课件17张PPT。21.2 降次——解一元二次方程第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 1．体会解一元二次方程降次的转化思想．
2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或
(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．学习目标 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？创设情景 明确目标 你能根据题意设未知数，并列出方程吗？这个一元二次方程有什么特点？怎样解这个一元二次方程？这就是本节课要学习的内容.
活动一：阅读课本第5页问题1，相互交流思考下面的问题 ：
探究点一 （1）问题中的等量关系是什么？
（2）解方程的依据是什么？
（3）所列方程的根都是问题1的解吗？合作探究 达成目标 例1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？10×6x2=1500由此可得x2=25即x1=5，x2=－5可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程①合作探究 达成目标等量关系：10个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积 平方根的意义 小组讨论1小组讨论1（2）对于常数p，为什么要限定条件p≥0？一般地，对于x2＝p
当p＞0时，方程有两个不相等的实数根，即：
当p＜0时，方程无实数根.当p=0时，方程有两个相等的实数根，即：【针对练一】解得：【答案】 探究点二 例2：解方程 【思考】
① 方程（1）与x2=25这个方程有什么不同？可以直接开平方吗？
② 方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程（2）转化为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？小组讨论2 对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2的方程，可以用直接开平方发求解吗？1.当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，
即：对于(mx＋n)2＝p(p≥0)，得：2.若两边都是完全平方式，
即：（ax+b）2=(cx+d)2，得【针对练二】5.方程（2x-1)2=(x+2)2的解为：DCx1=3, x2=1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；
降次的方法：直接开平方法；
降次体现了：转化思想；
2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.总结梳理 内化目标达标检测 反思目标可以 可以 可以 不可以 可以 达标检测 反思目标 -1 -5 解：达标检测 反思目标5.已知方程 的一个根是 ,
求k的值和方程的另一个根.解得：原方程为：所以方程的根为：即方程的另一个根为-1上交作业：教科书第16页 习题21.2第1题 ．
课件19张PPT。第2课时 因式分解法22.2.1直接开平方法和因式分解法（2）学习目标1.了解因式分解法的解题步骤；?
2.能用因式分解法解一元二次方程.1.我们已经学过了用什么方法解一元二次
方程?2.请用已学过的方法解方程
x2 － 4=0把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.直接开平方法X2=a (a≥0)3.什么叫分解因式?创设情境 明确目标合作探究 达成目标对于方程x2-4=0,我们还可以这样做：
左边因式分解得：(x+2)(x-2)=0,
必有：x+2=0或x-2=0,
分别解这两个方程得：x1=-2,x2=2.
这种解一元二次方程的方法叫因式分解法.例题讲解例2 解下列方程：
（1）3x2+2x=0; (2) x2=3x.
解：（1）方程左边分解因式，得
x(3x+2)=0.
所以 x=0或3x+2=0,
得 x1=0,x2=-2/3.
例2 解下列方程：
（1）3x2+2x=0; (2) x2=3x.
解：（2）移项，得
x2-3x=0,
方程左边分解因式，得
x(x-3)=0.
所以 x1=0,x2=3.
例题讲解用因式分解法解一元二次方程的步骤1o方程右边不为零的化为 .
2o将方程左边分解成两个 的乘积.
3o至少 一次因式为零，得到两个一元一次方程.
4o两个 就是原方程的解. 零一次因式有一个一元一次方程的解反思小结快速回答：下列各方程的根分别是多少？AB=0?A=0或Ｂ＝０针对训练这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程 同解。注：如果一元二次方程有实数根，那么一定有两个实数根.当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.0总结梳理 内化目标用因式分解法解下列方程：y2=3y(2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)(3)(4) x2+7x+12=0(1) (x－5)(x+2)=18x2－３x－28=0(x－7)(x+4)=0X－7=0,或x+4=0x1=7,x2= -4右化零 左分解
两因式 各求解简记歌诀：课外作业教科书第25页练习（1）（2）（3）（4）
再见课件20张PPT。22.2.2 用配方法解一元二次方程 温故而知新1.解下列方程(3分钟)
(1)2x2=8
(2)(x+3)2-25=0
(3)9x2+6x+1=4直接开平方法2.你能解这个方程吗？
x2+6x+4=0创设情景 明确目标1．理解配方法，会运用配方法解一元二次方程．
2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想．学习目标3.因式分解的完全平方式，你还记得吗?填一填14它们之间有什么关系?P27
练习
T1(1)x2+10x+ =(x+ )2
(2)x2-12x+ =(x- )2
(3)x2+5x+ =(x+ )2
(4)x2- x+ =(x- )2
(5)4x2+4x+ =(2x+ )2625526121 变成了(x+h)2=k的形式 以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.这个方程怎样解？变形为的形式．（ａ为非负常数）变形为X2－8x＋1＝0(x－4)2=15x2-8x+16=-1+16合作探究 达成目标
活动一：
探究点一 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 （1）解答过程都有哪些步骤？合作探究 达成目标模仿教材第25页例题4，解方程x2-8x+1=0,并思考下面的问题：（1）移项:把常数项移到方程的右边（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方（3）开方:根据平方根意义,方程两边开平方（4）求解:解一元一次方程（5）定解:写出原方程的解用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:小组讨论1（1）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？ （2）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？【针对练一】36642164解：探究点二 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 (1)这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？活动二：
合作探究 达成目标(1)配方法解一元二次方程应注意些什么 ？小组讨论2 在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例1中的方程类型；解一元二次方程的基本思路 把原方程变为(x+n)2＝p的形式 (其中n、p是常数）
当p≥0时，两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程当p<0时，原方程的解又如何？当p<0时，原方程无解合作探究 达成目标【针对练二】2-4-1解：总结梳理 内化目标用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.达标检测 反思目标DB93正数解：上交作业：教科书第17页习题21.2第2,3题 ．
布置作业课件15张PPT。学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.?
2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程.?1、用配方法解一元二次方程
2、用配方法解一元二次方程的步骤：知识回顾创设情境 明确目标配方法的步骤：
1、化 1
2、移项
3、配方
4、求解
配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方，将方程转化为（x+m)2=n的形式。
合作探究 达成目标探索
解方程：ax2+bx+c=0(a≠0),
归纳一元二次方程的求根公式
将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.例.用公式法解方程2x2+5x=3
解:将方程化为一般式，得2x2+5x-3=0
a=2 b=5 c= -3
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49①把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值.
②求出b2-4ac的值.
∴ x = =
=即 x1= - 3, x2=1、一元二次方程实数根的情况与b2-4ac 有什么关系?
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?④写出方程的解： x1=?, x2=? ③代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)例题讲解例 解方程：（x-2)(1-3x)=6这里 a=3, b= -7, c= 8.∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,∴原方程没有实数根.解：去括号：x-2-3x2+6x=6化简为一般式：-3x2+7x-8=03x2-7x+8=0例题讲解 针对练习 ,用公式法解下列方程1). 2x2＋x－6＝0；
2). x2＋4x＝2；
3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
4). 4x2+4x+10 =1-8x ；
5). x2－6x＋1＝0 ；
6). 2x2－x＝6 ； 参考答案：
(1)(2)（3）(4)下列方程分别选用哪种方法解比较方便？-----直接开平方法-----配方法-------公式法----------因式分解法用适当的方法解下列方程： （1）（2）(3)（4）总结梳理 内化目标1.求根公式：
2.用公式法解一元二次方程的步骤；
3.灵活选用解方程的方法.用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0;（2）9x2+6x+1=0;（3）16x2+8x=3.课外作业
再见课件16张PPT。22.2.4 一元二次方程根的判别式学习目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用.?用公式法求下列方程的根: 用公式法解一元二次方程的一般步骤:1)把方程化为一般形式确定a , b , c 的值3)带入求根公式 计算方程的根2)计算 的值创设情境 明确目标配方法合作探究 达成目标思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况我们把 叫做一元二次方程
的根的判别式，用符号“ ”来表示.反之，同样成立！当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.归纳小结 例题讲解一
般
步
骤：3、判别根的情况，得出结论.2、计算 的值，确定 的符号.例: 不解方程，判别下列方程根的情况.1、化为一般式，确定 的值.课本练习课本练习练习：不解方程，判别关于 的方程
的根的情况.分析：系数含有字母的方程 不解方程，判别关于x 的方程a2x2-ax-1=0(a≠0)的根的情况. 解：因为Δ=（-a)2-4a2×(-1)=5a2,a≠0
所以5a2>0,
所以原方程有两个不相等的实数根.总结梳理 内化目标 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2-4ac
2.判别方法：?
(1)Δ＞0?原方程有两个不相等的实数根；?
(2)Δ=0?原方程有两个相等的实数根；?
(3)Δ＜0?原方程无实数根.?
3.应用：?
（1）不解方程，判别方程根的情况.?
注：先化为一般形式.?
（2）已知根的情况，求字母的取值范围.?
注：考虑二次项系数不能为0.?
达标检测1.（2014?四川自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根D2.已知对任意实数x，式子 都有意义，则实数m的取值范围是( )
A.m >4 B.m<4 C.m≥4 D.m≤4A达标检测3. 关于x的方程x2+2kx+k-1=0 的根的情况描述正确的是( )
A. k为任何实数,方程都没有实数根
B. k为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
C. k为任何实数,方程都有两个相等的实数根
D. 根据k的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种达标检测B课外作业见课本第33页练习第1，2题.课件34张PPT。第22章 一元二次方程22.2.4根与系数的关系教学目标： 知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。
过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根
之和与两根之积。
情感态度与价值观:经历观察→发现→猜想→证明的
思维过程，培养分析和解决问题的能力。
教学重难点:
重点：一元二次方程根与系数的关系。
难点：运用根与系数关系解决问题。
1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？探究1：???? 填表，观察、猜想 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。 根与系数关系 如果关于x的方程的两根是 , ,则:如果方程二次项系数不为1呢?探究2：填写下表：猜想：如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？已知：如果一元二次方程
的两个根分别是 、 。求证：推导: 如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 1.3.2.4.5.练习：1、口答下列方程的两根之和与两根之积。1.已知一元二次方程的 两
根分别为 ，则：2.已知一元二次方程的 两根
分别为 ，则：3.已知一元二次方程的
的一个根为1 ，则方程的另一根为___，
m=___：4.已知一元二次方程的 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__5、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？6、设 x1 、 x2是方程 利用
根与系数的 关系，求下列各式的值：
返回的值。解：根据根与系数的关系:例题分析：例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
两个根的；（1）和的平方；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1 x2，那么返回例3.
不解方程，求方程 的
两根的平方和、倒数和。运用根与系数的关系解题例题4：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2，
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
（3）解：设方程的两根分别为 和 ，
则：
而方程的两根互为倒数
即：
所以：
得：例5.方程 的两根互
为倒数，求k的值。设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ X1X2 = ____，
X12+X22 = ；
( X1-X2)2 = ；
基础练习1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____。
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ 。
X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？） 5. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 的两个根
分别是 、 ，其中 。
所以：
即：
由于
得：k=-7
答：方程的另一个根是 ，k=-7
6.已知一元二次方程的
的一个根为1 ，则方程的另一根为___，
m=___： 7、已知方程 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。试一试8、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。9、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= ,∴ x1= ,又x1●1= ,∴ m= 3x1 = 16 解：由根与系数的关系，得x1+x2= - 2 , x1 · x2=∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。∴ k=0解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2解得：k=4 或k=－2
2. 已知方程 的两个实数根
是 且 求k的值。 补充规律：两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根一正一负的条件： X1X2 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 一正根，
一负根△＞0
X1X2＜0两个正根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0两个负根△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0{{{解:由已知,△={即{m>0
m-1<0∴0 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。4. 方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？
解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5
①∵两根互为相反数
∴两根之和m?1?0,m??1,且??0
∴m??1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5,
∴两根之积2m?1?1 m?1且??0,
∴m?1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0,
∴两根之积2m?1?0 且??0,
∴ 时,方程有一根为零.
引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0)
（1）若两根互为相反数,则b?0;
（2）若两根互为倒数,则a?c;
（3）若一根为0,则c?0 ;
（4）若一根为1,则a?b?c?0 ;
（5）若一根为?1,则a?b?c?0;
（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 时，才
能应用根与系数的关系. 1.一元二次方程根与系数的关系是什么?总结归纳 请同学们在课后通过以下几道题检测
自己对本节知识的掌握情况：
P35 练习第2，3题
