第六章 平面向量及其应用6.1-6.3 练习（含解析）

第六章 平面向量及其应用
6.1-6.3 练习
一、选择题
1．下列说法错误的是（　　）
A． B．所有的单位向量的模均相等
C．零向量与任何向量共线 D．相等向量必为共线向量
2．下列表达式化简结果与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知向量，满足，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知与为两个不共线的单位向量，则（　　）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
6．已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是（　　）
A．
B．若且，则
C．若非零向量且，则
D．若，则有且只有一个实数，使得
10．已知平面向量，则下列说法正确的有（　　）
A．一定可以作为一个基底
B．一定有最小值
C．一定存在一个实数使得
D．的夹角的取值范围是
11．在中，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
12．在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（　　）
A．若点在上时，则
B．的取值范围为
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数　 　．
14．在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是　 　.
15．如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为　 　.
16．已知存在对于任意的实数，不等式则实数T的取值范围为　 　．
四、解答题
17．已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角．
18．在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
（1）分别用向量，表示向量，；
（2）若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
19．如图，在中，是的中点，．
（1）若，，求；
（2）若，求的值．
20．已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
参考答案
1．A
解：对A：因为，故A错；
对B：因为所有的单位向量的模均为1，故B正确；
对C：规定：零向量与任何向量共线，故C正确；
对D：因为相等向量方向相同，所以相等向量必共线，故D正确.
2．B
3．B
4．B
5．D
解：A、若，则，即，与与为两个不共线的单位向量矛盾，故A错误；
B、设向量与的夹角为，则，，
则，故B错误；
C、若，则，
，，即，
，又因为，所以，故C错误；
D、因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故D正确.
6．B
因为向量与所成的角为60° ，，所以，
因为对任意实数恒成立，
所以，两边平方，
整理得到，
对任意实数恒成立，则，解得，则.
由于，如上图，，则
，则的最小值为．
当且仅当终点在同一直线上时取等号.
7．C
8．B
9．A,C
10．B,C
解：A、若，即，即，则不能作基底，故A错误；
B、，则有最小值，故B正确；
C、若，则有
即，即，即，
解得，即当时，，故C正确；
D、由A知，若，则，即，则只能同向不能反向，故D错误.
11．A,B,D
12．A,D
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设，
因为，所以，所以，
A、由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，所以，故A正确；
B、因为，所以，所以，
因为，所以，所以，故B错误；
C、因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，所以不成立，故C错误；
D、，当且仅当时取等号，
故当在线段上时，的最小值为，故D正确.
13．
解：因为，，所以，又因为，所以，解得.
14．
解：在中，，则，
因为，则，
又因为三点共线，所以，结合题意知，
则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
15．4
16．
17．（1）已知平面向量，，则，则
（2）设与的夹角为，则
18．（1）解：因为为的中点，为边上靠近点B的三等分点，所以 ，
则，
；
（2）解：因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.
19．（1）解：为中点，，
，.
（2）解：，，，
三点共线，，解得：.
20．（1）解：
，
则函数的最小正周期.
（2）解：由（1）可知，
当，即时，取得最大值为，
则，，
因为平分，所以，
则点分别到的距离，
由，
则，
即，整理可得，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故最小值为.
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