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2025河北版数学中考专题
第四模块 三角形
第1讲 几何初步、相交线与平行线
基础练
1．[2023衡水二模]如图，若线段与线段有一个公共点，则点可以是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
2．[2024沧州任丘一模改编]下列四个生活中的现象可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3．[2024唐山一模]如图，在同一平面内有直线及直线外一点，作，垂足为，则点到直线的距离是（ ）
A. 线段的长度 B. 射线
C. 线段 D. 线段
【答案】A
4．[2024承德兴隆质检]下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数,满足，则.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
5．[2024张家口万全一模]如图，在纸片上有线段和线段外一点，将纸片沿过点的直线折叠，使线段分成两部分并落在同一条直线上，下列说法正确的是（ ）
A. 折痕平分线段 B. 折痕与线段互相平行
C. 折痕与线段互相垂直 D. 折痕与线段不能相交
【答案】C
6．[2024九地市模拟]如图所示，直尺一边与量角器的 刻度线平行，且的读数为 ，设与交于点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．[2024任丘八中一模]如图，一束光线以与水平面成 的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后水平射出，则平面镜与地面所成角的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8．[2024石家庄模拟]如图，和是一副三角尺， ， ， ，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．[2023石家庄一模]将一个直角三角形按如图所示的方式放置在两条平行线之间，已知 ， ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
10．[2023石家庄一模]如图，，平分，交于，若 ，则的度数是________.
【答案】
提升练
11．[2024邯郸模拟]如图，直线，将一个含 角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边，分别交于点，，若 ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
12．[2024石家庄四十三中模拟]如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点,点为焦点.若 , ,则的度数为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
13．[2024唐山丰润一模]如图，直线，线段和矩形在直线,之间，点，分别在,上，点、、在同一直线上.若 ， ,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别过点B,作，,如图.
,,
四边形是矩形，
,
， , ,则 ,
,， ，
，
.故选B.
14．[2023邯郸一模]为了亮化某景点，某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示.灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动 ，灯每秒转动 ，灯先转动2秒，灯才开始转动，在灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）
A. 1秒或6秒 B. 8.5秒 C. 1秒或8.5秒 D. 2秒或6秒
【答案】C
【解析】设A灯旋转的时间为秒，B灯光束第一次到达需要（秒），，即.
当时，，其中 .
①当，即时， ,令，解得.
②当，即时， ，令，解得.
③当时， ，令，解得（舍去）.
综上所述，A灯旋转的时间为1秒或8.5秒.故选C.
15．[2024张家口万全一模]一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值 ，是活动连杆，其可绕点旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．
（1） 当时，__ ；
（2） 点到的距离为________________．
【答案】（1） 60
（2）
第2讲 三角形的基本性质
基础练
1．[2024保定唐县摸底]“人”字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短
C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性
【答案】D
2．[2024廊坊一模改编]王爷爷要将一块如图所示的三角形土地平均分成两份种植不同的农作物，则图中他所作的线段是的（ ）
A. 角平分线 B. 中线 C. 高线 D. 以上都不是
【答案】B
3．[2023张家口一模]将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边互相垂直，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024石家庄长安一模]如图， ， ，则直线与直线所成的锐角的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024承德平泉摸底]在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 ”的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①延长至，过作
B. ②过作
C. ③过作
D. ④过作，，
【答案】C
6．[2024承德平泉摸底]在中，高，高，则边（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2024九地市模拟]如图，中，若 ， ，根据图中尺规作图的痕迹推断以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
8．[2023浙江金华]如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点，分别是，的中点，若,则该工件内槽宽的长为______.
【答案】8
9．[2023邯郸模拟]嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说：“这四个数据中有一个是标错的.”嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：、、保持不变，将图中____（填“增大”或“减小”）______度，淇淇说：“改得不错.”
【答案】增大； 5
提升练
10．[2024保定摸底]把沿折叠，折叠后的图形如图所示， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，
，
，
由题意易知 ，
．
11．[2024邯郸十三中二模]如图，四个三角形各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点C作于D，设，，则，
.
当与重合时，，
此时 ，的面积最大，，故选C.
12．[2024沧州任丘一模]有四根长度分别为3，4，6，（为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（ ）
甲：的取值有4个；
乙：组成的三角形中，周长最大为16.
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确
【答案】D
【解析】任意三根的组合有3、4、6；3、4、；3、6、；4、6、四种情况，
由从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得，即或5或6．
①当三边长为3、4、6时，周长为；②当时，周长最大为；③当时，周长最大为；④当时，周长最大为.
综上，甲不正确，乙正确.故选D.
13．[2024邯郸十三中模拟]阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在中，,分别是边,的中点．
求证：，且.
证明：延长到，使，连接,
图1 图2 图3
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图3，连接,，分别证明四边形,四边形是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A. 甲思路正确，乙思路错误 B. 甲思路错误，乙思路正确
C. 甲、乙两人思路都正确 D. 甲、乙两人思路都错误
【答案】C
【解析】按照甲的思路证明如下：
，分别是边，的中点，
，，
在和中，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，.
按照乙的思路证明如下：
，分别是边，的中点．
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，又，
，.
故甲、乙两人思路都正确，故选C.
14．[2023秦皇岛摸底]如图，是的角平分线，，垂足为，，与的面积之比为________；若的面积为52，则______.
【答案】； 4
15．[2023邢台一模]在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点.
图1 图2
（1） 如图1，点在外部，若 ， ，则________；
（2） 如图2，点在内部，直线交于点，若，则________.（用含的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1） 平分， ，， ， ，又平分， ， .
（2） 平分，，平分，，，，， .
第3讲 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024石家庄裕华模拟]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，线段的长度在数轴上的 （ ）
A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段
【答案】C
2．[2024邯郸模拟]观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2023浙江衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024廊坊一模]定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：在中， ， ．
求证：.
证明：延长到点，使，连接.
又 ，即，
（依据Ⅰ），
， ，
（依据Ⅱ），
是等边三角形（依据Ⅲ），
（依据Ⅳ），
.
对于四个依据，下列说法错误的是（ ）
A. 依据Ⅰ：线段的垂直平分线的性质
B. 依据Ⅱ：勾股定理
C. 依据Ⅲ：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
D. 依据Ⅳ：等边三角形的三条边都相等
【答案】B
5．[2024河北一模]如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2024石家庄新乐一模]如图，在四边形中， ，， ，则点到的距离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
提升练
7．[2024石家庄一模]对于题目：“在中，， ，分别以，为圆心，长为半径的两条弧相交于点，求的度数．”嘉嘉求解的结果是 ，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（ ）
A. 淇淇说得对，的另一个值是
B. 淇淇说得不对，只能等于
C. 嘉嘉求的结果不对，应等于
D. 两人都不对，应有3个不同的值
【答案】A
【解析】， ，
，
，
根据题意作图如下.连接，，
由图知，
，均为等边三角形，
，
在中，， ，
.
在中，， ，
.
淇淇说得对，的另一个值是 ．故选A．
8．[2024邯郸十三中二模]如图，，是的边上的两个点， ，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是______．甲答：；乙答：.则下列说法正确的是（ ）
A. 只有甲答案正确 B. 只有乙答案正确
C. 甲、乙答案合一起才完整 D. 甲、乙答案合一起也不正确
【答案】C
【解析】①作线段的垂直平分线交于，连接，，
则，此时是等腰三角形，过点作于点，
当时，满足条件的点恰好只有一个，
当时，，
当时，满足条件的点恰好只有一个；
②当是等边三角形时，满足条件的点恰好只有一个，
此时， ，
， ，
，．
综上所述，满足条件的的取值范围是或．故选C.
9．[2023衡水三模]如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为格点，点、都在网格线上，已知线段、线段的长都是整数，则______.
【答案】5
【解析】如图，
由题意可得，，，，，
，
线段、线段的长都是整数，
，，
.
10．[2023湖北黄冈]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．
【答案】3
【解析】，，，,，与的面积相等，
，
，
，，
解得（负值舍去），
.
11．[2024石家庄十八县一模改编]等腰直角三角形中，， .
图1 图2
（1） 如图1，点为上一点，以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，连接，连接并延长交于点，则的度数为________，________.
（2） 如图2，若点为内任意一点（不包含边界），以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，连接并延长交直线于点，与交于点，则（1）中的结论是否成立？请说明理由.
【答案】（1） ；.
【解析】
（1） 详解：， ， ，.是以点为直角顶点的等腰直角三角形，， ， ，，，，又 ，，，， ， .
（2） 成立，理由如下：是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形，， ， ，，，.，.在和中，， .
微专题5 与中点有关的问题
1．[2022唐山质检]如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，若，则的长为（ ）
A. 6 B. C. 3 D. 4
【答案】C
2．如图，在中，，、是内的两点，平分， ，若,,则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长交于，延长交于,
由 ，
易知为等边三角形，, ，
，平分，
，，
,,
在中，,
，
.故选C.
3．[2023邯郸、邢台一模]如图，在四边形中，，，由尺规作图可以确定边上一点，取的中点，连接，则的长可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】由尺规作图可知是的中点，如图，连接，取的中点，连接、，
是的中点，是的中位线，，
又是的中位线，
，
，
，即.
4．如图，在中， ，，点在上，且，点是上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长是（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】如图，分别过点，作的垂线，垂足为，，过点作于点，
四边形是矩形，
，.
由点和点分别是线段和的中点，易得和分别是和的中位线，
，，，，
，，
，设，
，，
在中，，
在中，，
，
，
解得，即，
在中，．故选D.
5．[2024廊坊安次摸底]下面是多媒体上的一道习题：
如图，是的中线，，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点，使，连接． 是的中线， ________， 在和中， （________）（填判定定理，用字母表示）， ______， 在中，根据“三角形三边关系”可知，______ ______， 又， ________ ________．
【答案】； ； ； ； 3； 1； 7； ；
6．[2023石家庄一模]如图，在矩形中，，，点在上，且，点，分别是，的中点.
（1） 的长是______；
（2） ________.
【答案】（1） 4
（2）
7．[2023张家口质检]如图，四边形中， ， ，、分别是、的中点.
（1） 请你猜测与的位置关系，并给予证明；
（2） 当，时，求的长.
【解析】
（1） .证明：连接、， ，为的中点，， ，，，是等腰三角形.是的中点，.
（2） ，，、分别是边、的中点，，，，.
8．[2023张家口一模]等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使.
图1 图2
（1） 如图1，延长到点，使，连接，.
① 求证：；
② ________；若，求的度数.
（2） 如图2，连接，若，，求的长.
【解析】
（1）① 证明：在与中，
，，.
② .
是等边三角形， ，， ，又，， ，分别延长，，交于点，由①知，，， . ， .
（2）延长到点，使，连接，.
由得 ，又是等边三角形，，，即，由勾股定理得，.，，，.又，，即 ，.
第4讲 全等三角形
基础练
1．[2024保定曲阳摸底]如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024保定模拟]如图，在中， ,,点为内一点，将绕点逆时针旋转到的位置,则与的位置关系为（ ）
A. B. 相交且交成的锐角为
C. D. 无法确定
【答案】A
3．[2023沧州模拟]如图所示，在、上各取一点、，使，连接、相交于点，再连接、，若，则图中全等三角形共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
【答案】C
4．[2023重庆A]如图，在中， ，，点为上一点，连接.过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为______．
【答案】3
5．[2024保定一模]
【操作应用】 实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图1所示，其中,.相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接,求证：平分.
图1
【实践拓展】
（1） 实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗 请说明理由.
图2
（2） 如图3，在中， ， ，，分别是边,上的动点.当四边形为“筝形”时，的度数为____________.
图3
【答案】（2） 或 .
【解析】
【操作应用】 证明,,,,,平分.
【实践拓展】 （1） 实践小组的判断对.理由：易知是的平分线，又，,是铅垂线，是水平的. 门框是水平的. 实践小组的判断对.
（2） 或 .详解： ， , , 四边形为“筝形”, 可分为以下两种情况.
①当,时，如图， 四边形为“筝形”,
, .
②当,时，如图，同①可知 . .综上，的度数为 或 .
提升练
6．[2023秦皇岛一模]如图，已知和都是等腰三角形， ，，交于点，连接，下列结论：；；平分； .其中正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】如图，作于点，于点，设交于点.
，
,即，，，
，，，故①正确；
， ， ， ，即，故②正确；
，
，，
，，
，
，平分，
，故④正确；
若③成立，则，
，
，，由题意知，不一定等于，不一定平分，故③错误.故选B.
7．[2023衡水摸底]如图，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，速度为，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）.当点，运动到某处时，有与全等，求相应的，的值.丽丽的答案：，；轩轩的答案：，；笑笑的答案：，.下列说法正确的是（ ）
A. 只有丽丽的答案正确
B. 轩轩和笑笑的答案合在一起才完整
C. 丽丽与轩轩的答案合在一起才完整
D. 三人答案合在一起才完整
【答案】C
【解析】根据题意得，，，
当时，，，解得
当时，，，解得
综上可知，丽丽与轩轩的答案合在一起才完整.故选C.
8．[2024石家庄二模改编]如图，在中，,,， P为边上一点，.连接，并作交线段或射线于点（在右侧）.
（1） 如图1，若,证明,并求此时的值.
图1
（2） 如图2，若点恰好落在点上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且.”请通过计算的值，说明琪琪的说法是否正确.
图2
（3） 当点位于图3所示的位置时，若，求的值.
图3
【解析】
（1） 四边形为平行四边形，,.,,,.,., ,，,,.
（2） 作于,交延长线于,则 .易证四边形为矩形，,.， 设,.在中，,,解得,,,,,, , , ,,,即,解得或（不合题意，舍去），,是等腰三角形，但, 琪琪的说法不正确.
（3） 如图，作于,于,则 .
由（2）可得,,, ,
, ,,
,,,,.
,,
, 设,,
在中，由勾股定理得,
,解得（负值舍去）,
,，解得.
微专题6 常见的全等三角形模型
1．如图，已知，，.求证：．
【解析】
证明：在和中，
，
，
，
．
2．如图，点，分别在，上， ，，相交于点，.
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明： ， ． ， .第一步 又，， ．第二步 ．第三步
（1） 小虎同学的证明过程中，第__步出现错误；
（2） 请写出正确的证明过程．
【解析】
（1） 二.
（2） 证明： ， ，在和中， ，.在和中，，.
3．[2023保定模拟]如图1，，分别是中边，上的点，且，.
图1
（1） 当 时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，连接，则与的数量关系是____________，的度数是_________；
图2
（2） 当 时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图3所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由；
图3
（3） 当 时，将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，如图4所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明.
图4
【解析】
（1） ； .
（2） ，.理由：，， ， ， ，，即，，， ， ，.
（3） .证明：连接，由题知 ，，， ，，即，，， ， ，.在中，，即，.
4．[2024廊坊广阳摸底]在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 ．
【积累经验】
（1） 如图1，当 时，猜想线段，，之间的数量关系是 ，请说明理由.
图1
【类比迁移】
（2） 如图2，当 时，问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
图2
【拓展应用】
（3） 如图3，在中，是钝角，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，直接写出与的面积之和．
图3
【解析】
（1） .理由如下： ， ，，，，，，.
（2） 成立，理由如下: ， ，，，，，，.
（3） 4.详解：易得，同（2）可证，.设的边上的高为，则的边上的高为，，，，，，即与的面积之和为4．
5．[2023石家庄质检]探究：如图1和图2，四边形中，已知， ，点、分别在、上， .
（1） ① 如图1，若、都是直角，把绕点顺时针旋转 得到，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系.
图1
② 如图2，若、都不是直角，但满足 ，则①中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由.
图2
拓展：（2） 如图3，在中， ，，点、均在边上，且 ，若，请直接写出的长.
图3
【解析】
（1）① .
② 仍然成立.证明：如图，把绕点旋转得到，使与重合，则，，，
， ，、、在一条直线上， ， ， ， ， ，
又，，，，.
（2）.
提示：易得 ，由勾股定理得，把绕点旋转得到，使与重合，连接，如图，
则，， ，， ， ，.又，，，设，则， ， ， ，由勾股定理得，即，解得，.
第5讲 相似三角形（含位似）
基础练
1．[2024石家庄十八县模拟]如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
2．[2024邢台、邯郸一模]如图，在正方形网格中，以为位似中心，作线段的位似图形，点是点的对应点，则点的对应点是（ ）
第2题图
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】D
3．[2024张家口宣化一模]张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？正确的步骤是（ ）
已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，且，.
求证：．
证明：①又，，，，．
A. ③②④①⑤ B. ②④①③⑤ C. ③①④②⑤ D. ②③④①⑤
【答案】B
[2024保定竞秀一模]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点.测得，，，则树高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024石家庄十八县模拟]如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6．[2024石家庄新华一模]如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为8、16、10.5、，已知直尺宽为3，则中边上的高为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
7．[2024沧州一模]如图，在和中，已知，．
（1） 求证：．
（2） 若，，求的长．
【解析】
（1） 证明：，，即.又,.
（2） ，，，，．
8．[2024石家庄十八县模拟]为测量旗杆的高度，小明设计的测量方案如图所示.标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，，，三点共线，求旗杆的高度．
【解析】过作于，交于，易知四边形和四边形是矩形，
，，，
易证，
，，
，
．
答：旗杆的高度为．
提升练
9．[2024邯郸模拟]如图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点.这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点与点之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接交直线于点，由轴对称的性质，得，，,
，
，,，
，即，
，．
10．[2024唐山一模]如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过C作于，
设，则，根据题意得，
解得，，
， 由勾股定理得
，
，
，
，
，
，即，．
11．[2024石家庄长安摸底]如图，在中， ，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1） 的值为________；
（2） 若与相似，则的长为____________________.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
（2）当时，，，；
当时，，，.
综上，的长为或．
12．[2024邯郸广平模拟]在中， ．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作正方形．
（1） 如果，如图1，点在线段上运动,试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
图1
（2） 如果，如图2，点在线段上运动，（1）中结论是否成立？为什么？
图2
（3） 若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
【解析】
（1） .证明如下：， ， ，则 ．由题意得， ，，， ,,即.
（2） 成立．理由：过点作交于点， ， ，，易证， ， ，即.
（3） 过点作交的延长线于点.①如图1，点在线段上运动时， ，．，易证，，，．
图1
②如图2，点在线段的延长线上运动时，同①得，．， ， ，， ，，，，．综上，线段的长为或.
图2
微专题7 常见的相似三角形模型
1．[2024石家庄一模]如图所示，在中，，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 16
【答案】C
2．[2024沧州一模]如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A. 1米 B. 2.25米 C. 2米 D. 3米
【答案】D
3．[2024邯郸模拟]图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面的长为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2024张家口一模]如图，点在的边上，添加一个条件，使得.下面是天翼和佳琛的做法，则下列说法不正确的是 （ ）
天翼的做法： 添加条件. 证明：，， .（两角分别相等的两个三角形相似） 佳琛的做法： 添加条件． 证明：，， .（两边成比例及一组角相等的两个三角形相似）
A. 天翼的做法、证明过程没有问题
B. 佳琛的做法、证明过程没有问题
C. 天翼添加的条件没有问题
D. 佳琛添加的条件有问题
【答案】B
5．[2024沧州任丘一模]如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，，，，，
，，
，，
，，
，，
点是的中点，，
，，，，，
，故选A．
6．[2024沧州一模]如图，在四边形中，， ，点在上，平分，平分.给出下面三个结论：
；
；
.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】D
【解析】， ．
平分，平分，
,
，故①正确.
过点作于点，
， ， ．
平分，平分，
，，
，故②正确.
， ，
,．
．
，故③正确.故选D.
7．[2024保定曲阳摸底]
（1） 问题 如图1，在四边形中，点为上一点， ，求证：．
图1
（2） 探究 如图2，在四边形中，点为上一点，当 时，上述结论是否依然成立？说明理由．
图2
（3） 应用 请利用获得的经验解决问题.
如图3，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，长为半径的圆与相切时，求的值．
图3
【解析】
（1） 证明： ，，，，，.
（2） 成立．理由：，，，，，.
（3） 过点作于点．
，，．由勾股定理可得．
以点为圆心，长为半径的圆与相切，，．，，.由的经验可知，，解得，，
的值为1或5．
8．[2023石家庄一模]问题提出
如图1，在和中， ，，，点在内部，直线与直线交于点，连接.线段，，之间存在怎样的数量关系？（无需作答）
图1
问题探究
（1） 先将问题特殊化，如图2，当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
图2
（2） 再探究一般情况，如图1，当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
（3） 如图3，在和中， ，，（是常数），点在内部，直线与直线交于点，连接.直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系.
图3
【解析】
（1） .详解：如题图2， ， ，，，，，， 点、重合，，为等腰直角三角形，，，即.
（2） 证明：如图，过点作交于点，
与（1）同理可知，，， ， ，，又，，，，，为等腰直角三角形，，，.
（3）.详解：与（1）同理可知，，，，，，，如图，过作交于点，与（2）同理可知，，
，，，， 在中，，，即.
第6讲 解直角三角形
基础练
1．[2024石家庄裕华一模]嘉淇先向北偏西 方向走，又向南偏西 方向走，她现在所在的位置在起点的（ ）
A. 正北方向 B. 正西方向 C. 西北方向 D. 西南方向
【答案】B
2．[2024石家庄桥西模拟]如图，从热气球看一面墙底部的俯角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3．[2024石家庄十八县模拟]如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
4．[2024沧州一模]一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A. 向北偏西 方向航行4海里 B. 向南偏西 方向航行3海里
C. 向北偏西 方向航行4海里 D. 向东偏北 方向航行3海里
【答案】C
5．[2024邯郸、邢台一模]如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点，点先沿水平直线从左向右匀速运动到点，在点向右转 后，再沿直线匀速运动到点，在点向左转 后，再沿直线匀速运动到点，在点再向右转 后，沿直线匀速运动到点，此时点在点的（ ）
A. 南偏东 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏东
【答案】C
6．[2024张家口宣化一模]如图是拉线固定电线杆的示意图．点、、在同一直线上．已知，， ，则拉线的长是______．
【答案】6
7．[2024张家口一模]如图，在中，，垂足为，，， ．
（1） 求和的长；
（2） 求的值．
【解析】
（1） 在中，，.
（2） ，，.在中，，．
8．[2024石家庄十八县一模]如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向，距离灯塔100海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东 方向上的避风港处．
（1） 问避风港处距离灯塔有多远？（结果精确到0.1海里）
（2） 如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港处？（参考数据：，）
【解析】
（1） 过点作于，在中，易知 ，海里，在中，易知 ，（海里）.答：处距离灯塔约70.7海里.
（2） 海里，海里，海里， ，海里，海里， 轮船的航速是每小时20海里，， 轮船能在台风到来前赶到避风港处．
9．[2024沧州一模]如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角 ，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由 减至 ，即新坡面的倾斜角 ．
（1） 求新坡面的长度；
（2） 求新坡面底部点到建筑物的距离．
【解析】
（1） 在中， ，米，则（米）.答：新坡面的长度为12米.
（2） 在中， ，米，米，米，（米），在中， ，米，米，米.答：新坡面底部点到建筑物的距离为米．
提升练
10．[2024邯郸模拟]上午9时，一艘船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，上午10时到达处（如图）．从，两处分别测得小岛在北偏东 和北偏东 方向，那么船在处时与小岛的距离为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 40海里 D. 海里
【答案】D
11．[2024沧州任丘一模]图1是某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角 ．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
【答案】C
12．[2024张家口一模]如图，将 的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为2厘米，若按相同的方式将 的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数为（结果精确到0.1厘米，参考数据，，）（ ）
A. 2.5厘米 B. 2.6厘米 C. 2.7厘米 D. 2.8厘米
【答案】C
第四模块检测卷
一、选择题
1．[2023北京]如图， , ,则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2023邯郸、邢台一模]根据所标数据（如图所示），下面说法正确的是（ ）
A. ①是等腰三角形 B. ②是等腰三角形
C. ①和②均是等腰三角形 D. ①和②都不是等腰三角形
【答案】B
3．[2024石家庄裕华一模]如图，用四颗螺丝将不能弯曲的四根木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A. 7 B. 10 C. 11 D. 14
【答案】B
4．[2024河北一模]如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东 方向，她看到家里的钟表如图2所示，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（ ）
图1 图2
A. 1点钟方向 B. 2点钟方向 C. 7点钟方向 D. 8点钟方向
【答案】B
5．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A. B. 7 C. D. 8
【答案】C
6．[2023石家庄模拟]如图（侧面示意图），一个正方体箱子沿着斜面向上运动， ，箱高米，当米时，点离地面的距离是（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】过点B作，垂足为，
由题意得，， ，
， ，，
，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
米，
米.
7．[2023衡水三模]有一题目：如图， ，平分，过点作交于点，若点在上，且满足，求的度数.小贤的解答：以为圆心，长为半径画圆交于点，连接，则，易得.结合平行线的性质可求得 .而小军说：“小贤考虑得不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是（ ）
A. 小军说得对，且的另一个值是
B. 小军说得不对，只有 一个值
C. 小贤求的结果不对，应该是
D. 两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
【解析】如图，以D为圆心，长为半径画圆交于，点，连接，，则，
.
过点D作于点，于点，平分，，
又，，
，，
， ，
，
；
当点位于点处时，
， .故选A.
8．[2023石家庄晋州模拟]如图，在中， ， ，分别以三条边，，为一边，在的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作，，，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设所在的正五边形的中心为，连接、，过点作于D，易得 ，
,,
， ，
，
，同理可得,，，
由勾股定理可知，
，故A结论正确.
， ，
，，则.，故B结论正确；，故C结论正确；，，故D结论不正确.故选D.
二、填空题
9．[2023唐山滦州模拟]如图，已知海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东 方向上，从海岛观测货船在其北偏东 方向上，则的度数是________.
【答案】
10．[2023秦皇岛一模]如图， ，平分，于，交于.若，则__，______.
【答案】10； 5
三、解答题
11．[2024张家口宣化摸底]如图，已知， ，点在轴上，点在轴上，，，点．
（1） 分别求点、的坐标及的值；
（2） 在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比为．
【解析】
过作轴于， ， ， ，，，
，，，，，,，，.
如图所示,即为所求．
12．[2024邯郸模拟]已知中，.
（1） 如图1，在中，若，且，
求证：；
图1
（2） 如图2，在中，若 ，且垂直平分，，，求的长．
图2
【解析】
（1） 证明：，．在与中， ，．
（2） 连接，垂直平分,， ，是等边三角形， ，由（1）知，， ， ,即，．
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2025河北版数学中考专题
第四模块 三角形
第1讲 几何初步、相交线与平行线
基础练
1．[2023衡水二模]如图，若线段与线段有一个公共点，则点可以是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．[2024沧州任丘一模改编]下列四个生活中的现象可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024唐山一模]如图，在同一平面内有直线及直线外一点，作，垂足为，则点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．射线
C．线段 D．线段
4．[2024承德兴隆质检]下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数,满足，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．[2024张家口万全一模]如图，在纸片上有线段和线段外一点，将纸片沿过点的直线折叠，使线段分成两部分并落在同一条直线上，下列说法正确的是（ ）
A．折痕平分线段 B．折痕与线段互相平行
C．折痕与线段互相垂直 D．折痕与线段不能相交
6．[2024九地市模拟]如图所示，直尺一边与量角器的 刻度线平行，且的读数为 ，设与交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．[2024任丘八中一模]如图，一束光线以与水平面成 的角度照射地面，现在地面上支放一个平面镜，使这束光线经过平面镜反射后水平射出，则平面镜与地面所成角的度数等于（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．[2024石家庄模拟]如图，和是一副三角尺， ， ， ，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ）
第8题图
A． B． C． D．
9．[2023石家庄一模]将一个直角三角形按如图所示的方式放置在两条平行线之间，已知 ， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2023石家庄一模]如图，，平分，交于，若 ，则的度数是________.
提升练
11．[2024邯郸模拟]如图，直线，将一个含 角的直角三角尺按图中方式放置，点在上，边，分别交于点，，若 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．[2024石家庄四十三中模拟]如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点,点为焦点.若 , ,则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
13．[2024唐山丰润一模]如图，直线，线段和矩形在直线,之间，点，分别在,上，点、、在同一直线上.若 ， ,则（ ）
A． B． C． D．
14．[2023邯郸一模]为了亮化某景点，某市在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示.灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动 ，灯每秒转动 ，灯先转动2秒，灯才开始转动，在灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是（ ）
A．1秒或6秒 B．8.5秒 C．1秒或8.5秒 D．2秒或6秒
15．[2024张家口万全一模]一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值 ，是活动连杆，其可绕点旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降．
（1） 当时，__ ；
（2） 点到的距离为________________．
第2讲 三角形的基本性质
基础练
1．[2024保定唐县摸底]“人”字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
2．[2024廊坊一模改编]王爷爷要将一块如图所示的三角形土地平均分成两份种植不同的农作物，则图中他所作的线段是的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
3．[2023张家口一模]将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中一块三角尺的直角边与另一块三角尺的斜边互相垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4．[2024石家庄长安一模]如图， ， ，则直线与直线所成的锐角的度数是 （ ）
A． B． C． D．
5．[2024承德平泉摸底]在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 ”的是（ ）
① ② ③ ④
A．①延长至，过作
B．②过作
C．③过作
D．④过作，，
6．[2024承德平泉摸底]在中，高，高，则边（ ）
A． B． C． D．
7．[2024九地市模拟]如图，中，若 ， ，根据图中尺规作图的痕迹推断以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2023浙江金华]如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点，分别是，的中点，若,则该工件内槽宽的长为______.
第8题图
9．[2023邯郸模拟]嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说：“这四个数据中有一个是标错的.”嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：、、保持不变，将图中____（填“增大”或“减小”）______度，淇淇说：“改得不错.”
第9题图
提升练
10．[2024保定摸底]把沿折叠，折叠后的图形如图所示， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．[2024邯郸十三中二模]如图，四个三角形各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024沧州任丘一模]有四根长度分别为3，4，6，（为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是（ ）
甲：的取值有4个；
乙：组成的三角形中，周长最大为16.
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确
13．[2024邯郸十三中模拟]阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在中，,分别是边,的中点．
求证：，且.
证明：延长到，使，连接,
图1 图2 图3
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图3，连接,，分别证明四边形,四边形是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
14．[2023秦皇岛摸底]如图，是的角平分线，，垂足为，，与的面积之比为________；若的面积为52，则______.
15．[2023邢台一模]在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点.
图1 图2
（1） 如图1，点在外部，若 ， ，则________；
（2） 如图2，点在内部，直线交于点，若，则________.（用含的代数式表示）
第3讲 等腰三角形与直角三角形
基础练
1．[2024石家庄裕华模拟]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，线段的长度在数轴上的 （ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
2．[2024邯郸模拟]观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023浙江衢州]如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024廊坊一模]定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：在中， ， ．
求证：.
证明：延长到点，使，连接.
又 ，即，
（依据Ⅰ），
， ，
（依据Ⅱ），
是等边三角形（依据Ⅲ），
（依据Ⅳ），
.
对于四个依据，下列说法错误的是（ ）
A．依据Ⅰ：线段的垂直平分线的性质
B．依据Ⅱ：勾股定理
C．依据Ⅲ：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
D．依据Ⅳ：等边三角形的三条边都相等
5．[2024河北一模]如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，，则直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024石家庄新乐一模]如图，在四边形中， ，， ，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
提升练
7．[2024石家庄一模]对于题目：“在中，， ，分别以，为圆心，长为半径的两条弧相交于点，求的度数．”嘉嘉求解的结果是 ，淇淇说：“嘉嘉的解答正确但不全面，还有另一个不同的值．”则下列判断中，正确的是（ ）
A．淇淇说得对，的另一个值是
B．淇淇说得不对，只能等于
C．嘉嘉求的结果不对，应等于
D．两人都不对，应有3个不同的值
8．[2024邯郸十三中二模]如图，，是的边上的两个点， ，，，若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是______．甲答：；乙答：.则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲答案正确 B．只有乙答案正确
C．甲、乙答案合一起才完整 D．甲、乙答案合一起也不正确
9．[2023衡水三模]如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，为格点，点、都在网格线上，已知线段、线段的长都是整数，则______.
10．[2023湖北黄冈]如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，设图中，，连接，，若与的面积相等，则______．
11．[2024石家庄十八县一模改编]等腰直角三角形中，， .
图1 图2
（1） 如图1，点为上一点，以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，连接，连接并延长交于点，则的度数为________，________.
（2） 如图2，若点为内任意一点（不包含边界），以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，连接并延长交直线于点，与交于点，则（1）中的结论是否成立？请说明理由.
微专题5 与中点有关的问题
1．[2022唐山质检]如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，若，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．4
2．如图，在中，，、是内的两点，平分， ，若,,则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023邯郸、邢台一模]如图，在四边形中，，，由尺规作图可以确定边上一点，取的中点，连接，则的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
4．如图，在中， ，，点在上，且，点是上的动点，连接，点，分别是和的中点，连接，．当时，线段的长是（ ）
A． B．8 C． D．
5．[2024廊坊安次摸底]下面是多媒体上的一道习题：
如图，是的中线，，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点，使，连接． 是的中线， ________， 在和中， （________）（填判定定理，用字母表示）， ______， 在中，根据“三角形三边关系”可知，______ ______， 又， ________ ________．
6．[2023石家庄一模]如图，在矩形中，，，点在上，且，点，分别是，的中点.
（1） 的长是______；
（2） ________.
7．[2023张家口质检]如图，四边形中， ， ，、分别是、的中点.
（1） 请你猜测与的位置关系，并给予证明；
（2） 当，时，求的长.
8．[2023张家口一模]等边的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使.
图1 图2
（1） 如图1，延长到点，使，连接，.
① 求证：；
② ________；若，求的度数.
（2） 如图2，连接，若，，求的长.
第4讲 全等三角形
基础练
1．[2024保定曲阳摸底]如图所示的两个三角形全等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024保定模拟]如图，在中， ,,点为内一点，将绕点逆时针旋转到的位置,则与的位置关系为（ ）
A． B．相交且交成的锐角为
C． D．无法确定
3．[2023沧州模拟]如图所示，在、上各取一点、，使，连接、相交于点，再连接、，若，则图中全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
4．[2023重庆A]如图，在中， ，，点为上一点，连接.过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为______．
5．[2024保定一模]
【操作应用】 实践小组用四根木条钉成“筝形”仪器，如图1所示，其中,.相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接,求证：平分.
图1
【实践拓展】
（1） 实践小组尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平.如图2，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的.实践小组的判断对吗 请说明理由.
图2
（2） 如图3，在中， ， ，，分别是边,上的动点.当四边形为“筝形”时，的度数为________________________.
图3
提升练
6．[2023秦皇岛一模]如图，已知和都是等腰三角形， ，，交于点，连接，下列结论：；；平分； .其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．[2023衡水摸底]如图，，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，速度为，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）.当点，运动到某处时，有与全等，求相应的，的值.丽丽的答案：，；轩轩的答案：，；笑笑的答案：，.下列说法正确的是（ ）
A．只有丽丽的答案正确
B．轩轩和笑笑的答案合在一起才完整
C．丽丽与轩轩的答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
8．[2024石家庄二模改编]如图，在中，,,，为边上一点，.连接，并作交线段或射线于点（在右侧）.
（1） 如图1，若,证明,并求此时的值.
图1
（2） 如图2，若点恰好落在点上，琪琪认为：“此时是等腰三角形，并且.”请通过计算的值，说明琪琪的说法是否正确.
图2
（3） 当点位于图3所示的位置时，若，求的值.
图3
微专题6 常见的全等三角形模型
1．如图，已知，，.求证：．
2．如图，点，分别在，上， ，，相交于点，.
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明： ， ． ， .第一步 又，， ．第二步 ．第三步
（1） 小虎同学的证明过程中，第__步出现错误；
（2） 请写出正确的证明过程．
3．[2023保定模拟]如图1，，分别是中边，上的点，且，.
图1
（1） 当 时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，连接，则与的数量关系是____________，的度数是____________；
图2
（2） 当 时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图3所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由；
图3
（3） 当 时，将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，如图4所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明.
图4
4．[2024廊坊广阳摸底]在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 ．
【积累经验】
（1） 如图1，当 时，猜想线段，，之间的数量关系是 ，请说明理由.
图1
【类比迁移】
（2） 如图2，当 时，问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
图2
【拓展应用】
（3） 如图3，在中，是钝角，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，直接写出与的面积之和．
图3
5．[2023石家庄质检]探究：如图1和图2，四边形中，已知， ，点、分别在、上， .
（1）
① 如图1，若、都是直角，把绕点顺时针旋转 得到，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系.
图1
② 如图2，若、都不是直角，但满足 ，则①中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由.
图2
拓展：
（2） 如图3，在中， ，，点、均在边上，且 ，若，请直接写出的长.
图3
第5讲 相似三角形（含位似）
基础练
1．[2024石家庄十八县模拟]如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则的长度为（ ）
第1题图
A．5 B．6 C．7 D．8
2．[2024邢台、邯郸一模]如图，在正方形网格中，以为位似中心，作线段的位似图形，点是点的对应点，则点的对应点是（ ）
第2题图
A．点 B．点 C．点 D．点
3．[2024张家口宣化一模]张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？正确的步骤是（ ）
已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，且，.
求证：．
证明：①又，，，，．
第3题图
A．③②④①⑤ B．②④①③⑤
C．③①④②⑤ D．②③④①⑤
4．[2024保定竞秀一模]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点.测得，，，则树高为（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024石家庄十八县模拟]如图所示，中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
第5题图
A． B．
C． D．
6．[2024石家庄新华一模]如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为8、16、10.5、，已知直尺宽为3，则中边上的高为（ ）
第6题图
A．2 B．3 C．4 D．6
7．[2024沧州一模]如图，在和中，已知，．
（1） 求证：．
（2） 若，，求的长．
8．[2024石家庄十八县模拟]为测量旗杆的高度，小明设计的测量方案如图所示.标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，，，三点共线，求旗杆的高度．
提升练
9．[2024邯郸模拟]如图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点.这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．若，，，则点与点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024唐山一模]如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
11．[2024石家庄长安摸底]如图，在中， ，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．
（1） 的值为________；
（2） 若与相似，则的长为____________________.
12．[2024邯郸广平模拟]在中， ．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作正方形．
（1） 如果，如图1，点在线段上运动,试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
图1
（2） 如果，如图2，点在线段上运动，（1）中结论是否成立？为什么？
图2
（3） 若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示）
微专题7 常见的相似三角形模型
1．[2024石家庄一模]如图所示，在中，，若，的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
2．[2024沧州一模]如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（ ）
A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米
3．[2024邯郸模拟]图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面的长为（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
4．[2024张家口一模]如图，点在的边上，添加一个条件，使得.下面是天翼和佳琛的做法，则下列说法不正确的是 （ ）
天翼的做法： 添加条件. 证明：，， .（两角分别相等的两个三角形相似） 佳琛的做法： 添加条件． 证明：，， .（两边成比例及一组角相等的两个三角形相似）
A．天翼的做法、证明过程没有问题
B．佳琛的做法、证明过程没有问题
C．天翼添加的条件没有问题
D．佳琛添加的条件有问题
5．[2024沧州任丘一模]如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024沧州一模]如图，在四边形中，， ，点在上，平分，平分.给出下面三个结论：
；
；
.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．[2024保定曲阳摸底]
（1） 问题 如图1，在四边形中，点为上一点， ，求证：．
图1
（2） 探究 如图2，在四边形中，点为上一点，当 时，上述结论是否依然成立？说明理由．
图2
（3） 应用 请利用获得的经验解决问题.
如图3，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足，设点的运动时间为（秒），当以为圆心，长为半径的圆与相切时，求的值．
图3
8．[2023石家庄一模]问题提出
如图1，在和中， ，，，点在内部，直线与直线交于点，连接.线段，，之间存在怎样的数量关系？（无需作答）
图1
问题探究
（1） 先将问题特殊化，如图2，当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系；
图2
（2） 再探究一般情况，如图1，当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
（3） 如图3，在和中， ，，（是常数），点在内部，直线与直线交于点，连接.直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系.
图3
第6讲 解直角三角形
基础练
1．[2024石家庄裕华一模]嘉淇先向北偏西 方向走，又向南偏西 方向走，她现在所在的位置在起点的（ ）
A．正北方向 B．正西方向 C．西北方向 D．西南方向
2．[2024石家庄桥西模拟]如图，从热气球看一面墙底部的俯角是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024石家庄十八县模拟]如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）
第3题图
A．1 B． C． D．
4．[2024沧州一模]一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西 方向航行4海里 B．向南偏西 方向航行3海里
C．向北偏西 方向航行4海里 D．向东偏北 方向航行3海里
5．[2024邯郸、邢台一模]如图，电脑屏幕上，设计一个运动的光点，点先沿水平直线从左向右匀速运动到点，在点向右转 后，再沿直线匀速运动到点，在点向左转 后，再沿直线匀速运动到点，在点再向右转 后，沿直线匀速运动到点，此时点在点的（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东
6．[2024张家口宣化一模]如图是拉线固定电线杆的示意图．点、、在同一直线上．已知，， ，则拉线的长是______．
7．[2024张家口一模]如图，在中，，垂足为，，， ．
（1） 求和的长；
（2） 求的值．
8．[2024石家庄十八县一模]如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东 方向，距离灯塔100海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东 方向上的避风港处．
（1） 问避风港处距离灯塔有多远？（结果精确到0.1海里）
（2） 如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港处？（参考数据：，）
9．[2024沧州一模]如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度米，坡面的倾斜角 ，距点8米处有一建筑物，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面的坡度，把倾斜角由 减至 ，即新坡面的倾斜角 ．
（1） 求新坡面的长度；
（2） 求新坡面底部点到建筑物的距离．
提升练
10．[2024邯郸模拟]上午9时，一艘船从处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，上午10时到达处（如图）．从，两处分别测得小岛在北偏东 和北偏东 方向，那么船在处时与小岛的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．40海里 D．海里
11．[2024沧州任丘一模]图1是某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角 ．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
12．[2024张家口一模]如图，将 的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为2厘米，若按相同的方式将 的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数为（结果精确到0.1厘米，参考数据，，）（ ）
A．2.5厘米 B．2.6厘米 C．2.7厘米 D．2.8厘米
第四模块检测卷
一、选择题
1．[2023北京]如图， , ,则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．[2023邯郸、邢台一模]根据所标数据（如图所示），下面说法正确的是（ ）
A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形
C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形
3．[2024石家庄裕华一模]如图，用四颗螺丝将不能弯曲的四根木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．7 B．10 C．11 D．14
4．[2024河北一模]如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东 方向，她看到家里的钟表如图2所示，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（ ）
图1 图2
A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向
5．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
6．[2023石家庄模拟]如图（侧面示意图），一个正方体箱子沿着斜面向上运动， ，箱高米，当米时，点离地面的距离是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
7．[2023衡水三模]有一题目：如图， ，平分，过点作交于点，若点在上，且满足，求的度数.小贤的解答：以为圆心，长为半径画圆交于点，连接，则，易得.结合平行线的性质可求得 .而小军说：“小贤考虑得不周全，还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是（ ）
A．小军说得对，且的另一个值是
B．小军说得不对，只有 一个值
C．小贤求的结果不对，应该是
D．两人都不对，应有3个不同值
8．[2023石家庄晋州模拟]如图，在中， ， ，分别以三条边，，为一边，在的外部作正五边形，三个五边形的面积分别记作，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．[2023唐山滦州模拟]如图，已知海岛在海岛的正东方向，从海岛观测货船在其北偏东 方向上，从海岛观测货船在其北偏东 方向上，则的度数是________.
10．[2023秦皇岛一模]如图， ，平分，于，交于.若，则__，______.
三、解答题
11．[2024张家口宣化摸底]如图，已知， ，点在轴上，点在轴上，，，点．
（1） 分别求点、的坐标及的值；
（2） 在第一象限中，画出以原点为位似中心，将缩小后所得的，使与的对应边之比为．
12．[2024邯郸模拟]已知中，.
（1） 如图1，在中，若，且，求证：；
图1
（2） 如图2，在中，若 ，且垂直平分，，，求的长．
图2
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