蚌埠2024-2025学年高二上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】B
解：设直线的直线的倾斜角为，
则，
2.如图，M是三棱锥的底面的重心．若、y、，则的值为
A. 1 B. C. D.
【答案】B
解：是三棱锥的底面的重心，
即，又、y、，
，，，，
故选：
3.直线过抛物线的焦点，且与交于、两点，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：根据条件得到抛物线的焦点为，
故，解得，
所以抛物线方程为，
联立，整理可得，
则，
所以，
4.平行六面体，其中，，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：如图，
可得，
故
．
．
5.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由曲线：的方程可得 、，
由椭圆的定义可得．
又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，
不妨设在双曲线右支上，
由双曲线的定义可得．
，，
在中，由余弦定理可得 ，
，
的面积为，
6.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
解：，，，解得．
，，两式相减得，，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，两边同除以，则，
是以为公差，为首项的等差数列，
，
，
．
7.如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题知，
，，
，
在中，，
，即，
，
故选：C
8.已知曲线，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线E与直线无公共点
B. 曲线E上的点到直线的最大距离是
C. 曲线E关于直线对称
D. 曲线E与圆有三个公共点
【答案】D
【解析】解：对于A选项，联立，
将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确;
对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确.
对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入
得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确;
曲线，
当，时，曲线方程可化为
当，时，曲线方程可化为，不符合;
当，时，曲线方程可化为
当，时，曲线方程可化为曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象
对于D选项，圆的圆心为，半径是，
可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误;
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面四个结论正确的是( )
A. ，，不共线，面外任一点，有，则，，，共面.
B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
C. 已知向量，，若，则为钝角
D. 为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
【答案】AD
解：对，由可得，，即，所以，，，四点共面，A正确；
对，由题，，所以，不共线，故与不平行，B错误；
对，当共线时，有，解得，
若为钝角，则，解得且，C错误；
对，由，所以与所成角为，D正确；
综上，正确的是．
10.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是
A. B. 取得最小值时或4
C. D. 的最小值为
【答案】BC
解：A选项故A错误;
B选项，由，知当或4时，的最小值为，故B正确;
C选项，，故C正确;
D选项，，时，，当或3时，取得最小值为，D错误.
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】AC
解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确
因为，所以，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；
因为，所以，设平面的法向量为，则
令，解得，，所以，
又易得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为，故C正确
设，
所以，
所以，，
所以点到直线的距离，
当且仅当时，等号成立，所以点到直线的距离的最小值为，D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是抛物线：的焦点，是上一点，直线交直线于点若，则________．
【答案】
解：，准线方程为，
过作直线的垂线，垂足为，
则，
又，，，
，，
故答案为．
13.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为________．
【答案】
解：，故，
，
设直线与直线所成的角为，
则，故，
点到直线的距离为．
14.年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则________．
【答案】
解：由题意可知，圆的圆心为，半径为．
设圆的标准方程为，圆心为，半径为．
因为圆与圆外切，
所以，解之得，
根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，．
设方程为且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，，，
则，
即有，
，
解得，代入得，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求 的长度．
【答案】解： ．
，
，
所以
．
16.本小题分
以坐标原点为圆心的圆被直线截得的弦长为．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆交于两点其中为坐标原点，求的最小值．
【答案】解：设圆的半径为，
圆心到直线的距离，
则由题意可得，，
圆的方程为，
经判断点在圆上
若过的直线为时，它与圆不可能相切，
故过点的圆的切线斜率一定存在，
，，
切线的方程为，，
所以过点的圆的切线方程为．
直线可化为，恒过定点，
圆：的圆心为，半径为，
，，
当时，，最小，，取最大值，
此时，取最小值，此时的斜率为，
由垂直关系可得，解得，
故此时直线方程为，即，
联立可解得或，
，取最小值，，取最大值，
此时，取最小值，
故的最小值为．
17.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：证明：因为，
所以．
又因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
又因为，，平面，
所以平面．
解：因为平面，，
所以以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，．
设平面的法向量，
由，令，得
因为平面，所以平面的法向量，
所以，．
因为所求二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
假设在线段上存在一点，使得平面平面．
设，，
则．
所以．
所以，．
设平面的法向量，
由，得
令，得
因为平面平面，
所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．
18.本小题分
已知点是抛物线：的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点．
写出抛物线焦点及准线方程；
求弦长的最小值；
若直线交椭圆：于、两点，、分别是、的面积，求的最小值．
解：因为抛物线 ： ，
所以由题意得 ，
所以 ，焦点 ，准线方程为 ．
设点 在抛物线 上，则 ，
联立 ，消去得， ，即 ，
所以，关于的方程 有两个相等的实根 ，此时 ，
因此，直线 与抛物线 相切，且切点为 ．
设点 、 ， ，
则以为切点的切线方程为 ，
同理以为切点的切线方程为 ，
两条切线均过点 ，
，即 ，
所以，点、的坐标满足直线 的方程，
所以，直线的方程为 ，
在直线的方程中，令 ，可得 ，所以，直线过定点 ；
由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为 ，
联立 ，可得 ，
恒成立，
由韦达定理得 ， ，
由弦长公式可得 ，
当 时，弦长的最小值为．
设点到直线的距离为，则 ，
设 、 ，
由 ，得 ，
恒成立．
由韦达定理得 ， ，
由弦长公式得 ．
，
当且仅当 时，等号成立．
因此， 的最小值为 ．
19.本小题分
对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中
数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由．
正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值
设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：
【答案】解：
，，
所以不是等差数列
，
则，
所以是首项为，公差为的等差数列．
由题意，
又，，
即
，，则
若，即，
解得，舍去
即当时，，，
当时，则，
对，不存在，
综上所述，
所以，，
从而，
从而，
所以，
蚌埠2024-2025学年高二上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，M是三棱锥的底面的重心．若、y、，则的值为( )
A. 1 B. C. D.
3.直线过抛物线的焦点，且与交于、两点，则( )
A. B. C. D.
4.平行六面体，其中，，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 无法确定
7.如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 ( )
A. B. C. D.
8.已知曲线，则下列结论中错误的是( )
A. 曲线E与直线无公共点 B. 曲线E上的点到直线的最大距离是
C. 曲线E关于直线对称 D. 曲线E与圆有三个公共点
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下面四个结论正确的是( )
A. ，，不共线，面外任一点，有，则，，，共面.
B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
C. 已知向量，，若，则为钝角
D. 为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
10.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 取得最小值时或4
C. D. 的最小值为
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是抛物线：的焦点，是上一点，直线交直线于点若，则________．
13.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为________．
14.年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： 是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求 的长度．
16.本小题分
以坐标原点为圆心的圆被直线截得的弦长为．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆交于两点其中为坐标原点，求的最小值．
17. (本小题分)
如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知点是抛物线：的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点．
(1)写出抛物线焦点及准线方程；
求弦长的最小值；
若直线交椭圆：于、两点，、分别是、的面积，求的最小值．
19.本小题分
对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中
数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由．
正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值
设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：
