则关于的方程的根是 （ ）
A. 1，5 B. 2，3 C. 1， D. 1，
【答案】D
9．[2024廊坊摸底]如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、.
（1） 若点在一次函数的图象上，则________；
（2） 若，则点的坐标为____________；
（3） 一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为______________________________．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
（3）将代入，得，，.当 时，点的横坐标为，即.当 时，将代入，得，解得，，，，，过点作于点，
， 点的横坐标为，.故点的坐标为或.
10．[2024沧州模拟]在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和,与过点且平行于轴的直线交于点.
（1） 求该函数的表达式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且小于4，请直接写出的值.
【解析】
（1） 该函数的表达式为.点的坐标为.
（2） .提示：在中,当时,.如图,当直线过点时满足题意.将点代入,得，解得.
11．[2023唐山一模]如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，直线与轴交于点.
（1） 求直线的函数表达式.
（2） 若直线过点.
① 求的值；
② 若点在内部，求的取值范围.
（3） 直线与直线、直线分别交于点、，当线段的长不大于4时，求的取值范围.
【解析】
（1） 直线的函数表达式为.
（2） ① 直线经过点，,. 直线.当时，,解得,..
② 由题意知点在直线上.联立得解得联立得解得 点在的内部，.
（3） 当点在点的上方，时， 点在直线上，，又，. 点在直线上，,.当点在点的下方，时，可得 点在直线上，,.则当线段的长不大于4时，且.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．[2024邯郸广平模拟]如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用（单位：元）与购买量（单位：千克）之间的函数图象.由图象可知，商品购买单价最低的是商店（ ）
A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. ④号
【答案】D
2．[2024衡水模拟]在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点为，，则直线的函数表达式为________________．
【答案】
【解析】过点作轴于点，
易证，
，，.
由待定系数法求得直线的函数表达式为．
3．[2024石家庄一模]图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程（千米）之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从地出发到,两地送货的路线示意图．
图1 图2
（1） 当时，求关于的函数表达式.
（2） ① 若小明选择甲品牌共享电单车到地送货，求所需车费.
② 若小明到地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？
【解析】
（1） .
（2） ① 当时，, 车费为元.
② 小明到地的路程为6千米,由题图可得，选择甲品牌共享电单车更省车费，此时.易知， 当时，.（元）. 选择甲品牌共享电单车比选择乙品牌共享电单车节省元．
4．[2024邢台一模]生产甲、乙两种产品需要,两种化工原料，具体数据如下：
种化工原料 种化工原料
1件甲产品 300 150
1件乙产品 100 200
现生产甲种产品件，乙种产品件，恰好用完种原料和若干种原料.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 已知生产的甲、乙两种产品均能售完，设每件甲产品的利润为元（为整数），每件乙产品的利润为20元，若种原料不超过,销售总利润为4 050元且为整数，求的值.
【解析】
（1） 根据题意得，,则.
（2） 由题意得，,,.又,,为整数，,.
5．[2024廊坊广阳一模]“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置.他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为,开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，发现水面高度与流水时间（为正整数）之间满足一次函数关系.
流水时间 0 10 20 30 40 …
水面高度 30 28 26 24 22 …
（1） 求水面高度与流水时间之间的函数关系式.
（2） 按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？
（3） 按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
【解析】
（1） 水面高度与流水时间之间的函数关系式为.
（2） 当时，, 流水时间为1小时时，水面高度为18厘米.
（3） 当时，得,,即经过,甲容器内的水恰好流完.
提升练
6．[2024唐山一模]如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为,.点是的中点，点与点关于轴对称，直线的解析式为.
（1） 若直线经过点，求直线的解析式；
（2） 在（1）的条件下，若将直线向左平移个单位长度，且平移后的直线经过点,求的值；
（3） 直线经过点,且与线段有交点（包含点,），请直接写出的取值范围.
【解析】
（1） 点与点关于轴对称,, 直线经过点,,. 直线的解析式为.
（2） ,, 线段的中点为,由题可知平移后的直线的解析式为，将代入，得,解得.
（3） .提示：当直线经过点,点时，可得；当直线经过点，点时，可得.的取值范围是.
7．[2024秦皇岛海港一模]如图是8个台阶的示意图（各拐角均为）,每个台阶的宽、高分别为2和为第一个台阶面，为第二个台阶面， 以此类推，为第八个台阶面.
（1） 求直线的解析式，并判断点是否在直线上；
（2） 点、、、、、______（填“在”或“不在”）直线上，点、、、、、、、在直线______上（填解析式）；
（3） 嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：的一部分,若通过转动激光笔使光线照到所有台阶，求的取值范围；
（4） 蚂蚁（设为点）从出发，沿 ,爬到点,爬行的平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为秒，当点在第个台阶面上时，直接用含,的式子表示点的横坐标，并用含的式子表示出的取值范围.
【解析】
（1） 直线的解析式为.当时，, 点在直线上.
（2） 在；.
（3） 把代入得；把代入,得..
（4） .的取值范围是.
详解：当点在第一个台阶面上时，；当点在第二个台阶面上时，；当点在第三个台阶面上时，， 以此类推，当点在第个台阶面上时，.从爬行到的路程为,从爬行到的路程为， 速度为每秒2个单位，.
8．[2024邯郸武安二模]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道,长度为的金属滑块在上面往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为,右端离点的距离为,记,与具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数;滑块从点出发到最后返回点,整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值______;（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若,求的值.
【解析】
（1） 由负到正.
（2） 设轨道的长为,当滑块从左向右滑动时，,,是的一次函数， 当和时，与之对应的的两个值互为相反数, 当时，,,, 滑块从点到点所用的时间为.由题意得滑块从返回到所用的时间为 滑块返回的速度为, 当时，,,, 滑块从点到点的过程中，与的函数表达式为.
（3） 当时，有两种情况：①当时，,;②当时，,.综上所述，的值为6或18.
第4讲 反比例函数
基础练
1．[2024石家庄桥西质检]若,互为倒数，则反比例函数的图象所在的象限为（ ）
A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、三象限 D. 二、四象限
【答案】B
2．[2024张家口一模]在如图所示的网格中，若以点为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】C
3．[2024邢台摸底]在直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点,若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
4．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点,点在轴上，若的面积为2，则的值为（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
5．[2024石家庄十八县一模]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是
C. 当时， D. 当 时，
【答案】C
6．[2022衡水模拟]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，点在轴上，连接，若的面积为10，则的值为（ ）
A. B. C. 12 D. 15
【答案】A
7．[2024九地市摸底]如图，的延长线垂直于轴，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数和的图象之间，写出一个符合条件的点的坐标：____________________________.
【答案】（答案不唯一）
8．[2024廊坊安次一模]如图，已知点,,函数的图象经过点,与交于点.
（1） ______；
（2） 若为的中点，则______.
【答案】（1） 4
（2） 3
9．[2024石家庄十八县摸底]如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点,连接,.
（1） 求一次函数与反比例函数的表达式；
（2） 求的面积；
（3） 利用图象，直接写出关于的不等式的解集.
【解析】
（1） 一次函数表达式为.反比例函数表达式为.
（2） 设一次函数图象与轴交于点，则..
（3） 或.
提升练
10．[2024石家庄长安质检]如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数的点），则的取值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
11．[2024石家庄平山摸底]下图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫做拐点，记作，函数的图象为曲线.当曲线经过的拐点最多时，的值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】由题意可知，，，，，，，当时，经过2个拐点、;当时，经过3个拐点、、;当时，经过2个拐点、.故选B.
12．[2024张家口一模]如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标.
（1） 当点的坐标为时，求的值；
（2） 若，求点的坐标；
（3） 连接，记的面积为，若，求的取值范围.
【解析】
（1） 直线的解析式为.则点的坐标为， 双曲线过点，.
（2） 设点的坐标为，，，解得或. 点的纵坐标大于点的纵坐标，， 点的坐标为.
（3） 设点的横坐标为，由可得，解得， 点在第二象限，.将，分别代入中，解得，，，，.
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1
基础练
1．[2024邯郸模拟]抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024沧州一模]若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024沧州一模]将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．[2023浙江宁波]已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 点在该函数的图象上
B. 当且时，
C. 该函数的图象与轴一定有交点
D. 当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
5．[2023唐山模拟]一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2023承德一模]如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，则下列结论：;②当时，随的增大而增大；③方程有两个不相等的实数根；.其中正确的个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由题图知,，，，，故①不正确；
易知抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，故②不正确；
由题图知抛物线与直线有2个交点， 方程有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，取得最小值，为，，即，故④正确.
7．[2024沧州一模]设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1） 写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2） 已知关于的二次函数和，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
【解析】
（1） 二次函数的图象的顶点坐标为， 二次函数的一个“同倍项二次函数”的解析式为.（答案不唯一）
（2） ，其图象的顶点坐标为，，对应图象的顶点坐标为，是的“同倍项二次函数”，，解得．
提升练
8．[2024石家庄平山摸底]在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点,都是“龙点”.如图，抛物线（为常数）与轴交于点,.
（1） 写出抛物线的对称轴，并求当抛物线与轴的交点恰为“龙点”时，的值.
（2） 我们发现，若用来表示“龙点”，则无论怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 当抛物线上有两个不同的“龙点”时，求的取值范围.
【解析】
（1） 抛物线的对称轴为直线.抛物线与轴交点的坐标为，由题意得,解得.
（2） ① 直线的解析式为.
② 令,整理得. 抛物线上有两个不同的“龙点”，,解得.
9．[2024邯郸武安二模]在直角坐标系中，设函数,是常数，.
（1） 若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
（2） 已知,当,,是实数，时，该函数对应的函数值分别为,，若,求证：.
【解析】
（1） 函数表达式为.
（2） 证明：由题意，得，,,由条件,知，.
10．[2024唐山摸底]如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为．
（1） 请求出的解析式及对称轴．
（2） 当点在上时，求的值．
（3） 过点作轴的垂线，分别与轴、抛物线交于点，．若，，三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
【解析】
（1） 抛物线的解析式为，其对称轴为直线.
（2） 点在抛物线上，，解得，，的值为或4.
（3） 的值为2或5或8.详解：由题意知，，，，,三点不重合， 点不在轴上且不在上，由（2）及题意可知且且.当点，关于点对称，即点为线段的中点时，，解得或（舍）.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，，解得（舍）或.当点，关于点对称，即点为线段的中点时，，解得（舍）或.综上所述，的值为2或5或8．
课时2
基础练
1．[2024张家口一模]下图为函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】C
2．[2024石家庄摸底]以下是四位同学以接力的方式将二次函数化为顶点式的过程，每位同学只能看到上一步的结果并负责接下来的一步，其中出错的步骤有（ ）
解：
.④
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
【答案】B
3．[2024石家庄十八县摸底]对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 与轴的交点为
【答案】C
4．[2023石家庄摸底]二次函数的部分图象如图所示，由图象可知不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 且 D. 或
【答案】D
5．[2024保定竞秀开学考]二次函数，，为常数，且中，与的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 …
… 0 1 0 …
以下结论：
①该二次函数图象开口向上；②当时，该二次函数取最大值1；③当时，；④若点，在该二次函数图象上，则；⑤方程没有实数根.
其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②⑤ C. ②③⑤ D. ②③④⑤
【答案】C
6．[2024廊坊期末]若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
7．[2023保定摸底改编]如图，抛物线经过，两点，与轴交于点和点.
（1） 抛物线的解析式为____________________；
（2） 将抛物线向右平移，使得点移至点处，则抛物线平移的距离为______.
【答案】（1）
（2） 4
提升练
8．[2024张家口一模]设二次函数（，，是实数），则（ ）
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数的最小值为
D. 当时，函数的最小值为
【答案】A
9．[2024张家口一模]某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
图1 图2
（1） 若输入，，得到如图1所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标.
（2） 已知点，.
① 若输入，的值后，得到如图2所示的图象且图象恰好经过，两点，求出，的值；
② 淇淇输入的值，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的的取值范围.
【解析】
（1） 顶点的坐标为，，.
（2） ① ,.
② 由题意得二次函数.当抛物线的右半部分与线段有交点时，将代入中，得，令，解得；当抛物线的左半部分与线段有交点时，将代入中，得，令，解得，综上，淇淇输入的的取值范围为或.
10．[2024廊坊广阳一模]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为,抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.
备用图
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 当符合什么条件时，图象对应函数的最大值与最小值的差为4？
（3） 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程.
【解析】
（1） 抛物线的解析式为.
（2） 易知,, 抛物线的顶点坐标为.当时，,或.当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为,,解得（舍）或；当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为5，满足题意;当时，图象对应函数的最大值小于9，最小值为5，不满足题意；当时，图象对应函数的最大值为5，最小值为,,解得或（舍）.综上所述，符合的条件为或.
（3） ,， 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得,, 线段的两个三等分点的坐标为,.设平移后的抛物线解析式为,将两个三等分点坐标代入得，解得 平移后的抛物线解析式为,其顶点坐标为.又抛物线的顶点坐标为, 平移前、后抛物线的顶点之间的距离为, 抛物线平移的最短路程为.
课时3
提升练
1．[2024保定竞秀期末]已知，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2．[2024保定清苑期末]如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点,，则以下结论：
①无论取何值，的值总是正数；；③当时，；.
其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①④
【答案】D
3．[2024石家庄新华质检]在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移得到抛物线，点，分别在抛物线，上．有下列说法：
甲：无论取何值，都有；
乙：若点平移后的对应点在抛物线上，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短.下列判断正确的是（ ）
A. 只有丙说法错误 B. 只有乙说法错误
C. 只有甲说法正确 D. 甲、乙、丙说法都正确
【答案】A
【解析】 抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故甲说法正确；
易知抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，
点移动到点的最短路程为，乙说法正确；
， 当时，
PQ的长随着的增大而减小，线段变短，丙说法错误．故选A.
4．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，的值为________；
（2） 若,则满足条件的整数有______个.
【答案】（1）
（2） 2
【解析】
（2） 易知抛物线过原点， 对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为，， 点和在点的两侧，，， 整数有2个.
5．[2024保定竞秀模拟]点在抛物线，均为常数且上，交轴于点，连接．
（1） __________（用含的代数式表示）.
（2） 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，则的取值范围是______________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（2） 由（1）得， 抛物线的顶点纵坐标为．当时，，.经过点和，开口向下， 所求区域内的整点为对称轴上的整点， 当该区域中恰有5个整点时，这5个整点的坐标为,,,,，解得．
6．[2023衡水模拟]如图，抛物线与抛物线相交于点，点的横坐标为1.过点作轴的平行线交抛物线于点，交抛物线于点.抛物线，分别与轴交于点，.
（1） 求抛物线的对称轴和点的横坐标，并求线段的长；
（2） 点在抛物线上，点在抛物线上，则______（填“ ”“ ”或“”）；
（3） 若点的坐标为，求将抛物线平移到抛物线的最短距离.
【解析】
（1） 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为，抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为3，.
（2） .
（3） 将代入，得, 点的坐标为.将代入，得.抛物线，其顶点坐标为，抛物线，其顶点坐标为， 将抛物线平移到抛物线的最短距离为.
7．[2024石家庄新乐模拟]已知二次函数的图象过点,顶点坐标为.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 与轴相交于,两点（点在点左侧），求,两点坐标；
（3） 将向上平移个单位长度，与轴相交于,两点，若点在线段上，求的取值范围.
【解析】
（1） 这个二次函数的表达式为.
（2） ，两点坐标分别为,.
（3） 将向上平移个单位长度，得到新抛物线的表达式为，设点为新抛物线上一点，其横坐标为,则纵坐标为.若点在线段上，则点的纵坐标大于或等于零，即，则，，.
8．[2024邢台一模]在平面直角坐标系中，抛物线,是常数，与轴相交于点.
（1） 若抛物线经过点,,求,的值；
（2） 已知，若时,有最大值9，求的值；
（3） ① 求点坐标；
② 已知,,若抛物线经过点,和且,求的取值范围.
【解析】
（1） ,.
（2） ,,, 抛物线顶点坐标为.当时，抛物线开口向上，, 当时，取最大值，即,解得.当时，抛物线开口向下，当时，取最大值.,解得.综上所述，或.
（3） ① 点坐标为.
② 点,均在抛物线上， 抛物线的对称轴为直线，即. 抛物线经过点,,,,,，，
,,.
第6讲 二次函数的综合应用
提升练
1．[2024保定竞秀一模]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线,点,是上两点，且，将上方的抛物线沿向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图象，当这个新图象与直线恰好只有2个公共点时，求的取值范围.甲说：“.”乙说：“.”丙说：“.”丁说：“.”则（ ）
A. 甲、丁说法合在一起才正确 B. 乙、丙说法合在一起才正确
C. 乙、丁说法合在一起才正确 D. 甲、丙说法合在一起才正确
【答案】C
【解析】当时，如图，显然新图象与直线没有交点，甲说法错误；
当时，如图，新图象与直线有2个交点，乙说法正确；
当时，如图，新图象与直线有4个交点，丙说法错误；
当时，如图，新图象与直线有2个交点，丁说法正确.
综上，乙、丁说法合在一起才正确．
2．[2023秦皇岛一模]如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：
；；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，的值有4个.
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】由题意得抛物线的对称轴为直线，,，
，故①正确；当时，，，，
，故②错误； 二次函数，，
，，当时，，（舍正），当时，，（舍正）， 当是等腰三角形时，的值有2个，故③正确；
二次函数，，
，，，,不可能为斜边，
若 ，则，
，解得或（舍），若 ，则，，解得或（舍），
当是直角三角形时，的值有2个，故④错误，故选B.
3．[2024石家庄十八县期末]二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，， ，在轴的正半轴上，点，，， ，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，， ，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形， ，四边形都是菱形，，则的边长为________，菱形的周长为________．
【答案】；
【解析】由题意易知是等边三角形.
设的边长为，
则,代入抛物线解析式得,解得（舍去）或，的边长为.
同理可求得的边长为，的边长为2， 依此类推，等边的边长为,
菱形的周长为.
4．[2024石家庄新华质检]如图，二次函数的图象经过点和.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 已知为一直角三角形纸片， ,,,直角边落在轴上，将纸片沿轴滑动，当点落在抛物线上时，求点的坐标.
【解析】
（1） 二次函数的表达式为.
（2） 设,则,, 点落在抛物线上,,解得,, 点的坐标为或.
5．[2024保定高碑店一模]如图，直线与坐标轴分别交于点，，抛物线经过点和点，其顶点为，对称轴与轴交于点，点是抛物线上的一点，设点的横坐标为．
备用图
（1） 求抛物线的解析式，并经过计算判断抛物线是否经过点.
（2） 若介于点和之间（包括端点），点与点关于对称轴对称，作轴交于点．
① 当时，求的长；
② 若的长随的增大而增大，求的取值范围．
（3） 若点在第二象限，直接写出点与直线距离的最大值．
【解析】
易知，则可求得抛物线的解析式为.
易知,把代入，
得, 抛物线经过点.
（2） ① 当时，,.抛物线的对称轴为直线,.将代入,得,,.
② ,，，即, .,且的长随的增大而增大，的取值范围是.
（3） .详解：作于点,作轴于点,交于点.在中， ，可知在中， ，.，,，的最大值为（此时,符合题意）.
6．[2024石家庄一模]如图，抛物线与轴分别交于点,（点在点的左侧），与轴交于点.将沿直线向上平移，平移后的抛物线记作,其顶点的横坐标为且，设直线与抛物线分别交于点,（点在点的左侧）．
（1） 求的顶点坐标及,两点之间的距离；
（2） 当点在轴上时，求的函数表达式及线段的长；
（3） 若经过点且与直线平行的直线与线段有公共点，直接写出的最大值．
【解析】
（1） 的顶点坐标是.A,两点坐标分别是和，,两点之间的距离是8．
（2） 由题意知的坐标是.设抛物线的表达式为, 点,纵坐标均为, 当点在轴上时，其坐标为,，解得,.
①当时，抛物线的表达式是，点坐标为，点坐标为，此时；
②当时，抛物线的表达式是,点坐标为，点坐标为，此时．
（3） 12．提示：经过点且与直线平行的直线表达式为．若求直线与线段有公共点时的最大值，只需研究时即可，此时点坐标为,当直线经过点时最大，此时有,解得（舍），.当时，直线与线段不再有公共点， 直线与线段有公共点时，的最大值是12．
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．[2024张家口一模]如图是一款抛物线型落地灯示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几正下方位置到灯柱的距离为（ ）
A. 3.2米 B. 0.32米 C. 2.5米 D. 1.6米
【答案】A
2．[2024石家庄十八县一模]用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成半圆形、矩形、等腰三角形（底边靠墙）三种方案（如图），最佳方案是（ ）
A. 方案一 B. 方案二
C. 方案三 D. 三种方案都一样
【答案】A
3．[2024石家庄平山摸底]一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线,都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为,杯口直径为，且.以杯底的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
图1 图2
（1） 轮廓线,所在的抛物线的解析式为______；
（2） 将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面.如图2，当倾斜角 时，水面宽度______.
【答案】（1）
（2） 14
【解析】
（2）如图，设、分别与轴交于点、,易知 ,
在中，,,由水杯高度为可知,,易得直线的解析式为,令,解得,,将代入,得,,.
4．[2024邯郸模拟]如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题：
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由．
【解析】
（1） 抛物线的解析式为.
（2） 不能.理由如下：将代入，得，将代入，得，.， 小球不能飞过这个障碍物．
5．[2024张家口宣化一模]某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数（利润售价-制造成本）
（1） 写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数表达式.（不用写自变量的取值范围）
（2） 当销售单价为多少时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】
（1） .
（2）由,得,解得,.故当销售单价为25元或43元时,厂商每月能获得350万元的利润.,, 当销售单价为34元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是512万元.
6．[2024邯郸广平模拟]如图，小球从斜坡顶端处由静止开始向下滚动，速度每秒增加,经过到达斜坡底端处，继续沿平地向前滚动，并且均匀减速.设小球减速后的速度为（单位：）,平地上的滚动时间为（单位：）,在随变化的部分数据如下表.
滚动时间 1 2 3 4
滚动速度 9.5 9 8.5 8
（1） 已知速度与滚动时间之间成一次函数关系，求关于的函数解析式；
（2） 求小球在平地上滚动的最远距离.
（提示：本题中平地上滚动的距离平均速度×时间,平均速度,其中是在平地上开始时的速度，是在平地上滚动秒时的速度）
【解析】
（1） .
（2） 设小球在平地上滚动的距离为,，则,,故时，有最大值，为100.即小球在平地上滚动的最远距离为.
提升练
7．[2024石家庄桥西质检]图1是矩形电子屏中某光点的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据:
水平距离 0 1 2 4
竖直高度 2 3 3 0
图1 图2
（1） 观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标;
（2） 求满足条件的抛物线解析式;
（3） 如图2，电子屏的长为6，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光.如果只改变光点的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板，又能击中边缘时，请计算的取值范围.
【解析】
（1） .
（2） 解析式为.
（3） 当光点恰好经过点时，设抛物线解析式为，代入,解得,此时解析式为，当时，,则；当光点恰好经过边缘点时，设抛物线解析式为,代入，解得,此时解析式为，当时，，则.的取值范围为.
8．[2024保定莲池一模]某厂的一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）.该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额（万元）每件产品的预售额（元） 年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如下表所示，生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元.（年毛利润总销售额-生产费用）
年销售量（万件） … 20 40 …
总销售额（万元） … 560 1 040 …
（1） 求与以及与之间的函数解析式；
（2） 若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元，求该产品年销售量的变化范围；
（3） 受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额需下调多少元.
【解析】
（1） 由题图得.设预售总额为万元，每件产品的预售额为元，则，设波动总额为万元， 波动总额与年销售量的平方成正比， 设，，把，代入，得解得.
（2） 毛利润，令，则，解得，，， 要使该产品的年毛利润不低于1 000万元，该产品年销售量的变化范围是.
（3） 设每件产品的预售额下调元，则，，年的最高毛利润为720万元，，解得（舍去），，答：每件产品的预售额下调6元．
9．[2024唐山一模]如图，灌溉车为观光绿化带浇水.图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口离地竖直高度为.可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形,其中,.下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口,喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）.
图1 图2
（1） 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程;
（2） 通过计算求点的坐标；
（3） 绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围.
【解析】
（1） 由题意可知上边缘抛物线的函数解析式为.令，解得或. 点在轴的正半轴上，，即喷出水的最大射程为.
（2） 点关于直线的对称点为， 下边缘抛物线可看作是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到的.,.
（3） .详解：令，解得.， 当时，灌溉车行驶时能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人.由，知当时，人行道边缘恰为点，故的取值范围为.
微专题3 二次函数中的最值问题
1．若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则二次函数与一次函数的“和谐值”为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
2．已知二次函数的表达式为,当时，函数有最大值,则的最小值是________.
【答案】
【解析】由二次函数的表达式可知函数图象开口向下，
对称轴为直线.当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即.
综上所述，的最小值为.
3．[2023唐山一模改编]某水果店包装一个果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果的单价少3元，用600元购进种水果和用900元购进种水果的质量一样，包装一个果篮需要种水果4千克和种水果2千克，每个果篮还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是（元）（是整数），该果篮每月的销量（个）与售价（元）的关系式为.
（1） 求一个果篮的成本（成本进价包装费）；
（2） 若每月的利润是（元），求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3） 若每个果篮的售价不超过元（是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润.
【解析】
设种水果的单价为元，则种水果的单价为元.依题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 一个果篮的成本为（元）.
答：一个果篮的成本为50元.
（2） 依题意得.
（3） 当且为整数时，每月的最大利润为 9 000元，当且为整数时，每月的最大利润为元.
4．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒.
（1） 设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式.
（2） 当每盒售价定为多少元时，可使当天获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
（3） 现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠元给村经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门定价的前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求的取值范围.
【解析】
（1） 根据题意得.
（2） ., 当时，取最大值，最大值为16 000.答：当每盒售价定为70元时，可使当天获得最大销售利润，最大销售利润是16 000元.
（3） 设每天捐赠后的利润为元，则
, 函数图象的对称轴为直线
.,每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，,解得.,, 当时，恒成立.的取值范围是.
[2024石家庄桥西摸底]如图1，抛物线与轴交于点
，,与轴交于点.
图1
（1） 求抛物线的函数表达式．
（2） 如图2，当点从点向点匀速运动时，过点作交抛物线于点，交直线于点，连接,．求的最大值．
图2
【解析】
（1） 抛物线的函数表达式为.
（2） 直线的表达式为，设，则,， 当时，的长取最大值，为，，的最大值为.
6．如图1，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点.
图1
（1） 求直线的函数表达式及点的坐标.
（2） 点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
① 当时，求的值；
② 如图2，当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出的最大值．
图2
【解析】
（1） 直线的函数表达式为．点的坐标为.
（2） ① 由题意可知点,的坐标分别为,，,, 点的坐标为，．则．当点在直线上方时，．，，解得,．当点在直线下方时，．，，解得，，．综上，的值为2或3或.
② 由①得，,,轴于点，交于点，点的坐标为，．在直线上方，．轴于，,．,,,易知四边形为矩形，，
即，， 当时，取得最大值，最大值为．
微专题4 函数图象中的公共点问题
1．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于原点对称的图象为，若直线（为常数）与、的交点有3个，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
2．[2023唐山丰南一模]课堂上，老师给出一道题目：“如图，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后得到的图形与抛物线在轴上方的部分记为,已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围.”甲同学的结果是,乙同学的结果是.下列说法正确的是（ ）
A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确
C. 甲、乙结果合在一起才正确 D. 甲、乙结果合在一起也不正确
【答案】C
【解析】令，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，.将，分别代入直线，得或，
.
， 顶点坐标为， 图象C关于轴对称的抛物线的顶点为，则其解析式为.
联立得
化简得，
由,解得.
综上，或，故选C.
3．[2024邯郸武安二模]对于二次函数,定义函数是它的相关函数.若直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】D
【解析】由题意得二次函数的相关函数为
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大;二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大.
直线与轴的交点为.
直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点可分为以下两种情况：
①直线分别与函数，的图象相交于一点，则有，解得；
②直线与函数的图象有两个交点，与函数的图象没有交点，则，
令，即有两个不相等的实数根，
，
解得，.
综上所述，或，
的值可能是2，故选D.
4．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是____________________________.
【答案】或
【解析】当抛物线经过点时，,.当抛物线经过点时，,,
故当时，抛物线与线段只有一个公共点.
当抛物线顶点在线段上时，关于的方程,即有两个相等的实数根，,或（舍）.
综上，的取值范围是或.
5．[2024邯郸模拟]在平面直角坐标系中，已知点，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点.
（1） 点的坐标为____________；
（2） 若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是________________________．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
,
抛物线的顶点坐标为,由题意可知，抛物线恒过点,，①当时，如图1，此时需满足；
图1
②当时，如图2，此时需满足.
图2
综上所述，的取值范围是或．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点（点在点的右侧），顶点为点.
（1） 求的长；
（2） 反比例函数的图象记作.
① 若点落在轴上，抛物线与图象的交点在第三象限，点的横坐标为,且，求的取值范围.
② 已知图象经过点,点,若抛物线与线段有唯一的公共点（包括线段的端点），求的取值范围.
【解析】
（1）令,则,,,
.
（2）① 点落在轴上，,,联立得
即,点的横坐标为，,即,
当时，,当时，,.
② 图象经过点,，,解得,
,,
当抛物线经过时，或,
当抛物线经过时，或,如图1，
当时，抛物线与线段有唯一公共点.如图2，
当时，抛物线与线段有唯一公共点.
图1 图2
综上所述，或时，抛物线与线段有唯一的公共点.
第三模块检测卷
一、选择题
1．[2023廊坊一模]如图，直线，在某平面直角坐标系中，轴//，轴//，点的坐标为，点的坐标为，则坐标原点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．[2022邯郸一模]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】B
3．[2024秦皇岛海港一模]如图，,以为原点，向右为正方向，为1个单位长度建立数轴.若点表示数,则与的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4．[2024唐山模拟]下列结论：①若，在直线上，且，则；②若直线经过第一、二、三象限，则，；③若一次函数的图象交轴于点，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
5．[2024秦皇岛海港一模]如图1，锐角中，为边上一点（不与、重合），连接.在、、三个角中，某两个角之间的关系图象如图2.下列说法：①纵轴表示的度数,横轴表示的度数; ； .其中说法正确的是（ ）
图1 图2
A. ①③ B. ③ C. ②③ D. ①②③
【答案】C
【解析】因为点D为动点，所以三个角的度数都是变化的.观察图象， 显然是一个定角的度数.根据，可判断 ，②正确.横轴表示的度数，纵轴表示的度数，①错误.当点D逐渐接近点C时，接近 ，所以 ，③正确.故选C.
6．[2022九地市一模]函数的自变量的取值范围为全体实数，当时，图象如图所示，对于此函数，嘉嘉、琪琪和小亮的说法如下：
嘉嘉：函数图象关于轴对称，函数既有最大值，也有最小值.
琪琪：当时，随的增大而减小.
小亮：当时，关于的方程有4个实数根.
下列判断正确的是（ ）
A. 嘉嘉和琪琪说的对 B. 嘉嘉和小亮说的对
C. 琪琪和小亮说的对 D. 嘉嘉、琪琪和小亮说的都对
【答案】C
【解析】如图，
由图知，函数图象关于轴对称，函数没有最大值，有最小值，嘉嘉的说法错误；当时，随的增大而减小，琪琪的说法正确；当时，关于的方程有4个实数根，小亮的说法正确.故选C.
7．[2024邢台信都摸底]如图，二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为3和，其图象与轴围成封闭图形，图形内部（不包含边界）恰有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），系数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得二次函数解析式为，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，与轴的交点坐标为，
如图所示， 图形内部（不包含边界）恰有4个整点，
解得，
选项符合题意，故选B.
二、填空题
8．[2024石家庄裕华质检]验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则眼镜的度数减少了____度.
【答案】200
9．[2024邢台一模改编]规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点,直线与轴相交于点，与双曲线相交于点，线段,及,两点之间的曲线所围成的区城记作.
（1） ______；
（2） 若区域（不包括边界）内的整点的个数为3，则的取值范围是____________________________.
【答案】（1） 6
（2） 或
【解析】
（2）易知，直线的表达式为.当时，直线与双曲线无交点，不符合题意.显然、、在上，
均不在区域内.当直线经过点时，；当直线经过点时，.故当时，内必有整点，，.当直线经过点时，；当直线经过点时，.故当时，内必有整点，，.
综上，的取值范围是或.
三、解答题
10．[2023承德一模]某位同学设计的动画如图所示，随着音乐节奏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上.
（1） 若，且抛物线顶点的纵坐标为3，求、的值；
（2） 试推断与的数量关系；
（3） 把横、纵坐标都是整数的点称为整点.当抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色，那么当时，这组抛物线中有几条会改变颜色？
【解析】
（1） 当时，抛物线的顶点在直线上， 顶点的纵坐标为3，，代入得, 抛物线的顶点为，即，,解得,.
（2） 抛物线的顶点坐标为且顶点始终在直线上,，.
（3） 由（2）可知，当时，，此时抛物线为，顶点坐标为，，且顶点为整点，可取、、、，即这组抛物线中有4条会改变颜色.
11．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，记函数的图象为,直线经过点,与图象交于,两点.
（1） 求的值，并在图中画出直线.
（2） 当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点.
① 求点的坐标；
② 连接，若,求的取值范围.
（3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象与直线所围成的封闭区域（含边界）为.当区域的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数的个数.
【解析】
.直线如图所示.
（2） ① 将代入中，解得.令,解得,.当时，,即点的坐标为.
② 当点在上时，.结合图象，可知当时，的取值范围为.
（3） 满足条件的整数有3个.提示：当时，区域的边界上有,,,,共4个整点.当时，区域的边界上有,，,,，共5个整点.同理，当或时,区域的边界上也有5个整点.
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2025河北版数学中考专题
第三模块 函数
第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2024石家庄新乐模拟]点到轴的距离是（ ）
A．2 B． C． D．4
2．[2024石家庄平山摸底]实数的取值范围如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．[2024石家庄桥西质检]某种正方形合金板材的成本（元）与它的边长（厘米）成正比.当时，,则当成本为18元时，边长为（ ）
A．6厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．厘米
4．[2024张家口联考]如图，轴，点，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．［2024九地市摸底］小刚向空壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面示意图，则小刚使用的水壶是（ ）
A． B．
C． D．
6．跨学科·物理[2023石家庄二模]
如图1，挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：铁块受到的浮力、弹簧测力计的读数、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中两个量与时间之间的关系大致可以用图2、图3中的图象来描述，那么对图2、图3的解读正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象
B．图2表示容器底部受到的液体压强和时间的函数图象
C．图2表示水面高度和时间的函数图象
D．图3表示铁块受到的浮力和时间的函数图象
7．[2024邢台摸底]如图，小亮在运动场上晨练，一段时间内沿着一扇形的轮廓（如图中箭头方向所示）匀速小跑，能近似刻画小亮离出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
提升练
8．[2024廊坊广阳一模]如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点,则的值是________.
9．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接,.若 , ,则我们把叫做点的“角坐标”.
（1） 若点的坐标为,则点的“角坐标”为____________________；
（2） 若点到轴的距离为1，则的最小值为__.
10．[2023石家庄一模]小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回.已知小明距离家的路程与离开家的时间之间的函数关系的图象如图所示.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 请在图中画出小明的妈妈距离家的路程与小明离开家的时间之间函数关系的图象；（备注：请对画出的图象用数据做适当的标注）
（3） 直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校时的值.
11．[2023唐山迁安二模]如图，嘉琪组装了一套遥控车，并在长度为的跑道上测试它在不同速度下的运行情况.从点出发，先以的速度行进了，接着以的速度行进到终点.为记录全程，安装了拍摄设备，拍摄设备在与起点相距处的点.设遥控车的运动时间为，遥控车与拍摄点的距离为.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 求遥控车距离拍摄点时的运动时间；
（3） 当遥控车从点出发时，一个机器人从拍摄点出发，以的速度向点行进，并在与点相距内（不与点重合）被遥控车追上，直接写出的取值范围.
微专题2 函数图象的分析与判断
1．[2024石家庄正定模拟]如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为,（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则,随时间变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024石家庄长安质检]刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家.下图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024保定高碑店摸底]如图，过三角形纸片的一组邻边上的两点（不包括顶点）剪去一角，得到一个四边形，设剪去的这个角为 ,图中的 ，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024张家口联考]如图，菱形中，，分别是，的中点，是边上的动点（不与点重合），，交于点，连接，，设，，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点,长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024邯郸模拟]如图，在中， ，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点时，两点均停止运动，则的面积随出发时间变化的函数关系图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
7．[2023石家庄晋州质检]如图1，正方形中，点是边的中点，动点从点出发，在正方形的边上沿的路线匀速运动到点停止，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化关系的图象，根据图中的数据，可知点的坐标为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
8．[2024邯郸广平模拟]如图，点在线段上运动，分别以和为边作等边和等边,连接,为线段的中点；,为线段上两点，且满足,当点从点运动到点时，设点到直线的距离为,点的运动时间为,则与之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2024石家庄新华质检]如图是一种轨道示意图，其中,,,分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和.若移动时间为,两个机器人之间的距离为，则与之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．[2024石家庄十八县一模]如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则与之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．[2024石家庄模拟]在如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式所对应的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024廊坊广阳一模]一次函数满足下列两个条件：随的增大而减小；②当时，.符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024石家庄裕华质检]如图，直线与的交点横坐标为，则关于的连续不等式的整数解为（ ）
A． B． C． D．
4．［原创］如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．直线过坐标为的点
C．若点,在直线上，则
D．
5．[2023邯郸模拟]如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024唐山摸底]如图，直线与两坐标轴交于，两点，点是线段上一动点（不与，重合）．过点作轴于点，轴于点.小明认为矩形的周长不变且始终为6；小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距离为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的
B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的
D．小明是错误的，小红是正确的
7．[2024石家庄开学考改编]如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
（1） 直线的解析式为____________；
（2） 直线被直线和轴所截线段的长度为________．
提升练
8．[2023石家庄质检]已知直线如图所示，则关于的方程的根是 （ ）
A．1，5 B．2，3 C．1， D．1，
9．[2024廊坊摸底]如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、.
（1） 若点在一次函数的图象上，则________；
（2） 若，则点的坐标为____________；
（3） 一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为______________________________．
10．[2024沧州模拟]在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和,与过点且平行于轴的直线交于点.
（1） 求该函数的表达式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且小于4，请直接写出的值.
11．[2023唐山一模]如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，直线与轴交于点.
（1） 求直线的函数表达式.
（2） 若直线过点.
① 求的值；
② 若点在内部，求的取值范围.
（3） 直线与直线、直线分别交于点、，当线段的长不大于4时，求的取值范围.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．[2024邯郸广平模拟]如图，这是琳琳在①~④号商店购买同一种商品的费用（单位：元）与购买量（单位：千克）之间的函数图象.由图象可知，商品购买单价最低的是商店（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．④号
2．[2024衡水模拟]在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点为，，则直线的函数表达式为________________．
3．[2024石家庄一模]图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费（元），（元）与骑行路程（千米）之间的函数关系图象，图2是小明骑共享电单车从地出发到,两地送货的路线示意图．
图1 图2
（1） 当时，求关于的函数表达式.
（2）
① 若小明选择甲品牌共享电单车到地送货，求所需车费.
② 若小明到地送货，选择哪种品牌的共享电单车节省车费？节省多少元？
4．[2024邢台一模]生产甲、乙两种产品需要,两种化工原料，具体数据如下：
种化工原料 种化工原料
1件甲产品 300 150
1件乙产品 100 200
现生产甲种产品件，乙种产品件，恰好用完种原料和若干种原料.
（1） 求与之间的函数关系式；
（2） 已知生产的甲、乙两种产品均能售完，设每件甲产品的利润为元（为整数），每件乙产品的利润为20元，若种原料不超过,销售总利润为4 050元且为整数，求的值.
5．[2024廊坊广阳一模]“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置.他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为,开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，发现水面高度与流水时间（为正整数）之间满足一次函数关系.
流水时间 0 10 20 30 40 …
水面高度 30 28 26 24 22 …
（1） 求水面高度与流水时间之间的函数关系式.
（2） 按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？
（3） 按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？
提升练
6．[2024唐山一模]如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为,.点是的中点，点与点关于轴对称，直线的解析式为.
（1） 若直线经过点，求直线的解析式；
（2） 在（1）的条件下，若将直线向左平移个单位长度，且平移后的直线经过点,求的值；
（3） 直线经过点,且与线段有交点（包含点,），请直接写出的取值范围.
7．[2024秦皇岛海港一模]如图是8个台阶的示意图（各拐角均为）,每个台阶的宽、高分别为2和为第一个台阶面，为第二个台阶面， 以此类推，为第八个台阶面.
（1） 求直线的解析式，并判断点是否在直线上；
（2） 点、、、、、______（填“在”或“不在”）直线上，点、、、、、、、在直线______上（填解析式）；
（3） 嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线可以看成直线：的一部分,若通过转动激光笔使光线照到所有台阶，求的取值范围；
（4） 蚂蚁（设为点）从出发，沿 ,爬到点,爬行的平均速度为每秒2个单位长度，爬行时间为秒，当点在第个台阶面上时，直接用含,的式子表示点的横坐标，并用含的式子表示出的取值范围.
8．[2024邯郸武安二模]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道,长度为的金属滑块在上面往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为,右端离点的距离为,记,与具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数;滑块从点出发到最后返回点,整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值______;（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若,求的值.
第4讲 反比例函数
基础练
1．[2024石家庄桥西质检]若,互为倒数，则反比例函数的图象所在的象限为（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限
C．二、三象限 D．二、四象限
2．[2024张家口一模]在如图所示的网格中，若以点为原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．[2024邢台摸底]在直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点,若双曲线经过线段上一点，则的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点,点在轴上，若的面积为2，则的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
5．[2024石家庄十八县一模]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是
C．当时， D．当 时，
6．[2022衡水模拟]如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，点在轴上，连接，若的面积为10，则的值为（ ）
A． B． C．12 D．15
7．[2024九地市摸底]如图，的延长线垂直于轴，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数和的图象之间，写出一个符合条件的点的坐标：____________________________.
8．[2024廊坊安次一模]如图，已知点,,函数的图象经过点,与交于点.
（1） ______；
（2） 若为的中点，则______.
9．[2024石家庄十八县摸底]如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点,连接,.
（1） 求一次函数与反比例函数的表达式；
（2） 求的面积；
（3） 利用图象，直接写出关于的不等式的解集.
提升练
10．[2024石家庄长安质检]如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数的点），则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．[2024石家庄平山摸底]下图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫做拐点，记作，函数的图象为曲线.当曲线经过的拐点最多时，的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
12．[2024张家口一模]如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标.
（1） 当点的坐标为时，求的值；
（2） 若，求点的坐标；
（3） 连接，记的面积为，若，求的取值范围.
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1
基础练
1．[2024邯郸模拟]抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024沧州一模]若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
3．[2024沧州一模]将抛物线向左平移3个单位，向下平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2023浙江宁波]已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上
B．当且时，
C．该函数的图象与轴一定有交点
D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
5．[2023唐山模拟]一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．[2023承德一模]如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，则下列结论：;②当时，随的增大而增大；③方程有两个不相等的实数根；.其中正确的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．[2024沧州一模]设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1） 写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2） 已知关于的二次函数和，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
提升练
8．[2024石家庄平山摸底]在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点,都是“龙点”.如图，抛物线（为常数）与轴交于点,.
（1） 写出抛物线的对称轴，并求当抛物线与轴的交点恰为“龙点”时，的值.
（2） 我们发现，若用来表示“龙点”，则无论怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 当抛物线上有两个不同的“龙点”时，求的取值范围.
9．[2024邯郸武安二模]在直角坐标系中，设函数,是常数，.
（1） 若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
（2） 已知,当,,是实数，时，该函数对应的函数值分别为,，若,求证：.
10．[2024唐山摸底]如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为．
（1） 请求出的解析式及对称轴．
（2） 当点在上时，求的值．
（3） 过点作轴的垂线，分别与轴、抛物线交于点，．若，，三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
课时2
基础练
1．[2024张家口一模]下图为函数，，，在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是的图象的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．[2024石家庄摸底]以下是四位同学以接力的方式将二次函数化为顶点式的过程，每位同学只能看到上一步的结果并负责接下来的一步，其中出错的步骤有（ ）
解：
.④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．[2024石家庄十八县摸底]对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．与轴的交点为
4．[2023石家庄摸底]二次函数的部分图象如图所示，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
5．[2024保定竞秀开学考]二次函数，，为常数，且中，与的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 …
… 0 1 0 …
以下结论：
①该二次函数图象开口向上；②当时，该二次函数取最大值1；③当时，；④若点，在该二次函数图象上，则；⑤方程没有实数根.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤
6．[2024廊坊期末]若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
7．[2023保定摸底改编]如图，抛物线经过，两点，与轴交于点和点.
（1） 抛物线的解析式为____________________；
（2） 将抛物线向右平移，使得点移至点处，则抛物线平移的距离为______.
提升练
8．[2024张家口一模]设二次函数（，，是实数），则（ ）
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为
D．当时，函数的最小值为
9．[2024张家口一模]某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
图1 图2
（1） 若输入，，得到如图1所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标.
（2） 已知点，.
① 若输入，的值后，得到如图2所示的图象且图象恰好经过，两点，求出，的值；
② 淇淇输入的值，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的的取值范围.
10．[2024廊坊广阳一模]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为,抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.
备用图
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 当符合什么条件时，图象对应函数的最大值与最小值的差为4？
（3） 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程.
课时3
提升练
1．[2024保定竞秀期末]已知，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024保定清苑期末]如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点,，则以下结论：
①无论取何值，的值总是正数；；③当时，；.
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
3．[2024石家庄新华质检]在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移得到抛物线，点，分别在抛物线，上．有下列说法：
甲：无论取何值，都有；
乙：若点平移后的对应点在抛物线上，则点移动到点的最短路程为；
丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短.下列判断正确的是（ ）
A．只有丙说法错误 B．只有乙说法错误
C．只有甲说法正确 D．甲、乙、丙说法都正确
4．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，的值为________；
（2） 若,则满足条件的整数有______个.
5．[2024保定竞秀模拟]点在抛物线，均为常数且上，交轴于点，连接．
（1） __________（用含的代数式表示）.
（2） 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，则的取值范围是______________．
6．[2023衡水模拟]如图，抛物线与抛物线相交于点，点的横坐标为1.过点作轴的平行线交抛物线于点，交抛物线于点.抛物线，分别与轴交于点，.
（1） 求抛物线的对称轴和点的横坐标，并求线段的长；
（2） 点在抛物线上，点在抛物线上，则______（填“ ”“ ”或“”）；
（3） 若点的坐标为，求将抛物线平移到抛物线的最短距离.
7．[2024石家庄新乐模拟]已知二次函数的图象过点,顶点坐标为.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 与轴相交于,两点（点在点左侧），求,两点坐标；
（3） 将向上平移个单位长度，与轴相交于,两点，若点在线段上，求的取值范围.
8．[2024邢台一模]在平面直角坐标系中，抛物线,是常数，与轴相交于点.
（1） 若抛物线经过点,,求,的值；
（2） 已知，若时,有最大值9，求的值；
（3）
① 求点坐标；
② 已知,,若抛物线经过点,和且,求的取值范围.
第6讲 二次函数的综合应用
提升练
1．[2024保定竞秀一模]如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线,点,是上两点，且，将上方的抛物线沿向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图象，当这个新图象与直线恰好只有2个公共点时，求的取值范围.甲说：“.”乙说：“.”丙说：“.”丁说：“.”则（ ）
A．甲、丁说法合在一起才正确 B．乙、丙说法合在一起才正确
C．乙、丁说法合在一起才正确 D．甲、丙说法合在一起才正确
2．[2023秦皇岛一模]如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：
；；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，的值有4个.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．[2024石家庄十八县期末]二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，， ，在轴的正半轴上，点，，， ，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，， ，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形， ，四边形都是菱形，，则的边长为________，菱形的周长为________．
4．[2024石家庄新华质检]如图，二次函数的图象经过点和.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 已知为一直角三角形纸片， ,,,直角边落在轴上，将纸片沿轴滑动，当点落在抛物线上时，求点的坐标.
5．[2024保定高碑店一模]如图，直线与坐标轴分别交于点，，抛物线经过点和点，其顶点为，对称轴与轴交于点，点是抛物线上的一点，设点的横坐标为．
备用图
（1） 求抛物线的解析式，并经过计算判断抛物线是否经过点.
（2） 若介于点和之间（包括端点），点与点关于对称轴对称，作轴交于点．
① 当时，求的长；
② 若的长随的增大而增大，求的取值范围．
（3） 若点在第二象限，直接写出点与直线距离的最大值．
6．[2024石家庄一模]如图，抛物线与轴分别交于点,（点在点的左侧），与轴交于点.将沿直线向上平移，平移后的抛物线记作,其顶点的横坐标为且，设直线与抛物线分别交于点,（点在点的左侧）．
（1） 求的顶点坐标及,两点之间的距离；
（2） 当点在轴上时，求的函数表达式及线段的长；
（3） 若经过点且与直线平行的直线与线段有公共点，直接写出的最大值．
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．[2024张家口一模]如图是一款抛物线型落地灯示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几正下方位置到灯柱的距离为（ ）
A．3.2米 B．0.32米 C．2.5米 D．1.6米
2．[2024石家庄十八县一模]用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成半圆形、矩形、等腰三角形（底边靠墙）三种方案（如图），最佳方案是（ ）
A．方案一 B．方案二
C．方案三 D．三种方案都一样
3．[2024石家庄平山摸底]一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线,都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为,杯口直径为，且.以杯底的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
图1 图2
（1） 轮廓线,所在的抛物线的解析式为______；
（2） 将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面.如图2，当倾斜角 时，水面宽度______.
4．[2024邯郸模拟]如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题：
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由．
5．[2024张家口宣化一模]某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数（利润售价-制造成本）
（1） 写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数表达式.（不用写自变量的取值范围）
（2） 当销售单价为多少时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
6．[2024邯郸广平模拟]如图，小球从斜坡顶端处由静止开始向下滚动，速度每秒增加,经过到达斜坡底端处，继续沿平地向前滚动，并且均匀减速.设小球减速后的速度为（单位：）,平地上的滚动时间为（单位：）,在随变化的部分数据如下表.
滚动时间 1 2 3 4
滚动速度 9.5 9 8.5 8
（1） 已知速度与滚动时间之间成一次函数关系，求关于的函数解析式；
（2） 求小球在平地上滚动的最远距离.
（提示：本题中平地上滚动的距离平均速度×时间,平均速度,其中是在平地上开始时的速度，是在平地上滚动秒时的速度）
提升练
7．[2024石家庄桥西质检]图1是矩形电子屏中某光点的运动轨迹示意图，光点从屏边缘点处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到底部的竖直高度记为，光点运行的水平距离记为，测得如下数据:
水平距离 0 1 2 4
竖直高度 2 3 3 0
图1 图2
（1） 观察表格，直接写出抛物线的顶点坐标;
（2） 求满足条件的抛物线解析式;
（3） 如图2，电子屏的长为6，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光.如果只改变光点的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板，又能击中边缘时，请计算的取值范围.
8．[2024保定莲池一模]某厂的一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）.该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额（万元）每件产品的预售额（元） 年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如下表所示，生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元.（年毛利润总销售额-生产费用）
年销售量（万件） … 20 40 …
总销售额（万元） … 560 1 040 …
（1） 求与以及与之间的函数解析式；
（2） 若要使该产品的年毛利润不低于1 000万元，求该产品年销售量的变化范围；
（3） 受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额需下调多少元.
9．[2024唐山一模]如图，灌溉车为观光绿化带浇水.图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口离地竖直高度为.可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形,其中,.下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口,喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）.
图1 图2
（1） 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程;
（2） 通过计算求点的坐标；
（3） 绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围.
微专题3 二次函数中的最值问题
1．若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”，则二次函数与一次函数的“和谐值”为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．已知二次函数的表达式为,当时，函数有最大值,则的最小值是________.
3．[2023唐山一模改编]某水果店包装一个果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果的单价少3元，用600元购进种水果和用900元购进种水果的质量一样，包装一个果篮需要种水果4千克和种水果2千克，每个果篮还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是（元）（是整数），该果篮每月的销量（个）与售价（元）的关系式为.
（1） 求一个果篮的成本（成本进价包装费）；
（2） 若每月的利润是（元），求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3） 若每个果篮的售价不超过元（是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润.
4．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元.市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒.
（1） 设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式.
（2） 当每盒售价定为多少元时，可使当天获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
（3） 现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠元给村经济合作社，物价部门要求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门定价的前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求的取值范围.
5．[2024石家庄桥西摸底]如图1，抛物线与轴交于点，,与轴交于点.
图1
（1） 求抛物线的函数表达式．
（2） 如图2，当点从点向点匀速运动时，过点作交抛物线于点，交直线于点，连接,．求的最大值．
图2
6．如图1，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，经过点的直线与该函数图象交于点，与轴交于点.
图1
（1） 求直线的函数表达式及点的坐标.
（2） 点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
① 当时，求的值；
② 如图2，当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出的最大值．
图2
微专题4 函数图象中的公共点问题
1．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于原点对称的图象为，若直线（为常数）与、的交点有3个，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
2．[2023唐山丰南一模]课堂上，老师给出一道题目：“如图，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后得到的图形与抛物线在轴上方的部分记为,已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围.”甲同学的结果是,乙同学的结果是.下列说法正确的是（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙结果合在一起才正确
D．甲、乙结果合在一起也不正确
3．[2024邯郸武安二模]对于二次函数,定义函数是它的相关函数.若直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
4．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是____________________________.
5．[2024邯郸模拟]在平面直角坐标系中，已知点，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点.
（1） 点的坐标为____________；
（2） 若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是________________________．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点（点在点的右侧），顶点为点.
（1） 求的长；
（2） 反比例函数的图象记作.
① 若点落在轴上，抛物线与图象的交点在第三象限，点的横坐标为,且，求的取值范围.
② 已知图象经过点,点,若抛物线与线段有唯一的公共点（包括线段的端点），求的取值范围.
第三模块检测卷
一、选择题
1．[2023廊坊一模]如图，直线，在某平面直角坐标系中，轴//，轴//，点的坐标为，点的坐标为，则坐标原点为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2022邯郸一模]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（ ）
第2题图
A．① B．② C．③ D．④
3．[2024秦皇岛海港一模]如图，,以为原点，向右为正方向，为1个单位长度建立数轴.若点表示数,则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024唐山模拟]下列结论：①若，在直线上，且，则；②若直线经过第一、二、三象限，则，；③若一次函数的图象交轴于点，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．[2024秦皇岛海港一模]如图1，锐角中，为边上一点（不与、重合），连接.在、、三个角中，某两个角之间的关系图象如图2.下列说法：①纵轴表示的度数,横轴表示的度数; ； .其中说法正确的是（ ）
图1 图2
A．①③ B．③ C．②③ D．①②③
6．[2022九地市一模]函数的自变量的取值范围为全体实数，当时，图象如图所示，对于此函数，嘉嘉、琪琪和小亮的说法如下：
嘉嘉：函数图象关于轴对称，函数既有最大值，也有最小值.
琪琪：当时，随的增大而减小.
小亮：当时，关于的方程有4个实数根.
下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉和琪琪说的对 B．嘉嘉和小亮说的对
C．琪琪和小亮说的对 D．嘉嘉、琪琪和小亮说的都对
7．[2024邢台信都摸底]如图，二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为3和，其图象与轴围成封闭图形，图形内部（不包含边界）恰有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），系数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．[2024石家庄裕华质检]验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则眼镜的度数减少了____度.
9．[2024邢台一模改编]规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点,直线与轴相交于点，与双曲线相交于点，线段,及,两点之间的曲线所围成的区城记作.
（1） ______；
（2） 若区域（不包括边界）内的整点的个数为3，则的取值范围是____________________________.
三、解答题
10．[2023承德一模]某位同学设计的动画如图所示，随着音乐节奏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上.
（1） 若，且抛物线顶点的纵坐标为3，求、的值；
（2） 试推断与的数量关系；
（3） 把横、纵坐标都是整数的点称为整点.当抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色，那么当时，这组抛物线中有几条会改变颜色？
11．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，记函数的图象为,直线经过点,与图象交于,两点.
（1） 求的值，并在图中画出直线.
（2） 当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点.
① 求点的坐标；
② 连接，若,求的取值范围.
（3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象与直线所围成的封闭区域（含边界）为.当区域的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数的个数.
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