广东省2025届普通高中毕业生第四届一月调研测试数学试卷（含答案）

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2025届普通高中毕业生一月调研测试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准便用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量满足，则（ ）
A.2 B. C. D.3
3.设集合，则中所有元素之和为（ ）
A.3 B.8 C.9 D.12
4.已知，设命题，命题，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若函数关于直线对称，则（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
6.已知圆柱与圆锥的体积与侧面积均相等，若的轴截面为等腰直角三角形，则与的底面半径之比为（ ）
A. B. C. D.
7.若，则（ ）
A. B. C. D.
8.设椭圆的右焦点为.为上一点，的半径为，过作轴的垂线，交于两点，在的左侧.记的离心率为，点轨迹的离心率为，点轨迹的离心率为，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知正四面体的棱长为，则（ ）
A.
B.与的距离为
C.二面角的正弦值为
D.正四面体的体积为
10.设双曲线的左、右顶点分别为为上一点，且位于第一象限，直线交轴于点，记的面积为，则（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若，则
11.已知函数的定义域为，其中为给定的常数，且不为常函数，则（ ）
A.
B.当时，为奇函数
C.或1是存在的充要条件
D.当时，没有最值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线方程为__________.
13.若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为__________.
14.设为正整数，从集合的所有二元子集中任取两个，记为，，其中与可以相同.在平面直角坐标系中，记直线与直线的四个交点分别为，则以为顶点的四边形为正方形的概率为__________.（用含的代数式表示）
附参考公式：
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在直三棱柱中，.
（1）证明：平面平面；
（2）若为中点，求平面与平面夹角的正弦值.
16.（15分）
设抛物线的焦点为.已知到直线的距离为，过的直线交于两点.
（1）求的方程；
（2）已知点，直线交于点.若，求的面积.
17.（15分）
记的内角的对边分别为.已知，外一点满足，且的角平分线交于点.
（1）求；
（2）证明：；
（3）若，求.
18.（17分）
已知函数，函数.
（1）讨论和的单调性；
（2）记函数，若为减函数，且存在，使得，求的取值范围.
19.（17分）
对于一个单调递增的正整数数列，若对于任意不小于2的正整数不能表示为中若干不同项之和，则称为“好数列”.
（1）若数列满足，记集合，中的元素由小到大排列得到数列，列举的前五项，并判断是否为“好数列”，若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）已知为“好数列”，对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则记，设为的前项和.
（i）证明：；
（ii）证明：对任意的正整数，有.
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2025届普通高中毕业生一月调研测试
数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C A B C D D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
ABD BC BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.20 14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解：
（1）在直三棱柱中，，
故，故.
所以，又因为，
平面，故平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）因为平面，所以，
所以，所以两两垂直.
以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，故.
因为平面，所以可作为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，则，取，则.
设平面与平面所成角为，则，
所以.
16.解：
（1）到的距离为，故（舍去）或，故的方程为.
（2）设.
联立，有，故，同理，故
由有，故.
注意到轴，故的面积为.
17.解：
（1）由正弦定理有，
即，因为，故.
若，则，矛盾；所以，故.
故.
（2）假设不垂直于，过点作，垂足为.
则，由角平分线定理有
，故重合，故.
（3）由（2）知，设.
在中，由余弦定理有，
同理，故，解得.
注意到，故，故.
故或，由余弦定理有
故或.
18.解：
（1）在上单调递增，.
当时，单调递减；当时，单调递增.
，当时，单调递减，当时，单调递增.
综上所述，在上单调递减，上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）的定义域为，且为奇函数，我们只需要考虑的情况.
.
即，令.
.
令.
令，且在上单调递增.
（i）若，则，故单调递增，，满足题意；
（ii）若，则存在，使得时且，即，矛盾，故，即.
于是问题转化为：已知.
（i）若，则，此时，矛盾；
（ii）若，则由（1）知，解得，
故的取值范围为，
19.解：
（1）.
因为，故不是“好数列”.
（2）列出以下数表：
假设存在使得，不妨设，则.
故，且，这与为好数列矛盾，故不存在使得.
故.
（3）由
且，由（2）知，
故整理有，又因为，所以，由有.
当时，.
附上部分选填解析：
7.
，
故，解得，故答案选D.
8.设，故，
故带入有，同理得，下面我们开始计算离心率：由有，故，，故，故答案选D.
（本题最坑点：两个椭圆一横一竖）
10.对于A选项，设的斜率为的斜率为，则
，故A错误；
对于B选项，记直线的斜率为，则，故，故，故B正确；
对于C选项，由对称性有，由有，故，由余弦定理有，故C正确；
对于D选项，注意到的大小随的纵坐标的增大而减小，故
即C中情况，计算得面积为，故D错误，故答案为BC.
11.对于A选项，令，则，则或，当时，取函数，则，矛盾，故A错误；
对于B选项，，对互换有
即，又因为不恒为0，则
用替换有，故为奇函数，故B正确；
对于C选项，充分性显然成立，下面我们证明必要性，若，则由A选项的分析知，令则，若，则，由的任意性可知，为常函数，这与不为常函数矛盾，故C正确；
对于D选项，假设存在使得，则，则对于任意均成立，故，为常函数，这与不为常函数矛盾，故不存在使得.下面证明的任意取值均同号，，对于任意取即可，故的任意取值均同号.若在处取到最值，则取，则，故
由的任意性有，这与题设矛盾，故D正确，
故答案为BCD.
13.由题知，样本数据的平均数为的平均数为21，故的方差为的方差为.
14.由题知，边长为的正方形有种情况，故