参照秘密级管理★启用前
2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为椭圆，其焦距为
B．当时，曲线为双曲线，其离心率为
C．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切
4．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ）
A．5049 B．5050 C．5051 D．5101
5．如图，在长方体中，，，M为棱的中点，P是线段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆（）的左、右焦点分别为，，P为椭圆上第一象限内的一点，且，与y轴相交于点Q，离心率，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．为的一个焦点
B．双曲线的离心率为
C．过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条
D．设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为
10．如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为
B．与所成角的余弦值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ）
A．点在上
B．面积的最大值为
C．曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
D．
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分.
12．已知数列是等差数列，若，则 .
13．已知数列的前项和为，且，，数列的通项公式为
14．已知函数，若在上有解，则的最小值 .
四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
16．已知圆与x轴相切．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．
17．如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
18．已知直线经过椭圆C：（）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究当时，是否为定值，并说明理由.
19．设(e为自然对数的底数)，．
(1)记.
(i)讨论函数单调性；
(ii)证明当时，恒成立
(2)令，设函数G(x)有两个零点，求参数a的取值范围.2024—2025学年度第一学期高二教学质量检测
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B D A B A BD ABD
题号 11
答案 BD
12．15 13． 14．
15．(1) (2) .
（Ⅰ）由，得
因为所以
（Ⅱ）
16．(1)圆心坐标为，半径长为2 (2)
（1）配方得，
由此可得圆心坐标为．
因为圆C与x轴相切，
所以圆心到x轴的距离为．
所以半径长为2．
（2）因为直线与圆C交于A，B两点，
所以圆心C到直线l的距离为．
由（Ⅰ）可知，
所以．
17．(1)证明见解析； (2).
（1）取中点，连接，
因为四边形是边长为的菱形，所以，
因为,所以是等边三角形，
所以,
因为，所以，
因为，所以，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为，所以，
由（1）知，平面平面，而平面平面，
平面，所以平面，
所以直线两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
由，取，得，
设平面的法向量为，
由，取，得，
所以，由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
18．(1) (2)是定值，理由见解析
（1）根据题意，，代入椭圆方程得，
得，所以，再根据，可得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）据题意，直线的斜率存在，且不为0，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，整理可得，所以或.
所以点的坐标为，
联立和，
整理可得，所以或.
所以点的坐标为.
显然，是圆的直径，故，所以直线的方程为.
用代替，得点的坐标为，即.
直线的斜率，
直线的斜率.
所以，为定值，得证.
19．(1)（i）当时， 单调减；当时， 单调增;（ii）证明见解析;
(2)
（1）．
（i），
所以，当时，，单调减；当时，，单调增．
（ii），
令，，
，
所以，又，
所以时，恒成立，即当时，恒成立．
（2）由已知，，
．
①当时，，有唯一零点；
②当时，，所以
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以极小值，
因，所以当时有唯一零点；
当时，，，所以，
所以，
因为，
所以，，且，当或时，使，
取，则，从而可知
当时，有唯一零点，
即当时，函数有两个零点．
③当时，，由，得，或．
1° 若，即时，，
由于时，，时，，所以，
所以是单调减函数，至多有一个零点；
2°若，即时，，注意到，都是增函数，所以
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数；
当时，，是单调减函数．
极小值，所以至多有一个零点；
3°若，即时，同理可得
当时，，是单调减函数；
当时，，是单调增函数；
当时，，是单调减函数．
所以极小值，至多有一个零点．
综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．
