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2025河北版数学中考专题
第一模块 数与式
第1讲 实 数
课时1
基础练
1．[2024石家庄新华质检]的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
2．[2024石家庄摸底]某种零件的直径合格尺寸为，下列零件直径合格的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024石家庄桥西质检]已知，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. B. - C. × D.
【答案】A
4．[2024唐山一模]下列算式中，运算结果与有理数相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2024石家庄模拟]将一个数用科学记数法表示成的形式，关于和的值，下列说法不正确的是（ ）
A. 的值一定小于10 B. 的值可能是0.25
C. 的值一定是整数 D. 的值可能是负整数
【答案】B
6．[2023唐山二模]新情境·航空航天梦天实验舱是中国空间站第三个舱段，也是第二个科学实验舱.梦天实验舱舱体全长17.88米.下列哪个数四舍五入后可以得到近似数17.88？（ ）
A. 17.873 B. 17.874 C. 17.884 D. 17.885
【答案】C
[2024石家庄一模]如图，点，对应的数分别为，.对于结论:
，，，下列说法正确的是（ ）
A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对
【答案】A
8．[2024邢台摸底]计算________.
【答案】
9．[2023石家庄模拟]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成有理数运算.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将此步的结果传递给下一人,最后得到结果.过程如图所示:
（1） 计算错误的学生有______;
（2） 请给出正确的计算过程.
【解析】
（1） 佳佳,昊昊.
（2） 原式.
10．[2024保定竞秀一模]嘉嘉和琪琪用下图中的、、三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏,两人约定:一人说数字,并将卡片从左向右任意排列;另一人按卡片排列顺序进行计算.例如,嘉嘉说出数字2,并将卡片按的顺序排列,则琪琪的运算顺序为先对2进行的运算,接着用求得的和,最后用所求得的积.列式及运算过程为.
（1） 嘉嘉说出数字,并将卡片按的顺序排列,请你帮琪琪列式并计算结果;
（2） 嘉嘉说数字,琪琪对按的顺序运算后,得到的数恰好等于12,求.
【解析】
（1） 由题意可得.
（2） 由题意得,解得，即的值是.
提升练
11．[2024衡水模拟]据报告,“羲和号”卫星科学载荷每天产生约的原始数据.已知,,,,那么数据等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
12．[2023邯郸一模]如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺按图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对应数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度，则数轴上点所对应的数为（ ）
图1 图2
A. 3 B. C. D.
【答案】C
13．[2024石家庄模拟]新定义规定一种新运算:☆ ,如2☆.
（1） 计算:☆____________;
（2） 若2☆,则的值为____________.
【答案】（1）
（2） 1或
14．[2023九地市模拟]老师就式子，请同学们自己出问题并解答.请你一起解答下列问题.
（1） 小磊的问题：若□代表，代表，计算该式的值；
（2） 小敏的问题：若□代表，代表，计算的结果是有理数，求有理数的值；
（3） 小捷的问题：若，且□和所代表的数互为相反数，直接写出□所代表的数的取值范围.
【解析】
（1） 由题意可知，原式.
（2） 原式，
计算结果是有理数，，.
（3） .详解：所代表的数为，，解得.
15．[2024廊坊广阳一模]六一到了，嘉嘉和同学要表演节目.嘉嘉先骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了到达淇淇家，继续向东骑了到达小敏家,然后又向西骑了到达学校.演出结束后又向东骑回到自己家.
（1） 以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上,分别用点表示出淇淇家，用点表示出小敏家,用点表示出学校的位置;
（2） 求淇淇家与学校之间的距离;
（3） 如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间
【解析】
（1）根据题意得，点对应的数为2，点对应的数为，点对应的数为，如图所示.
（2） . 淇淇家与学校之间的距离是.
（3） ，.
答:嘉嘉骑车一共用了.
16．[2024邯郸广平模拟]如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，,对应的数分别是，,，已知.
（1） 判断原点在第几部分，说明理由;
（2） 若，之间的距离为3，，之间的距离为5，，求和；
（3） 若点表示的数为，数轴上一点表示的数为，当点、原点、点这三点中的一点到另外两点的距离相等时，直接写出的值.
【解析】
（1） 原点在第③部分，理由:，、异号, 原点在第③部分.
（2） 由题意得,.
（3） 的值为，，，0或4.详解：由题意知，，,当时，,,解得；当时，,或,解得或；当时，,解得.的值为，，，0或4.
课时2
基础练
1．[2024廊坊广阳一模]的相反数是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
2．[2024石家庄正定模拟]我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.如:粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食
C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食
【答案】A
3．[2024石家庄模拟]一个有理数与相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D.
【答案】C
4．[2024保定竞秀一模]下列四个数中，最小的数是 （ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
5．[2024石家庄新乐一模]的立方根是（ ）
A. B. 2 C. D. 不存在
【答案】C
6．[2024邢台任泽模拟]下列运算结果与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2024邯郸广平一模]下列各组数中,相加等于0的是（ ）
A. 与 B. 1与 C. 2与 D. 1与
【答案】A
8．[2024邯郸广平模拟]实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9．[2024张家口联考]某地2024年3月份的旅游收入可以写成（是整数）元,把这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
[2024石家庄桥西质检]如图，数轴上点表示的数是，若，则点表示的数是________________________.
【答案】1 012或
11．[2024张家口联考]如图,数轴上的,两点表示的数分别为,1.把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上,并在胶片上描出线段（点,分别对应点,）.左右平移该胶片,平移后的点表示的数为 ,点表示的数为.
（1） 计算:;
（2） 若胶片向右平移个单位长度,求的值（用含的式子表示）.
【解析】
（1） .
（2） 由题意,得.
12．[2024邢台摸底]嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“-”.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
路程/千米 10
（1） 求这六天一共行驶多少千米;
（2） 已知行驶100千米需用汽油8升，该私家车开始时有24升汽油，在上述连续行驶6天后,第七天最多还能行驶多少千米
【解析】
（1） （千米）.答:这六天一共行驶282千米.
（2） 设第七天能行驶千米，依题意得，,解得.
答:第七天最多还能行驶18千米.
提升练
13．[2024邢台一模]红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是8位小数 D. 是7位小数
【答案】C
14．[2024邢台任泽模拟]如图,、为数轴上的两点,为的中点,点,对应的数分别为,,且.若点关于原点对称的点为，且的长度为10,则点对应的数为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】 点，对应的数分别为，，且， 点，在原点的同侧.
当在原点的右侧时， 点关于原点的对称点为，
，为的中点， 点对应的数为；
当在原点左侧时,同理可得，，，
点对应的数为.故选D.
15．[2023邯郸一模改编]如图，直径为个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.
（1） 把圆片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是______；
（2） 把圆片沿数轴朝同一方向滚动2周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是______；
（3） 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，.
① 当圆片结束滚动时，求点对应的数；
② 在滚动的过程中，共经过______次数轴上表示3的点；第______次滚动后，点距离原点最远.
【解析】
（1） .
（2） .
（3） ① ，， 当圆片结束滚动时，点对应的数是.
② ；3.提示：圆片每次滚动后点对应的数分别为4，2，8，0，.
第2讲 代数式与整式
基础练
1．[2024九地市摸底]“4与的平方的积”可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2024沧州一模]计算：，则处的运算符号是（ ）
A. - B. C. × D.
【答案】A
3．[2024唐山一模]下列各组式子中，不一定相等的一组是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
4．[2024石家庄长安质检]整式,,下列结论:
结论一:;
结论二:,的公因式为.
下列判断正确的是（ ）
A. 结论一正确,结论二不正确 B. 结论一不正确,结论二正确
C. 结论一、结论二都正确 D. 结论一、结论二都不正确
【答案】A
5．[2024邢台任泽升学考]化简的结果为 （ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
6．[2024廊坊广阳一模]把分解因式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．[2024保定高碑店摸底]（ ）,则（ ）里的整式为__________.
【答案】
8．[2024衡水模拟]多项式合并同类项后不含项,则的值是______.
【答案】2
9．[2023邢台一模]有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（如图）.现取甲纸片1块，乙纸片1块，丙纸片2块紧密地拼接成一个大正方形（互不重叠），则大正方形的边长为________.（用含的代数式表示）
【答案】
10．新定义[2024保定竞秀一模]定义一种新运算,规定,例：.
（1） 已知,,分别求,;
（2） 通过计算比较与的大小.
【解析】
（1） . .
（2） .
，.
11．[2024九地市摸底]数学课上,老师给出一个整式（其中,为常数）,然后让同学给，赋予不同的数值进行探究.
（1） 甲同学给出一组数据,最后计算的结果为，请分别求出甲同学给出的,的值;
（2） 乙同学给出了,,请按照乙同学给出的数值代入化简，并说明该整式的结果为非负数.
【解析】
（1），
,,,,.
（2） 当,时，, 当,时,的结果为非负数.
提升练
12．[2024保定莲池一模]若,则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
13．[2024石家庄开学考]对于任意自然数，关于代数式的值，下列说法错误的是（ ）
A. 总能被3整除 B. 总能被4整除
C. 总能被6整除 D. 总能被7整除
【答案】D
14．[2023沧州二模]甲、乙、丙三个盒中分别放有不同数量的棋子，其中甲盒中棋子的个数为，乙盒中棋子的个数是甲盒中棋子个数的2倍，丙盒中棋子的个数比乙盒中棋子的个数少.
（1） 请用含的代数式表示乙盒中棋子的个数：________，丙盒中棋子的个数：________.
（2） 现从三个盒中分别拿出一些棋子后，使每个盒中剩下的棋子个数均相等.若从丙盒中拿出的棋子个数比从甲盒中拿出的棋子个数多3，从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，则从三个盒中拿出的棋子个数总和是__.
【答案】（1） ；
（2） 21
【解析】
（2） 从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍， 乙盒中剩下的棋子个数为， 甲、乙、丙三盒中剩下的棋子个数均为， 从甲盒中拿出的棋子个数为，从乙盒中拿出的棋子个数为，从丙盒中拿出的棋子个数为， 从丙盒中拿出的棋子个数比从甲盒中拿出的棋子个数多3，，解得， 从三个盒中拿出的棋子个数总和是.
15．[2024廊坊安次一模]如图,分别以,,,为边长作正方形,已知且满足,.
图1 图2
（1） 若,,则图1中阴影部分的面积是__;
（2） 若图1中阴影部分的面积为3,图2中四边形的面积为5,则图2中的阴影部分的面积是________.
【答案】（1） 25
（2）
【解析】
（2） 由题意知，，即，.，，，.两式相加得，即，.，. 图2中的阴影部分的面积是.
16．[2024廊坊安次一模]现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片,如图1.将两张小正方形卡片放在大正方形卡片上,如图2.将三张小正方形卡片放在大正方形卡片上,如图3.
图1 图2 图3
（1） 请用含有,的代数式分别表示图2,图3中阴影部分的面积;
（2） 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大,求小正方形卡片的面积.
【解析】
（1） 题图2中阴影部分是正方形，它的边长为，所以阴影部分的面积为，题图3中的阴影部分可拼成一个正方形，且边长为，所以阴影部分的面积为.
（2） 由题意知，解得，所以小正方形卡片的面积是5.
17．[2024唐山一模]数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”.
小亮写出如下算式:；；.
发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
（1） 证明:是“佳偶和谐式”;
（2） 证明:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”;
（3） 小红通过对小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题.
【解析】
（1） 证明：,是“佳偶和谐式”.
（2） 证明：设两个连续偶数为和（是整数），则.是整数，是整数，一定被4整除， 任意两个连续偶数的平方差都是“佳偶和谐式”.
（3） 真命题.
微专题1 乘法公式的几何变形
1．如图，现有足够多的型号为①②③的正方形卡片和矩形卡片，分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的矩形.小星想用拼图前后面积之间的关系，解释多项式乘法，则其中②和③型号卡片需要的张数各是（ ）
A. 3和7 B. 2和3 C. 5和7 D. 2和7
【答案】D
2．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形.已知大正方形的面积是196,小正方形的面积是4,若用,表示矩形的长和宽,则下列关系式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．已知甲是边长为的正方形，乙是边长为的正方形，若先将乙放在甲的内部得到图（1），图（1）中阴影部分的面积是4；再将甲、乙并列摆放，以甲、乙的边长之和为新的边长构造大正方形得到图（2），面积是100，则甲的面积是__，乙的面积是__．
甲 乙 图（1） 图（2）
【答案】36； 16
4．有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12，则
图甲 图乙 图丙
（1） 根据图甲、乙中阴影部分的面积，可以得到______，______；
（2） 若3个大正方形和2个小正方形按图丙方式摆放，则阴影部分的面积为__．
【答案】（1） 1；6
（2） 29
【解析】
（2）题图丙中阴影部分面积为.
，，，
阴影部分面积为．
5．现有甲、丙型正方形卡片，乙型矩形卡片若干张，卡片的边长如图1所示.同学们分别用若干张卡片拼出不重叠且无缝隙的图形.
图1 图2
（1） 嘉嘉用一张甲型卡片和两张乙型卡片拼出如图2所示的图形，面积记为，请你用，表示出面积，并求出当，时的值.
（2） 琪琪对嘉嘉说：“我在你拼的图形里再放一张卡片就能拼成一个大正方形.”
① 琪琪放入的卡片是______（填“甲”“乙”或“丙”）；
② 根据琪琪新拼出的图形的面积，可以得到一个等式，请直接写出这个等式.
【解析】
（1） .当，时，．
（2） ① 丙．
② .
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得等式.
图1
（1） 由图2，可得等式：______；
（2） 利用（1）所得等式，解决问题：已知，求的值；
图2
（3） 如图3，将两个边长分别为、的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若，，请求出阴影部分的面积.
图3
【解析】
（1） .
（2） ，，，.
（3） 由题图3可知.
，，，．
7．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为,的矩形．
图1
（1） 选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：______．
图2
（2） 图3是由若干张,,三种卡片拼成的一个矩形，观察图形，可将多项式分解因式为______．
图3
选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在矩形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（矩形）的面积分别表示为,，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由．
图4
【解析】
（1） .
（2） .
（3） .理由如下：设的长度为．，，，为定值，，即.
第3讲 分式
基础练
1．[2024衡水模拟]若,则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024九地市摸底]化简式子的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
3．[2024石家庄正定模拟]若的运算结果为,则在“”中添加的运算符号为（ ）
A. B. - C. 或× D. -或
【答案】D
4．[2024石家庄新华质检]化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024石家庄长安质检]在课堂上老师给出了一道运算题:计算,以下变形过程正确的是（ ）
A. 原式 B. 原式
C. 原式 D. 原式
【答案】D
6．[2023邯郸武安一模]已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
7．[2024邢台任泽模拟]若,则的值为 （ ）
A. 负数 B. 非负数 C. 0 D. 正数
【答案】D
8．[2024廊坊广阳一模]如果分式的值为0，则的值为______.
【答案】1
9．[2024石家庄模拟]已知分式（为常数）满足下表中的信息，则______,______.
的取值
分式 无意义 值为3
【答案】2； 4
10．[2024石家庄一模]老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
（1） 写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
（2） 请你写出正确的解答过程．
【解析】
（1） 小明，小红.
（2） ．
提升练
11．[2024石家庄平山摸底]如图，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12．[2023沧州模拟]下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（ ）
； ；
； .
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
13．[2024石家庄裕华质检]用替换分式中的后,经过化简,结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
14．[2024邯郸模拟]若为正整数，则表示的值的点落在如图所示区域的（ ）
A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段
【答案】B
【解析】
.
又为正整数，，，即，，
表示的值的点落在②段.
15．[2023邯郸一模]甲、乙两人去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买10千克的大米，乙每次购买50元的大米，这两人第一次购买大米时，大米的售价为元/千克，第二次购买大米时，大米的售价为元/千克，解答：
（1） 甲两次购买大米的总费用为________________元；
（2） 乙两次购买大米的平均价格为____________元/千克；
（3） 若规定两次购买大米的平均价格较低的称为更合算的购买方式，则甲、乙两人的购买方式更合算的是__.
【答案】（1）
（2）
（3） 乙
【解析】
（2） 乙两次购买大米的总费用为100元，第一次购买大米千克，第二次购买大米千克，两次共购买大米千克，则乙两次购买大米的平均价格为元/千克.
（3） 甲两次购买大米的平均价格为元/千克，， 乙的购买方式更合算.
16．[2023石家庄模拟]我们知道：分式和分数有着很多的相似点.类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质.小学把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如.
（1） 下列分式中，属于真分式的是______.
A. B. C. D.
（2） 将假分式化成整式和真分式的和的形式.
【解析】
（1） C.
（2） .
第4讲 二次根式
基础练
1．[2024石家庄新华模拟]化简的结果是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】B
2．[2024石家庄开学考]与的结果不相等的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．[2024石家庄裕华质检]已知,则可能是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
4．[2024保定莲池一模]下列关于的变形，不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
5．[2023江苏扬州]已知,,,则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2024石家庄新乐模拟]若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上
【答案】B
7．[2023张家口二模]下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
8．[2024石家庄桥西质检]比较大小：____2.
【答案】
9．[2024邢台一模]若，则“ ”是______.
【答案】2
10．[2024廊坊安次一模]计算：________．
【答案】
11．[2024河北省级联考]若式子有意义，请写出一个符合条件的的整数值：________________．
【答案】3（答案不唯一）
提升练
12．[2024唐山一模]下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
13．[2024邯郸模拟]已知，则的平方根为（ ）
A. B. 2.828 C. D.
【答案】D
14．[2024衡水模拟]设,其中,,则的值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
15．[2024石家庄平山摸底]下列式子结果最小的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
16．[2024石家庄正定模拟]已知为正整数,若是整数，则根据，可知有最小值.设为正整数,若是大于1的整数,则的最小值为______，最大值为__.
【答案】3； 75
【解析】,为整数，的最小值为是大于1的整数，
越小，越小，则越大， 当时，有最大值，即，.
第一模块检测卷
一、选择题
1．[2024邢台一模]表示（ ）
A. 的倒数 B. 的相反数 C. 7的倒数 D. 7的相反数
【答案】A
2．[2024邯郸广平模拟]计算 ,则“ ”为 （ ）
A. 3 B. 9 C. D. 2
【答案】B
3．计算的结果是（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
4．[2024廊坊安次一模]下列各式中，运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5．[2023保定一模]对于，，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A. 都是乘法运算 B. 都是因式分解
C. ①是乘法运算，②是因式分解 D. ①是因式分解，②是乘法运算
【答案】C
6．[2024石家庄平山摸底]嘉嘉将数据“941 000”用科学记数法表示为,下列说法正确的是（ ）
A. ①应该是0.941 B. ①应该是94.1
C. ②应该是 D. ②应该是
【答案】C
7．[2024邢台一模]嘉淇在计算时，解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
.（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（ ）
A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步
【答案】B
8．[2024保定高碑店摸底]若,则的值为（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】A
9．[2024石家庄开学考]若，互为倒数，则式子的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
10．[2024邯郸武安二模]若实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
11．[2023石家庄一模]若，则的值是 （ ）
A. 2 024 B. 2 023 C. 2 022 D. 2 021
【答案】D
12．[2023衡水二模]已知，，，其中“ ”代表“、-、×、 ”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A. 若“ ”代表的是“”，则
B. 若“ ”代表的是“-”，则
C. 若“ ”代表的是“×”，则
D. 若“ ”代表的是“ ”，则
【答案】A
13．[2024石家庄裕华质检]如图，用四个长和宽分别为,的矩形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是,下列判断正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若，则 D. 若,则
【答案】C
【解析】根据大正方形的面积是64，可得该大正方形的边长是8，则,
即.若，则;
若,则;若,则；若,则．故选C.
二、填空题
14．[2023保定模拟]如图，阶梯有四级台阶，每级台阶上都标着一个数.已知第1级台阶上的数是.
（1） 若按照从下往上的顺序，每一级台阶上的数都比前一级台阶上的数大2，则第4级台阶上的数为________；
（2） 若按照从下往上的顺序，每一级台阶上的数都是前一级台阶上的数的，用科学记数法表示第4级台阶上的数为__________________.
【答案】（1）
（2）
15．[2024石家庄开学考]某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
成本（元/袋） 售价（元/袋）
甲 30 43
乙 28 36
设每天加工甲种颗粒面粉袋．
（1） 每天加工甲、乙两种颗粒面粉的总成本为____________________元（用含的代数式表示）；
（2） 当时，每天加工甲、乙两种颗粒面粉的总利润为______元．（利润售价-成本）
【答案】（1）
（2） 1 100
三、解答题
16．[2024石家庄长安质检]琪琪准备完成题目：
发现题中有一个数字“”被墨水污染了.
（1） 琪琪猜测被污染的数字“”是,请计算;
（2） 琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“”.
【解析】
（1） .
（2） 设被污染的数字为,根据题意得,解得.答：被污染的数字是.
17．[2024石家庄长安质检]某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：;
第2个等式：;
第3个等式：;
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1） 填空：______ ______；
（2） 已知且为整数，猜想第个等式（用含的等式表示），并证明.
【解析】
（1） 5 625;.
（2） （,且为整数）.证明： .
18．[2024石家庄开学考]图1是边长分别为、、的、、三种正方形．
图1
（1） 用两个种正方形组合成图2中的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积______（用含的代数式表示）；
图2
（2） 将一个种和一个种正方形组合成图3中的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积：______或______，则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为______；
图3
（3） 将种、种和种正方形组合形成图4中的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令，，，通过计算验证该等式．
图4
【解析】
（1） .
（2） ;；.
（3） .验证：，，，，，．
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2025河北版数学中考专题
第一模块 数与式
第1讲 实 数
课时1
基础练
1．[2024石家庄新华质检]的绝对值是（ ）
A． B． C． D．5
2．[2024石家庄摸底]某种零件的直径合格尺寸为，下列零件直径合格的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄桥西质检]已知，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A． B．- C．× D．
4．[2024唐山一模]下列算式中，运算结果与有理数相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄模拟]将一个数用科学记数法表示成的形式，关于和的值，下列说法不正确的是（ ）
A．的值一定小于10 B．的值可能是0.25
C．的值一定是整数 D．的值可能是负整数
6．[2023唐山二模]新情境·航空航天梦天实验舱是中国空间站第三个舱段，也是第二个科学实验舱.梦天实验舱舱体全长17.88米.下列哪个数四舍五入后可以得到近似数17.88？（ ）
A．17.873 B．17.874 C．17.884 D．17.885
7．[2024石家庄一模]如图，点，对应的数分别为，.对于结论:，，，下列说法正确的是（ ）
A．仅①②对 B．仅①③对
C．仅②对 D．①②③都对
8．[2024邢台摸底]计算________.
9．[2023石家庄模拟]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成有理数运算.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将此步的结果传递给下一人,最后得到结果.过程如图所示:
（1） 计算错误的学生有______;
（2） 请给出正确的计算过程.
10．[2024保定竞秀一模]嘉嘉和琪琪用下图中的、、三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏,两人约定:一人说数字,并将卡片从左向右任意排列;另一人按卡片排列顺序进行计算.例如,嘉嘉说出数字2,并将卡片按的顺序排列,则琪琪的运算顺序为先对2进行的运算,接着用求得的和,最后用所求得的积.列式及运算过程为.
（1） 嘉嘉说出数字,并将卡片按的顺序排列,请你帮琪琪列式并计算结果;
（2） 嘉嘉说数字,琪琪对按的顺序运算后,得到的数恰好等于12,求.
提升练
11．[2024衡水模拟]据报告,“羲和号”卫星科学载荷每天产生约的原始数据.已知,,,,那么数据等于（ ）
A． B．
C． D．
12．[2023邯郸一模]如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺按图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对应数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度，则数轴上点所对应的数为（ ）
图1 图2
A．3 B． C． D．
13．[2024石家庄模拟]新定义规定一种新运算:☆ ,如2☆.
（1） 计算:☆____________;
（2） 若2☆,则的值为____________.
14．[2023九地市模拟]老师就式子，请同学们自己出问题并解答.请你一起解答下列问题.
（1） 小磊的问题：若□代表，代表，计算该式的值；
（2） 小敏的问题：若□代表，代表，计算的结果是有理数，求有理数的值；
（3） 小捷的问题：若，且□和所代表的数互为相反数，直接写出□所代表的数的取值范围.
15．[2024廊坊广阳一模]六一到了，嘉嘉和同学要表演节目.嘉嘉先骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了到达淇淇家，继续向东骑了到达小敏家,然后又向西骑了到达学校.演出结束后又向东骑回到自己家.
（1） 以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上,分别用点表示出淇淇家，用点表示出小敏家,用点表示出学校的位置;
（2） 求淇淇家与学校之间的距离;
（3） 如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间
16．[2024邯郸广平模拟]如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，,对应的数分别是，,，已知.
（1） 判断原点在第几部分，说明理由;
（2） 若，之间的距离为3，，之间的距离为5，，求和；
（3） 若点表示的数为，数轴上一点表示的数为，当点、原点、点这三点中的一点到另外两点的距离相等时，直接写出的值.
课时2
基础练
1．[2024廊坊广阳一模]的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．[2024石家庄正定模拟]我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.如:粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
3．[2024石家庄模拟]一个有理数与相加的和为2，则这个有理数是（ ）
A．0 B．1 C．4 D．
4．[2024保定竞秀一模]下列四个数中，最小的数是 （ ）
A． B．0 C． D．
5．[2024石家庄新乐一模]的立方根是（ ）
A． B．2 C． D．不存在
6．[2024邢台任泽模拟]下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．[2024邯郸广平一模]下列各组数中,相加等于0的是（ ）
A．与 B．1与
C．2与 D．1与
8．[2024邯郸广平模拟]实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2024张家口联考]某地2024年3月份的旅游收入可以写成（是整数）元,把这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．[2024石家庄桥西质检]如图，数轴上点表示的数是，若，则点表示的数是________________________.
11．[2024张家口联考]如图,数轴上的,两点表示的数分别为,1.把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上,并在胶片上描出线段（点,分别对应点,）.左右平移该胶片,平移后的点表示的数为 ,点表示的数为.
（1） 计算:;
（2） 若胶片向右平移个单位长度,求的值（用含的式子表示）.
12．[2024邢台摸底]嘉淇连续记录了他家私家车6天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“-”.
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
路程/千米 10
（1） 求这六天一共行驶多少千米;
（2） 已知行驶100千米需用汽油8升，该私家车开始时有24升汽油，在上述连续行驶6天后,第七天最多还能行驶多少千米
提升练
13．[2024邢台一模]红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是8位小数 D．是7位小数
14．[2024邢台任泽模拟]如图,、为数轴上的两点,为的中点,点,对应的数分别为,,且.若点关于原点对称的点为，且的长度为10,则点对应的数为（ ）
A．4 B．5 C． D．
15．[2023邯郸一模改编]如图，直径为个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.
（1） 把圆片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是______；
（2） 把圆片沿数轴朝同一方向滚动2周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是______；
（3） 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，.
① 当圆片结束滚动时，求点对应的数；
② 在滚动的过程中，共经过______次数轴上表示3的点；第______次滚动后，点距离原点最远.
第2讲 代数式与整式
基础练
1．[2024九地市摸底]“4与的平方的积”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．[2024沧州一模]计算：，则处的运算符号是（ ）
A．- B． C．× D．
3．[2024唐山一模]下列各组式子中，不一定相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．[2024石家庄长安质检]整式,,下列结论:
结论一:;
结论二:,的公因式为.
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确,结论二不正确 B．结论一不正确,结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
5．[2024邢台任泽升学考]化简的结果为 （ ）
A．2 B．4 C． D．
6．[2024廊坊广阳一模]把分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2024保定高碑店摸底]（ ）,则（ ）里的整式为__________.
8．[2024衡水模拟]多项式合并同类项后不含项,则的值是______.
9．[2023邢台一模]有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（如图）.现取甲纸片1块，乙纸片1块，丙纸片2块紧密地拼接成一个大正方形（互不重叠），则大正方形的边长为________.（用含的代数式表示）
10．新定义[2024保定竞秀一模]定义一种新运算,规定,例：.
（1） 已知,,分别求,;
（2） 通过计算比较与的大小.
11．[2024九地市摸底]数学课上,老师给出一个整式（其中,为常数）,然后让同学给，赋予不同的数值进行探究.
（1） 甲同学给出一组数据,最后计算的结果为，请分别求出甲同学给出的,的值;
（2） 乙同学给出了,,请按照乙同学给出的数值代入化简，并说明该整式的结果为非负数.
提升练
12．[2024保定莲池一模]若,则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
13．[2024石家庄开学考]对于任意自然数，关于代数式的值，下列说法错误的是（ ）
A．总能被3整除 B．总能被4整除
C．总能被6整除 D．总能被7整除
14．[2023沧州二模]甲、乙、丙三个盒中分别放有不同数量的棋子，其中甲盒中棋子的个数为，乙盒中棋子的个数是甲盒中棋子个数的2倍，丙盒中棋子的个数比乙盒中棋子的个数少.
（1） 请用含的代数式表示乙盒中棋子的个数：________，丙盒中棋子的个数：________.
（2） 现从三个盒中分别拿出一些棋子后，使每个盒中剩下的棋子个数均相等.若从丙盒中拿出的棋子个数比从甲盒中拿出的棋子个数多3，从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，则从三个盒中拿出的棋子个数总和是__.
15．[2024廊坊安次一模]如图,分别以,,,为边长作正方形,已知且满足,.
图1 图2
（1） 若,,则图1中阴影部分的面积是__;
（2） 若图1中阴影部分的面积为3,图2中四边形的面积为5,则图2中的阴影部分的面积是________.
16．[2024廊坊安次一模]现有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片,如图1.将两张小正方形卡片放在大正方形卡片上,如图2.将三张小正方形卡片放在大正方形卡片上,如图3.
图1 图2 图3
（1） 请用含有,的代数式分别表示图2,图3中阴影部分的面积;
（2） 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大,求小正方形卡片的面积.
17．[2024唐山一模]数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”.
小亮写出如下算式:；；.
发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
（1） 证明:是“佳偶和谐式”;
（2） 证明:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”;
（3） 小红通过对小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题.
微专题1 乘法公式的几何变形
1．如图，现有足够多的型号为①②③的正方形卡片和矩形卡片，分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的矩形.小星想用拼图前后面积之间的关系，解释多项式乘法，则其中②和③型号卡片需要的张数各是（ ）
A．3和7 B．2和3 C．5和7 D．2和7
2．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形.已知大正方形的面积是196,小正方形的面积是4,若用,表示矩形的长和宽,则下列关系式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知甲是边长为的正方形，乙是边长为的正方形，若先将乙放在甲的内部得到图（1），图（1）中阴影部分的面积是4；再将甲、乙并列摆放，以甲、乙的边长之和为新的边长构造大正方形得到图（2），面积是100，则甲的面积是__，乙的面积是__．
甲 乙 图（1） 图（2）
4．有边长为的大正方形和边长为的小正方形，现将放在内部得到图甲，将，并列放置后，构造新的正方形得到图乙，图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12，则
图甲 图乙 图丙
（1） 根据图甲、乙中阴影部分的面积，可以得到______，______；
（2） 若3个大正方形和2个小正方形按图丙方式摆放，则阴影部分的面积为__．
5．现有甲、丙型正方形卡片，乙型矩形卡片若干张，卡片的边长如图1所示.同学们分别用若干张卡片拼出不重叠且无缝隙的图形.
图1 图2
（1） 嘉嘉用一张甲型卡片和两张乙型卡片拼出如图2所示的图形，面积记为，请你用，表示出面积，并求出当，时的值.
（2） 琪琪对嘉嘉说：“我在你拼的图形里再放一张卡片就能拼成一个大正方形.”
① 琪琪放入的卡片是______（填“甲”“乙”或“丙”）；
② 根据琪琪新拼出的图形的面积，可以得到一个等式，请直接写出这个等式.
6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得等式.
图1
（1） 由图2，可得等式：______；
（2） 利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值；
图2
（3） 如图3，将两个边长分别为、的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若，，请求出阴影部分的面积.
图3
7．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为,的矩形．
图1
（1） 选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式：______．
图2
（2） 图3是由若干张,,三种卡片拼成的一个矩形，观察图形，可将多项式分解因式为______．
图3
（3） 选取1张型卡片，4张型卡片按图4的方式不重叠地放在矩形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（矩形）的面积分别表示为,，若，且为定值，则与有什么关系？请说明理由．
图4
第3讲 分式
基础练
1．[2024衡水模拟]若,则可以是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024九地市摸底]化简式子的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024石家庄正定模拟]若的运算结果为,则在“”中添加的运算符号为（ ）
A． B．- C．或× D．-或
4．[2024石家庄新华质检]化简的结果是 （ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄长安质检]在课堂上老师给出了一道运算题:计算,以下变形过程正确的是（ ）
A．原式 B．原式
C．原式 D．原式
6．[2023邯郸武安一模]已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
7．[2024邢台任泽模拟]若,则的值为 （ ）
A．负数 B．非负数 C．0 D．正数
8．[2024廊坊广阳一模]如果分式的值为0，则的值为______.
9．[2024石家庄模拟]已知分式（为常数）满足下表中的信息，则______,______.
的取值
分式 无意义 值为3
10．[2024石家庄一模]老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
（1） 写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
（2） 请你写出正确的解答过程．
提升练
11．[2024石家庄平山摸底]如图，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（ ）
A． B． C． D．
12．[2023沧州模拟]下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（ ）
； ；
； .
A．① B．② C．③ D．④
13．[2024石家庄裕华质检]用替换分式中的后,经过化简,结果是（ ）
A． B． C． D．
14．[2024邯郸模拟]若为正整数，则表示的值的点落在如图所示区域的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
15．[2023邯郸一模]甲、乙两人去同一家超市购买大米各两次，甲每次购买10千克的大米，乙每次购买50元的大米，这两人第一次购买大米时，大米的售价为元/千克，第二次购买大米时，大米的售价为元/千克，解答：
（1） 甲两次购买大米的总费用为________________元；
（2） 乙两次购买大米的平均价格为____________
元/千克；
（3） 若规定两次购买大米的平均价格较低的称为更合算的购买方式，则甲、乙两人的购买方式更合算的是__.
16．[2023石家庄模拟]我们知道：分式和分数有着很多的相似点.类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质.小学把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如.
（1） 下列分式中，属于真分式的是______.
A． B． C． D．
（2） 将假分式化成整式和真分式的和的形式.
第4讲 二次根式
基础练
1．[2024石家庄新华模拟]化简的结果是（ ）
A． B．4 C． D．2
2．[2024石家庄开学考]与的结果不相等的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．[2024石家庄裕华质检]已知,则可能是（ ）
A． B．2 C． D．
4．[2024保定莲池一模]下列关于的变形，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023江苏扬州]已知,,,则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024石家庄新乐模拟]若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
7．[2023张家口二模]下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2024石家庄桥西质检]比较大小：____2.
9．[2024邢台一模]若，则“ ”是______.
10．[2024廊坊安次一模]计算：________．
11．[2024河北省级联考]若式子有意义，请写出一个符合条件的的整数值：________________．
提升练
12．[2024唐山一模]下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．[2024邯郸模拟]已知，则的平方根为（ ）
A． B．2.828 C． D．
14．[2024衡水模拟]设,其中,,则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
15．[2024石家庄平山摸底]下列式子结果最小的是 （ ）
A． B．
C． D．
16．[2024石家庄正定模拟]已知为正整数,若是整数，则根据，可知有最小值.设为正整数,若是大于1的整数,则的最小值为______，最大值为__.
第一模块检测卷
一、选择题
1．[2024邢台一模]表示（ ）
A．的倒数 B．的相反数
C．7的倒数 D．7的相反数
2．[2024邯郸广平模拟]计算 ,则“ ”为 （ ）
A．3 B．9 C． D．2
3．计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
4．[2024廊坊安次一模]下列各式中，运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023保定一模]对于，，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是乘法运算
B．都是因式分解
C．①是乘法运算，②是因式分解
D．①是因式分解，②是乘法运算
6．[2024石家庄平山摸底]嘉嘉将数据“941 000”用科学记数法表示为,下列说法正确的是（ ）
A．①应该是0.941 B．①应该是94.1
C．②应该是 D．②应该是
7．[2024邢台一模]嘉淇在计算时，解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
.（第四步）
已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
8．[2024保定高碑店摸底]若,则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．[2024石家庄开学考]若，互为倒数，则式子的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
10．[2024邯郸武安二模]若实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．[2023石家庄一模]若，则的值是 （ ）
A．2 024 B．2 023 C．2 022 D．2 021
12．[2023衡水二模]已知，，，其中“ ”代表“、-、×、 ”中的一种运算符号，下列说法正确的是（ ）
A．若“ ”代表的是“”，则
B．若“ ”代表的是“-”，则
C．若“ ”代表的是“×”，则
D．若“ ”代表的是“ ”，则
13．[2024石家庄裕华质检]如图，用四个长和宽分别为,的矩形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是,下列判断正确的是（ ）
A．若,则 B．若,则
C．若，则 D．若,则
二、填空题
14．[2023保定模拟]如图，阶梯有四级台阶，每级台阶上都标着一个数.已知第1级台阶上的数是.
（1） 若按照从下往上的顺序，每一级台阶上的数都比前一级台阶上的数大2，则第4级台阶上的数为________；
（2） 若按照从下往上的顺序，每一级台阶上的数都是前一级台阶上的数的，用科学记数法表示第4级台阶上的数为__________________.
15．[2024石家庄开学考]某面粉加工厂加工甲、乙两种颗粒面粉，每天共加工两种面粉100袋，相关信息如下表：
成本（元/袋） 售价（元/袋）
甲 30 43
乙 28 36
设每天加工甲种颗粒面粉袋．
（1） 每天加工甲、乙两种颗粒面粉的总成本为____________________元（用含的代数式表示）；
（2） 当时，每天加工甲、乙两种颗粒面粉的总利润为______元．（利润售价-成本）
三、解答题
16．[2024石家庄长安质检]琪琪准备完成题目：发现题中有一个数字“”被墨水污染了.
（1） 琪琪猜测被污染的数字“”是,请计算;
（2） 琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“”.
17．[2024石家庄长安质检]某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：;
第2个等式：;
第3个等式：;
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1） 填空：______ ______；
（2） 已知且为整数，猜想第个等式（用含的等式表示），并证明.
18．[2024石家庄开学考]图1是边长分别为、、的、、三种正方形．
图1
（1） 用两个种正方形组合成图2中的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积______（用含的代数式表示）；
图2
（2） 将一个种和一个种正方形组合成图3中的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积：______或______，则根据这个大正方形面积的不同表示方法，可以得到的乘法公式为______；
图3
（3） 将种、种和种正方形组合形成图4中的图形，此时的外边框可以围成一个大的正方形，根据（2）中乘法公式的生成过程，直接写出所得到的等式，并令，，，通过计算验证该等式．
图4
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