第七章 复数 单元测试卷（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.的虚部为 (　　)
A.-i B.i C. D.-
2.a为正实数,i为虚数单位,||=2,则a= (　　)
A.2 B. C. D.1
3.已知点A(2,-1),B(1,2),O(0,0),复数z1,z2在复平面内对应的向量分别是,,O为坐标原点,则复数z1·z2= (　　)
A.3i B.3+4i C.4+3i D.4-3i
4.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若(z·)i+2=2z,则z= (　　)
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
5.中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队分别独立通过实验,验证了虚数i在量子力学中的必要性,再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3+1=0,它的两个虚数根分别为 (　　)
A. B. C. D.
6.定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为 (　　)
A.1-3i B.1+3i C.3+i D.3-i
7.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的 (　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,若(2-i)·z1=i+i2+i3+…+i2 023(i是虚数单位),则复数z2的虚部为 (　　)
A.- B.i C. D.-i
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若复数z满足(1-i)z=2i2 022,为z的共轭复数,则 (　　)
A.z+=2
B.z=2
C.为纯虚数
D.为方程x2+2x+2=0的一个根
10.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个序,类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“ ”,定义如下:对于任意两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R,i为虚数单位),“z1 z2”当且仅当“a1>a2”或“a1=a2且b1>b2”.则下列命题中是真命题的有 (　　)
A.1 i 0
B.若z1 z2,z2 z3,则z1 z3
C.若z1 z2,则对于任意z∈C,z1+z z2+z
D.若复数z 0,则z·z1 z·z2
11.已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ(-<θ<)(其中i为虚数单位),则 (　　)
A.复数z在复平面内对应的点可能位于第二象限
B.z可能为实数
C.|z|=2cos θ
D.的实部为-
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,则对应的复数为　　　　.
13.在复平面内,复数z1=1-2i,z2=a+i(a∈R),z3=-1+(a+1)i对应的向量分别为,,,且-=(4,m),则实数m=　.
14.已知z是虚数,z+是实数,是虚数z的共轭复数,则(-z)2+z+的最小值是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.
(1)求 ;
(2)求的值.
16.(15分)在①z2=-7-24i,②=(|z|-1)+5i,③z+是实数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.
已知z是虚数,且　　　　,求|z|.
注:若选择多个条件分别进行解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)已知复数z1=-2+i,z1z2=-5+5i(i为虚数单位).
(1)求复数z2;
(2)若复数z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]在复平面内所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
18.(17分)已知复数z的实部为正数,|z|=,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)若-z2在复平面内对应的向量为,求向量的模.
19.(17分)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(-2,1),B(a,3),a∈R.
(1)若|z1-z2|=,求a的值;
(2)若复数z=z1·对应的点在第二、四象限的角平分线上,求a的值.
第七章　复数　单元测试卷　参考答案
1.C　====-1+i,故其虚部为.
2.B　因为==1-ai,
则||=|1-ai|==2,所以a2=3.
又a为正实数,所以a=.
3.C　由题意可知,z1=2-i,z2=1+2i,
∴z1·z2=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i.
4.A　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,又(z·)i+2=2z,
∴(a2+b2)i+2=2a+2bi,∴解得故z=1+i.
5.B　∵x3+1=0,∴(x+1)(x2-x+1)=0,得x=-1或x2-x+1=0.由x2-x+1=0,解得x=.
6.D　=zi+z=z(1+i)=4+2i,
∴z====3-i.
7.A　z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,所以点M在第四象限的充要条件是即-28.C　∵in(n∈N+)的取值呈现周期性,周期为4,且i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,∴(2-i)·z1=i+i2+i3+…+i2 022+i2 023=-1,∴z1===--i,∴z2=-+i,则z2的虚部为.
9.BCD　i2 022=i505×4+2=(i4)505i2=-1,则z===-1-i,则z+=-2,A错误;
z=|z|2=(-1)2+(-1)2=2,B正确;
===-i,C正确;
解方程x2+2x+2=0,可得x=-1±i,而=-1+i,D正确.
10.ABC　对于A,1的实部是1,i的实部是0,故A是真命题.
对于B,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,由已知得“a1>a2”或“a1=a2且b1>b2”,“a2>a3”或“a2=a3且b2>b3”,显然有a1≥a3.若a1>a3,则z1 z3,若a1=a3,则a1=a2=a3,b1>b2>b3,也有z1 z3,故B是真命题.
对于C,设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R),由z1 z2得“a1>a2”或“a1=a2且b1>b2”,从而“a1+a>a2+a”或“a1+a=a2+a且b1+b>b2+b”,
∴z1+z z2+z,故C是真命题.
对于D,设z1=1+i,z2=-2i,z=2i,则有z 0,z·z1=-2+2i,z·z2=4,显然有z·z2 z·z1,故D是假命题.
11.BC　z=1+cos 2θ+isin 2θ=2cos θ(cos θ+isin θ),
∵-<θ<,∴cos θ>0,sin θ∈(-1,1),则复数z在复平面内对应的点不可能位于第二象限,故A错误.
当sin 2θ=0,θ=0∈(-,)时,复数z是实数,故B正确.|z|===2cos θ,故C正确.
=
=
=,
则的实部是=.故D错误.
12.-1-7i　 由复数加、减法的几何意义,可得+=,-=,两式相加,可得2=+,则可得对应的复数为1+7i,所以对应的复数为-1-7i.
图D 1
如图D 1,把向量平移到向量的位置,可得==-(+),则可得对应的复数为-1-7i.
13.1　由题意知,Z1(1,-2),Z2(a,1),Z3(-1,a+1),
∴=(a-1,3),=(-1-a,a),
则(a-1,3)-(-1-a,a)=(4,m),
∴解得
14.-　设z=a+bi,a,b∈R,
由z+是实数,可得a+bi+∈R,
则a+bi+∈R,即b=,
又z是虚数,则b≠0,所以a2+b2=2,
则(-z)2+z+=(a-bi-a-bi)2+a+bi+=-4b2+2a=4a2+2a-8=4(a+)2-,
又-所以当a=-时,所求最小值为-.
15.(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,
所以 =-4-3i.
(2)==-i.
16.若选择①,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-7-24i,
由解得或
∴z=-3+4i或z=3-4i,则|z|=5.
若选择②,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则
=a-bi=(|z|-1)+5i=(-1)+5i,
由解得∴z=12-5i,则|z|=13.
若选择③,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则== ,z+=a+bi+=a++(b-)i是实数,则b-=0,又b≠0,∴a2+b2=1,则|z|=1.
17.(1)∵z1z2=-5+5i,
∴z2===3-i.
(2)z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]
=i[(m2-2m-3)+(m-1)i]
=-(m-1)+(m2-2m-3)i,
∵z3在复平面内所对应的点在第四象限,
∴解得-1故实数m的取值范围是(-1,1).
18.(1)设z=a+bi(a,b∈R),则由条件|z|=,可得a2+b2=2　①.
因为z2=a2-b2+2abi,所以2ab=2　②.
联立①②,解得a=b=1或a=b=-1.
又复数z的实部为正数,所以a>0,所以a=b=1,于是z=1+i.
(2)由(1)可知z=1+i,则 -z2=-(1+i)2=1-3i,则 =(1,-3),所以向量 的模为=.
19.由复数的几何意义可知z1=-2+i,z2=a+3i.
(1)因为|z1-z2|=,所以|-2-a-2i|==,即(a+1)(a+3)=0,解得a=-1或a=-3.
(2)复数z=z1·=(-2+i)(a-3i)=(-2a+3)+(a+6)i.
由题意可知,点(-2a+3,a+6)在直线y=-x上,
所以a+6=-(-2a+3),解得a=9.