北京市2024-2025学年七年级下学期开学摸底考数学试题（含答案）

北京市2024-2025学年七年级下学期开学摸底考数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.一种面粉的外包装袋上标有“净含量：”，质监工作人员为了解这种面粉的质量是否标准，测量了下面袋，其中不标准的为
A. B. C. D.
3.年月日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立周年，共有名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.数轴上的点距原点个单位长度，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.若，则下列等式变形不正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为( )
A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 面面相交成线
8.的所有可能的值有 个
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.比较大小： ．
10.多项式是 次 项式．
11.已知，则的值是 ．
12.多项式的值与，的取值无关，则的值为 ．
13.计算： ．
14.已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
15.如图，在半径为的圆形钢板上挖去四个半径为的小圆，则剩余部分的面积为 结果保留
16.一个小正方体的六个面分别标有数字，，，，，将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动算一次，则滚动第次时，小正方体朝下一面标有的数字是 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
18.本小题分
化简：
；
．
19.本小题分
解方程：
20.本小题分
本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程：第一步，
解：原方程可化为：第二步，
方程两边同时乘以，去分母，得，第三步，
去括号，得第四步，
移项，得第五步，
合并同类项，得第六步，
系数化，得．
所以是原方程的解．
上述小明的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 请你写出正确的解题过程．
21.本小题分
解答下列问题：
已知是的相反数，比小，求与的差；
求的绝对值的相反数与的相反数的差．
22.本小题分
如果关于的多项式与多项式的次数相同，求的值．
23.本小题分
补全解题过程．
如图，，，平分，求的度数．
解：，，
____，
平分
__依据：__，
，
__．
24.本小题分
下图为城铁房山线和燕房线的一部分线路，“十一”假期的某天，晓丽参与多地志愿者服务活动，需要多次乘坐此线路．她从阎村站出发，先后七次乘坐城铁，最后返回阎村站，如果规定向东为正，向西为负，当天晓丽的乘车站数按先后顺序依次记录如下表单位：站：
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
乘车站数
的值为________；
晓丽本次志愿活动向西最远到了________站填写站名；
若相邻两站之间乘车平均用时为分钟，求晓丽本次志愿活动期间乘坐城铁所用时间总和为多少分钟？
25.本小题分
列方程解应用题：
延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批苹果．果园基地对购买量在千克含千克以上的有两种销售方案，方案一：每千克元，由基地送货上门；方案二：每千克元，由顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为元．
公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？
如果公司打算购买千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？
26.本小题分
某种产品的形状是长方体，长为，它的展开图如图．
求长方体的体积；
请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少纸箱的表面积最小，并请求出你设计的纸箱的表面积．
27.本小题分
定义：如图，射线在的内部，图中共有个角：，，若其中有一个角是另一个角的倍，则称射线是的“巧分线”．
如图，若，且射线是的“巧分线”，则的度数___________；
如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”．
28.本小题分
定义：数轴上有三个点，，，如果点到，两个点的距离成三倍关系，则称点是的“三倍关联点”例如，如图，点表示的数是，点表示的数是，表示的点到点的距离是，到点的距离是，点到点的距离是到点距离的倍，那么称点是的“三倍关联点”．

如图，点表示的数是，点表示的数是，点分别表示数，，则两个点中是的“三倍关联点”的是 ．

如图，点表示的数是，点表示的数是点是数轴上一动点，当其恰好是的“三倍关联点”时，求点表示的数．

点表示的数是，点表示的数是，点表示的数的最大值为，最小值为，若点是的“三倍关联点”，则的最小值为 ，的最大值为 ．
答案和解析
1.
【解析】的相反数是，故选：．
2.
【解析】一种面粉的外包装袋上标有“净含量：”，
合格的范围是到之间，
、，符合标准，不符合题意；
、，不符合标准，符合题意；
、，符合标准，不符合题意；
、，符合标准，不符合题意；
故选：．
3.
【解析】将用科学记数法表示为．
故选：．
4.
【解析】由数轴上的点距原点个单位长度，则有点表示的数为或，然后再将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数为或；
故选D．
5.
【解析】由数轴可知，，
，
四个选项中，只有选项中的结论正确，
故选：．
6.
【解析】、等式两边同时乘上，则，故该选项是正确；
B、等式两边同时除以，要求，即，故该选项是错误；
C、等式两边同时减去，则，故该选项是正确；
D、等式两边同时除以，且，则，故该选项是正确；
故选：．
7.
【解析】下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为线动成面，
故选：．
8.
【解析】当都是正数时，则；
当都是负数时，则；
当一正，两负时，不妨设是正数，则；
当一负，两正时，不妨设是负数，则；
综上所述，的值为或，共有种，
故选：．
9.
【解析】，，，
．
故答案为：．
10.二 三
【解析】多项式由三个单项式组成，最高次项是，次数是．
故答案为：二，三．
11.
【解析】，
，，
解得：，，
则的值是：．
故答案为：．
12.
【解析】
．
多项式的值与，的取值无关，
，
，
．
故答案为：．
13.
【解析】，
故答案为：．
14.
【解析】是关于的一元一次方程，
且，
．
故答案为：．
15.
【解析】剩余部分的面积为：．
故答案为：．
16.
【解析】观察图形知道：
第一次数和数相对，
第二次数和数相对，
第三次数和数相对，
第四次数和数相对，
第五次数和数相对，
且四次一循环，
，
滚动第次后与第三次相同，
朝下的数字是的对面，
故答案为：．
17.解：

．
解：


．
18.解：
．
解：
．

19.
20.解：小明的解题过程从第四步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号．
故答案为：四，去括号时没有改变符号．
正确的解题过程如下：
，
原方程可化为：，
方程两边同时乘以，去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化，得，
所以是原方程的解．

21.解：根据题意知，，
则．
解：由题意得：．

22.解：关于的多项式与多项式的次数相同，
当时，的次数为，
当时，的次数为，
当时，，
；
当时，，
．
综上可知，的值为或．
23.解：，，
，
平分，
角平分线的定义，
，
，
故答案为：；；；角平分线的定义；．
24.解：由题意，得
解得：；
解：第一次向东走了站，即到达了良乡大学城站，
第二次向西走了站，即到达了阎村东站，
第三次向西走了站，即到达了马各庄站，
第四次向东走了站，即到达了星城站，
第五次向东走了站，即到达了良乡南关站，
第六次向西走了站，即到达了紫草坞站，
第七次向西走了站，即到达了阎村站，
所以晓丽本次志愿活动向西最远到了马各庄站．
解：
分钟，
答：晓丽本次志愿活动期间乘坐城铁所用时间总和为分钟．
25.解：设公司购买千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同．
方案一：，
方案二：，
即，解得：．
答：公司购买千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同．
公司打算购买千克苹果，
方案一：元，
方案二：元，
，
方案二更省钱．
26.设长方体的高为，则长方形的宽为，根据题意可得：
，
解得：，
所以长方体的高为，宽为，长为，
长方体的体积为：；
因为长方体的高为，宽为，长为，
所以装件这种产品，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
这样的话，件这种产品可以用的包装纸箱，再考虑的面积最大，所以的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
所以设计的包装纸箱为规格，该产品的侧面积分别为：
，
，
纸箱的表面积为：．
27.解：，且射线在的“巧分线”，
或或或，
，
或或或；
故答案为：或或或；
根据题意得：当时，则，
解得：；
当时，则，
解得：；
当时，则，
解得：；
当时，则，
解得：．
此时，故不符合题意，舍去；
综上，当为或或时，射线是的“巧分线”；
28.解：．
设对应的数为，
， ．
是的“三倍关联点”，
，或．
当时，，
或，
解得：或．
当时，，
或，
解得：或．
综上：对应的数为：或或或．
，．
【解析】是的“三倍关联点”．
理由：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，
，
不是的“三倍关联点”．
点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
，，
，
是的“三倍关联点”．
见答案．
如图，当在的右边时，其中，点是的“三倍关联点”，点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为．

，
，
，而，
，
解得：．
如图，当在的左边时，其中，点是的“三倍关联点”，点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，
或．

当时，
，
解得：．
，
解得：．
当时，
，
，
，
解得：，
综上：的最大值为，最小值为．
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