八年级数学下册试题 18.2.2 菱形的判定 （含答案）

18.2.2 菱形的判定
一、单选题：
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．已知，用没有刻度的直尺和圆规作菱形ABCD，下面的作法中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，在四边形中，对角线相交于点O，．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，、分别为边、的中点，点、在上，且，若添加一个条件使四边形是菱形，则下列可以添加的条件是　　
A． B． C． D．
5．如图，已知O是矩形的对角线的交点，，作//，//，与相交于点E．若四边形的周长是24，则的长为（ ）
A．12 B． C． D．6
6．如图，菱形纸片中，，为的中点，折叠菱形纸片，使点落在所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数是( )
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．25
二、填空题：
8．如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是________（写出一个即可）．
9．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分的面积为______．
10．如图，四边形中，，，，分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件______．
11．如图，菱形中，，相交于，于，连接，，则的度数为___________．
12．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为______．
三、解答题：
13．如图，在矩形纸片中，，，是边上一点，折叠纸片使点与点重合，其中为折痕，连结、．若，求的长．
14．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点E，交于F，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
15．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
16．如图，在中，、分别是、的中点．，延长到点，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
17．已知：四边形中，，，点E在对角线上，F在边上，连接，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求长．
18．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AD=9cm，BC=13cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向终点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ts．
(1)若AB=3cm，求CD的长；
(2)当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
(3)探究：当线段AB的长为多少时，第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形？
答案
一、单选题：
1．D
【分析】根据平行四边形或菱形的定义或判定求解．
【详解】解：A．同一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意；
C．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，不符合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】根据菱形的判定定理即可解答．
【详解】解：由作图可知，选项C中，四边形ABCD是菱形（理由是对角线互相平分且垂直）
故选：C．
3．A
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
故选A．
4．D
【分析】根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，连接交于，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：可以添加的条件是，
理由：四边形是平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
连接交于，
，，
，
四边形是菱形，
故选：D．
5．B
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC = OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，再利用已知得出菱形的边长，即可得出答案．
【详解】∵DE//AC， CE//BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
AC= BD， OD=BD，OC=AC，AB//CD，∠DCB = 90°，
∴OD= OC， OA= OB，
∵∠AOB=60°，
OAB为等边三角形，
∴∠BAC=∠DCA = 60°，
OCD为等边三角形，
∴DC=OD=OC，
∴平行四边形OCED为菱形，
∴OC=CE=DE=OD，
∴ OC+ CE+ DE+OD = 24，
∴OD= 24÷4= 6，DC= 6，
∴BD=6×2= 12，
在Rt BCD中，由勾股定理可得：
BC=，
故选：B．
6．C
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．
故选C．
7．A
【分析】利用基本作图得到，，根据平行四边形的性质得，则，所以，从而得到，于是可判断四边形为菱形，于是可得到四边形的周长．
【详解】解：由作法得，平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
而BE∥AF，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长．
故选：A．
二、填空题：
8．（答案不唯一）
【分析】根据菱形的判定即可解．
【详解】是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠FAC=∠ECA，∠AFE=∠FEC，
∵AO=CO
∴△AOF≌△COE(AAS)
∴AF=CE
又∵AF=CE
四边形AECF 是平行四边形，
又∵
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：（答案不唯一）
9．
【分析】首先过点作于点于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案．
【详解】过点作于点于点，
根据题意得：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理： ，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故答案为： ．
10．
【分析】根据菱形的性质定理分析即可求解．
【详解】因为四边形EFGH为菱形，
所以，
∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】由题意根据菱形的性质得出∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE=90°，∠DEB=90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD=OE，求出∠ODE=∠OED即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=40°，
∴∠DAO=∠BAD=20°，AC⊥BD，DO=BO，AD∥BC，
∴∠DOA=90°，
∴∠ADO=90°-∠DAO=70°，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠ODE=∠AD∠E-∠ADO=20°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵DO=BO，
∴OE=BD=OD，
∴∠OED=∠ODE=20°，
故答案为：20°．
12．
【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：等边的边长为，将向右平移到的位置，
cm，,
四边形是菱形，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题：
13．解：∵B、E两点关于直线对称，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
设菱形的边长为x，
∴，
在中，，
∴，
∴解得：．
∴．
14．（1）解：证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，，，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）设，则，
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
即．
15．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，
∵DE=OB，
∴OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3．
16．（1）为的中点，
为的中位线，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵
四边形是菱形；
（2），
，
，
；
四边形是菱形，
，
为等边三角形，
菱形的面积为：．
17．（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，，设，，则，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
18．（1）过点D作DE⊥BC于点E．则∠DEB=90°，
∵ ADBC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，即∠A=∠B=∠DEB=90°
∴四边形ABED是矩形，
∴AB=DE=3，BE=139=4，
在Rt△DEC中，（cm）
（2）由题意得，，，
∵ADBC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
即，解得．
∴当t为3s时，四边形PDCQ是平行四边形．
（3）当时，，当DP=DC=6时，平行四边形PDCQ是菱形，
又∵CE=4cm,
∴DE=AB=
即当AB=cm时， 第（2）小题中的四边形PDCQ是菱形．