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课题：8.3实际问题与二元一次方程组
教学目标：
能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的等量关系，列出方程组，并解决生活中一些实际问题.
重点：
分析题目给出的实际问题，找出题中的等量关系，根据等量关系，列二元一次方程组.
难点：
根据题目找出等量关系.
教学流程：
一、知识回顾
问题：解决实际问题的基本思路：
( http: / / www.21cnjy.com )
二、探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约 ( http: / / www.21cnjy.com )用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg.你能通过计算检验他的估计吗？21世纪教育网版权所有
问题1：“你能通过计算检验他的估计吗？”如何理解这句话？
问题2：题中有哪些未知量？
答案：每头大牛1天饲料用量和每头小牛1天饲料用量这两种未知的量．
问题3：题中包含哪些等量关系？
答案：
30头大牛1天所需饲料＋15头小牛1天所需饲料＝原来1天的饲料总量
42头大牛1天所需饲料＋20头小牛1天所需饲料＝现在1天的饲料总量
问题4：你能根据数量关系列出方程组吗？
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.根据题意，得
追问：你能用一元一次方程解决这个问题吗？
解这个方程组，得
答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.21·cn·jy·com
问题5：在列方程组之前我们先做了哪些工作？
练习1：某市现有42万人，预计一年后城镇人 ( http: / / www.21cnjy.com )口将增加0.8%，农村人口将增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现有城镇人口与农村人口各多少万人？
解：设这个市城镇人口x万人，农村人口y万人.根据题意可列方程组：
或
解这个方程组，得
答：这个市现有城镇人口14万人，农村人口28万人.
三、探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的 ( http: / / www.21cnjy.com )比是1：2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4？www.21-cn-jy.com
问题1：本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：长度涉及的数量关系：
答案：AE＋BE＝200m
问题3：产量比与种植面积的比有什么关系
答案：甲总产量：乙总产量＝S甲：S乙×2
问题4：你能根据数量关系列出方程组，并解决这个问题吗？
解：如图，一种种植方案为：甲乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
此时设AE＝xm，BE＝ym，根据由题意可列方程组：
解这个方程组，得：
答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物.2·1·c·n·j·y
问题5：你还能设计其他种植方案吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
数量关系：
AE＋DE＝100m
甲总产量：乙总产量＝S甲：S乙×2
练习2：有两个长方形，第一 ( http: / / www.21cnjy.com )个长方形长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长、宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长多112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还多6cm，求这两个长方形的面积.【来源：21·世纪·教育·网】
解：设第一个长方形长为5xcm，则宽为4xcm;第二个长方形长为3ycm，则宽为2ycm.根据题意可列方程组：21·世纪*教育网
解得：
∴第一个长方形面积为：5×9×4×9＝1620(cm2)
第二个长方形面积为：3×5×2×5＝150(cm2)
答：这两个长方形的面积分别为1620cm2、150cm2.
四、探究3
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁 ( http: / / www.21cnjy.com )路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？www-2-1-cnjy-com
问题1：“1.2元/(t·km)”是什么意思？
答案：每吨货物每千米的运费是1.2元
问题2：销售款与哪种量有关？原料费与哪种量有关？
答案：产品数量；原料数量
问题3：公路运费和铁路运费与哪些量有关呢？
答案：产品数量；原料数量
问题4：题中包含哪些等量关系
答案：
产品的公路运费＋原料的公路运费＝公路总运费
产品的铁路运费＋原料的铁路运费＝铁路总运费
问题5：你能完成下面的表格吗？
产品xt 原料yt 合计
公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 1.5(20x＋10y)
铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y 1.2(110x＋120y)
价值/元 8000x 1000y
问题6：现在，你能解决这个问题了吧？
解：设制成xt产品，购买yt原料.根据题意可列方程组：
解得：
分析：题目所求数值＝销售款－原料费－运输费
销售款：8000x＝8000×300＝2400000
原料费：1000y＝1000×400＝400000
∴2400000－800000－15000－97200＝1887800
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
练习3：一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：21cnjy.com
第一次 第二次
甲种货车/辆 2 5
乙种货车/辆 3 6
累计运货吨数/吨 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗 2-1-c-n-j-y
解：设每辆甲车装x吨，每辆乙车装y吨，根据题意可列方程：
解这个方程组，得：
∴应付运费：30×(3×4＋5×2.5)＝735
答：货主应付运费为735元.
五、归纳
解决实际问题的基本思路：
( http: / / www.21cnjy.com )
六、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.如何用二元一次方程组解决实际问题？
2.在什么情况下考虑选择设间接未知数？
七、达标测评
1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐 ( http: / / www.21cnjy.com )厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐.若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5500名学生就餐？请说明理由。
解：设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐，根据题意可列方程组：
解得：
若7个餐厅同时开放，则有：5×960＋2×360＝5520
5520＞5500
答：若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5500名学生就餐.
2.从甲地到乙地的路有一段上坡与一 ( http: / / www.21cnjy.com )段平路.如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min，甲地到乙地全程是多少 21教育网
解：设坡路长xkm，平路长ykm，根据题意可列方程组：
解得：
∴x＋y＝3.1
答：甲地到乙地全程是3.1km.
3.某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接 ( http: / / www.21cnjy.com )销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，若制成奶片销售，每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下：每天可加工3吨酸奶或1吨奶片，受人员和季节的限制，两种方式不能同时进行.受季节的限制，这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕，为此该厂制定了两套方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成
你认为哪种方案获利最多，为什么
解：
方案一：生产奶片4天，共制成4吨奶片，获利2000×4＝8000(元)
其余5吨直接销售，获利500×5＝2500(元)
∴共获利：8000＋2500＝10500(元)
方案二：设生产奶片用x天，生产酸奶用y天，根据题意可列方程组：
解得：
∴共获利：1.5×1×2000＋2.5×3×1200＝12000(元)
10500＜12000
答：第二种方案获得最多，为12000元.
八、布置作业
教材101页习题8.3第2、6题．
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
8.3 实际问题与二元一次方程组
学校：________
教师：________
知识回顾
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
或
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
解决实际问题的基本思路：
如何理解这句话？
探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
题中有哪些未知量？
每头大牛1天饲料用量和每头小牛1天饲料用量这两种未知的量．
题中包含哪些等量关系？
30头大牛1天所需饲料＋15头小牛1天所需饲料＝原来1天的饲料总量
42头大牛1天所需饲料＋20头小牛1天所需饲料＝现在1天的饲料总量
你能通过计算检验他的估计吗？
探究1
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7 ～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
30头大牛1天所需饲料＋15头小牛1天所需饲料＝原来1天的饲料总量
42头大牛1天所需饲料＋20头小牛1天所需饲料＝现在1天的饲料总量
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.根据题意，得
你能用一元一次方程解决这个问题吗？
探究1
饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7 ～8 kg.
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.根据题意，得
解这个方程组，得
答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg．
18～
20 kg
7 ～8 kg
因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，
对小牛的食量估计偏高.
在列方程组之前我们先做了哪些工作？
练习1
某市现有42万人,预计一年后城镇人口将增加0.8%,农村人口将增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现有城镇人口与农村人口各多少万人？
答：这个市现有城镇人口14万人，农村人口28万人.
解：设这个市城镇人口x万人，农村人口y万人.根据题意可列方程组：
解这个方程组，得
探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
分析：本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？
甲
乙
长度涉及的数量关系：
AE＋BE＝200m
探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
甲
乙
产量比与种植面积的比有什么关系
甲总产量:乙总产量＝S甲:S乙×2
1:2
AE＋BE＝200m
探究2
甲
乙
甲总产量:乙总产量＝S甲:S乙×2
解：如图，一种种植方案为：甲乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
此时设AE＝xm, BE＝ym，根据由题意可列方程组：
解这个方程组，得：
答： 过长方形土地的长边上离一端120m处,作这条边的垂线，把这块土地分为两个长方形.较大一块地种甲种作物,较小一块地种乙种作物.
探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
甲
乙
AE＋DE＝100m
甲总产量:乙总产量＝S甲:S乙×2
你还能设计其他种植方案吗？
练习2
有两个长方形,第一个长方形长与宽之比为5∶4,第二个长方形的长、宽之比为3∶2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长多112cm,第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还多6cm,求这两个长方形的面积.
解:设第一个长方形长为5xcm,则宽为4xcm;第二个长方形长为3ycm,则宽为2ycm.根据题意可列方程组：
∴第一个长方形面积为：5×9×4×9=1620(cm2)
第二个长方形面积为：3×5×2×5=150(cm2)
解得：
答：这两个长方形的面积分别为1620cm2 、150cm2.
探究3
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
销售款
与哪种量有关？
产品数量
原料费
与哪种量有关？
原料数量
公路运费和铁路运费与哪些量有关呢？
末知的量
x t
y t
题中包含哪些等量关系
产品的公路运费＋原料的公路运费＝公路总运费
产品的铁路运费＋原料的铁路运费＝铁路总运费
1.5×20x
1.2×110x
1.2×120y
1.5×10y
探究3
产品x t 原料y t 合计
公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 1.5(20x+10y)
铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y 1.2(110x+120y)
价值/元 8 000x 1 000y
现在，你能完成下面的表格吗？
15000
972000
解：设制成xt产品，购买yt原料.根据题意可列方程组：
解得：
销售款：
8000x＝8000×300＝2400000
原料费：
1000y＝1000×400＝400000
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
题目所求数值＝销售款－原料费－运输费
∴2400000－800000－15000－97200＝1887800
练习3
一批货物要运
往某地，货主准备租
用汽车运输公司的甲
、乙两种货车，已知
过去两次租用这两种
货车的情况如右表：
第一次 第二次
甲种货车/辆 2 5
乙种货车/辆 3 6
累计运货吨数/吨 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付运费30元计算,你能算出货主应付运费多少元吗
解:设每辆甲车装x吨，每辆乙车装y吨，根据题意可列方程：
解这个方程组，得:
∴应付运费：30×(3×4＋5×2.5)＝735
答：货主应付运费为735元.
归纳
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
或
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
解决实际问题的基本思路：
今天我们学习了哪些知识？
1.如何用二元一次方程组解决实际问题？
2.在什么情况下考虑选择设间接未知数？
体验收获
达标测评
1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐. 若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5500名学生就餐？请说明理由。
解: 设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐，根据题意可列方程组：
解得:
若7个餐厅同时开放，则有: 5×960+2×360=5520
答:若7个餐厅同时开放,可以供应全校的5500名学生就餐.
5520＞5500
达标测评
2.从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少
解：设坡路长xkm,平路长ykm,根据题意可列方程组：
解得：
∴x＋y＝3.1
答：甲地到乙地全程是3.1km.
达标测评
3.某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成
你认为哪种方案获利最多,为什么
达标测评
解：
方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利2000×4=8000 (元)
其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元)
∴共获利:8000+2500=10500(元)
方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天，根据题意可列方程组：
∴共获利:1.5×1×2000＋2.5×3×1200＝12000 (元)
解得：
10500＜12000
答：第二种方案获得最多，为12000元.
布置作业
教材101页习题8.3第2、6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
8.3 实际问题与二元一次方程组
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题(每小题6分，共30分)
1.甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则 ( http: / / www.21cnjy.com )甲跑5秒就可以追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可以追上乙.设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据题意，下列选项中所列方程组正确的是( )www.21-cn-jy.com
A. B.C. D.
2.某市准备对一段长120m ( http: / / www.21cnjy.com )的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x＋y）的值为( )2·1·c·n·j·y
A.5 B.10 C.15 D.20
3.某景点门票价格：成人票每张70元， ( http: / / www.21cnjy.com )儿童票每张35元.小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是( )
A.B. C. D.
4.我校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. D.
5.如图，宽为50cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )
A.400cm2 B.500cm2 C.600cm2 D.300cm2
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第5题图 第10题图
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.某校去年有学生1000名，今年比去 ( http: / / www.21cnjy.com )年增加4.4％，其中寄宿学生增加了6％，走读学生减少了2％。问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？设去年有寄宿学生x名，走读
学生y名，则可列出方程组为 .
7.阅读诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数； ( http: / / www.21cnjy.com )两只栖一树，三只没去处；三只栖一树，闲了两棵树；请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的群鸦有 只.
8.2015年年底，NBA运动员科比宣布将在 ( http: / / www.21cnjy.com )本赛季结束后退役，一代名将即将告别喜欢他的无数球迷.科比两分球和三分球一共投进了25个，两项共得57分，若果设他分别投中
了x个两分球和y个三分球，可得二元一次方程组 .
9.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，交换位置后，所得的新两位数比原两位数的4倍少9，则原两位数是________.21cnjy.com
10.如图，在长方形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD＝12cm，FG＝4cm，则图中阴影部分的总面积是 .
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
12.为了保护生态平衡，绿化环境，国 ( http: / / www.21cnjy.com )家大力鼓励“退耕还林、还草”，其补偿政策如表（一）；某农户承包了一片山坡地种树种草，所得到国家的补偿如表（二）.问：该农户种树、种草各多少亩？21·cn·jy·com
表（一）种树、种草每亩每年补粮补钱情况表
种树 种草
补粮 150千克 100千克
补钱 200元 150元
表（二）该农户收到乡政府下发的当种树种草亩数及年补偿通知单
种树、种草 补粮 补钱
30亩 4000千克 5500元
参考答案
( http: / / www.21cnjy.com )
∴x＋y＝20.
故选：A.
3.B
【解析】根据“小明买20张门票”可得方 ( http: / / www.21cnjy.com )程：x＋y＝20；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：70x＋35y＝1225，把两个方程组合即可.
解：设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意得，
，
故选：B.
4.C
【解析】解：设运动员人数为x人，组数为y组，
由题意得，
故选C.
5.A
【解析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据等量关系：小长方形的长＋小长方形的宽＝50cm，小长方形的长＋小长方形宽的4倍＝小长方形长的2倍，可列方程组，解得，则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2.
故选A.
6.
【解析】根据题意可知：寄宿生＋走读生＝总的学生数，可列方程x＋y＝1000；然后根据总人数增加后的人数＝寄宿生增加后的人数＋走读生增加后的人数，可列方程1.06x＋0.98y＝1000×0.044，联立方程组为.
7.21
【解析】本题首先设鸦x只，树y棵.根据题意得： 解得：
8..
【解析】解：设他分别投中了x个两分球和y个三分球，
根据题意得：.
9.15
【解析】设原两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y.根据题意有
解得所以原两位数是15.
10.48
【解析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据图形可得
①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝48.
11.（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱（2）该商场共获得利润6600元.
【解析】（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，根据投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，列出方程组解答即可；21教育网
（2）总利润＝甲的利润＋乙的利润.
解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得
，解得：.
答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱.
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