八年级数学下册试题 第十六章 《二次根式》单元测试卷（含答案）

第十六章 《二次根式》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．使二次根式有意义的的值为(　　)
A． B． C． D．
3．已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．下列语句中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若a为任意实数，则 D．若a为任意实数，则
8．若，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
9．在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可）
13．比较大小： （填“>”“=”或“<”） ．
14．若有意义，则实数的取值范围是 ．
15．定义关于“”的新运算：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．按上述定义，计算： ．
16．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九临公式”：如果一个三角形的三边长分别为，则三角形的面积．依据上述公式，若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)（，，）．
18．计算：
(1) (2)
19．已知是最简二次根式，且与可以合并．
(1)求x的值；
(2)求与的乘积．
20．已知，，求下列各式的值．
(1)．
(2)．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值．
22．若，化简，某同学的解答过程如下图．
(1)该同学的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：当时，________；当时，________；
(2)写出原题正确的解答过程；
(3)若实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．
23．观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简：
如：；
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：；
(2)若，且，，均为正整数，则的值为______．
25．观察下列计算：
；……
则：
(1)__________；__________；
(2)从计算结果找出规律；____________；
(3)利用这一规律计算：
的值．
答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、，若时，无意义，不符合题意；
D、被开方数小于0，无意义，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可得出结论．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故x的值可以为，
故选：D．
3．A
【分析】把代入进行计算即可．
【详解】解：当时，，
故选A．
4．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：根据加减乘除法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，该选项是错误的；
B、与不是同类项，故选项是错误的；
C、，故选项是错误的；
D、，故选项是正确的；
故选：D
5．B
【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
故选B．
6．A
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
，
，
，即，
的值应在4和5之间．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了二次根式的性质，，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴若，则，故A正确；
若，则，
∴，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A
8．D
【分析】根据，有意义可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，有意义，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积
故选：A．
10．A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，即，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴，
故选：A．
二、填空题
11．
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．3（答案不唯一）
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：当时，是最简二次根式，
故答案为：3（答案不唯一）．
13．>
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．且
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为0”以及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：且，
故答案为：且．
15．3
【分析】利用题中的新定义化简，计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
则原式，
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可．
【详解】解：根据，的三边长分别为5，6，7，
，
故答案为：．
三、
17．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
18．（1）解：；
（2）解：．
19．（1）解：∵是最简二次根式，且与可以合并，
∴，
解得；
（2）解：当时，．
20．（1）解：∵，，
∴，
，
∴；
（2）．
四、
21．（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，
∴．
∴．
（2）∵与是关于2的共轭二次根式，
∴．
∴．
∴．
22．（1）解：该同学的解答从第二步开始出现错误，
二次根式的性质为，
故答案为：二，，．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：由数轴可得，，，，
∴．
23．（1）解：由题意可得：第四个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想的第n个等式为：，
验证：
所写等式正确．
五、
24．（1）解：
；
（2）∵，
即：，
∴，
∵，，均为正整数，
∴或，
∴当时，；
当时，；
故答案为：6或9．
25．（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：（是正整数）；
（3）解：
．