6.4.1 6.4.2平面向量的应用——平面几何中的向量方法 向量在物理学中的应用举例 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理学中的应用举例
新课引入
前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算划归为实数的运算.本节我们将学习运用向量方法 解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用.同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.
新课引入
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过两个具体的实例，说明向量方法在平面几何中的应用.
有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.
新知探究
新知探究
典型例题
例1：如图，是的中位线，用向量方法证明：，.
分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度. 如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.
A
B
C
D
E
典型例题
证明：因为是的中位线，所以
，.
从而.
又，
所以.
于是，.
A
B
C
D
E
归纳小结
平面向量经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积运算主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量的方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.
归纳小结
用向量方法研究平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的集合元素，将平面几何问题转化成向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
典型例题
例2：如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
A
B
C
D
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
典型例题
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
如图，取为基底，设，，则
，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
A
B
C
D
典型例题
上面两式相加，得
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
A
B
C
D
你能用自然语言叙述这个关系得意义吗？
随堂练习
1、证明：等腰三角形的两个底角相等.
2、如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，求的值.
A
B
C
O
M
N
归纳小结
典型例题
例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：我们不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角之间的关系，就可以或的问题的数学解释.
典型例题
如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设. 另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道，
典型例题
这里，为定值. 分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变 大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，由大逐渐变小.
这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
新知探究
（1）当为何值时，最小？最小值是多少？
（2）能等于吗？为什么？
探究
新知探究
事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为.
要使，只需，此时，即.
本节课到此结束！
谢谢大家！