巢湖2024-2025学年高一上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：，，
阴影部分表示的集合为：．
故选：．
可看出阴影部分表示的集合是：，然后进行补集和交集的运算即可．
本题考查了补集和交集的运算，图表示集合的方法，是基础题．
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：由得或，令集合，
由得或，令集合，
由于，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
即，
因为，所以，
所以．
故选：．
根据对数函数，指数函数的单调性判断与，的大小关系，利用三角函数在各象限的符号依次判断即得．
本题主要考查了指数函数，对数函数和余弦函数的性质，属于基础题．
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意，五分记录法的评判范围为，
令，则，得，
令，则，得，
五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为，
设，则，
则．
故选：．
由已知结合对数运算性质即可求解．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为函数，
所以，即，
解得且，
所以的定义域为．
故选：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求解集即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，且，即，求得，或舍去，
，，
故选：．
由题意利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
7.已知函数，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：根据已知函数，作出函数图象，
令函数，那么有个不同的实数根有个不同的实数解，，，，
所以，所以，
故选：．
方程有个不同的实数根等价于有个不同的实数解，，再结合二次函数的性质求解即可．
本题考查分段函数综合应用，属于中档题．
8.若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：在上为增函数，且，
故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”，
则存在，使得，即在内存在零点，
所以方程有解，
令，则，
故，易知不是此方程的解
当时，有，
由对勾函数的性质可知，，
故的取值范围是
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知、为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】解：因为、为正实数，，
对于选项，因为，则，
故，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故A对；
对于选项，，当且仅当时，等号成立，
所以也正确，故B对；
对于选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对．
对于选项，，
当且仅当，时，等号成立，故的最小值为，故D错．
故选：．
利用基本不等式可判断选项，利用二次函数的基本性质可判断选项．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到
B. 函数的一条对称轴是
C. 函数的对称中心是
D. 函数的单调递增区间是
【答案】BD
【解析】解：对于，的图像可以由的图像向右平移个单位得到，故A错误，
对于，，为最大值，故B正确，
对于，由得，函数的对称中心是，故C错误，
对于，由得，
函数的单调递增区间是，故D正确，
故选：．
由三角函数图象变换与性质对选项逐一判断，
本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则，，，
B. 设，若，则实数的取值范围为
C. 设，若，则实数的取值范围为
D. 已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为
【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：因为在上单调递减，所以，
，故选项A正确；
对于选项B：若，则在上不减，所以，
解得，故选项B错误；
对于选项C：若，则在上不增，
所以在上递增且恒正，
所以，即，
解得，故选项C正确；
对于选项D：因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
所以，
因为对任意恒成立，
所以对恒成立，
对恒成立，
对恒成立，
其中可得对恒成立，而，所以；
可得对恒成立，而，所以；
可得对恒成立，
又，
函数在上单调递增，所以，所以；
综上可得实数的取值范围为，则实数的最小值为，故选项D正确．
故选：．
根据所给定义求出，，即可判断；根据在上不减，即可判断；根据在上不增，即可判断；根据函数的单调性求出，，即可得到，再参变分离求出的取值范围，即可判断．
本题考查函数性质的应用，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ________．
【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
利用根式的性质及对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数运算性质及根式的应用，属于基础题．
13.已知函数在区间上单调递增，求参数的取值范围________．
【答案】
【解析】解：根据题意，函数在区间上单调递增，
则有，解可得，即的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的性质，属于基础题．
14.已知是定义在上的奇函数，且对任意，，若都有成立，则关于的不等式的解为________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
【解析】
解：对任意 ，若 都有 成立，所以设 ，则 在 上为奇函数，且为增函数，
因 ，所以
，所以 ，即 ，解得 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围．
若；求实数的取值范围．
【答案】解：若是的充分条件，则有．
所以，解得：．
所以实数的取值范围．
要使，只需或，
解得：或．
所以实数的取值范围．
【解析】由充分条件定义可得，根据集合的包含关系列不等式可求结论；
先说明，由条件结合交集的定义列不等式求的范围．
本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于基础题．
16.本小题分
“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为，预计安装后该水厂需缴纳的总水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．
【答案】解：由题意得，
令，即，，
整理得，即，
解得，
所以设备占地面积的取值范围为；
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以设备占地面积为平方米时，的值最小，且最小值为万元．
【解析】由题意得，解不等式即可；
将变形为，再利用基本不等式即可求解．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
17.本小题分
已知函数为幂函数，且满足．
求实数的值；
若函数，其定义域为．
证明：在上为减函数；
求使不等式成立的实数的取值范围．
【答案】解：因为函数为幂函数，
所以，解得或，
因为满足，即为奇函数，
故不符合题意，
所以；
证明，定义域为，
任取，
则，
所以，
故在上为减函数；
由不等式可得，
解得，
故的范围为
【解析】结合幂函数的定义及性质即可求解
先求出，任取，利用作差法比较与的大小即可证明；
结合的单调性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式，并求出的对称轴；
先把的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围．
【答案】解：由的图象知，，最小正周期为，
又，所以，所以，
因为点在图象上，所以，
即，所以，，
即，；
又，所以，所以，
令，，解得，
所以的对称轴方程为．
先把的图象向右平移个单位，得到的图像对应的解析式为，
再向下平移个单位，得到的图像对应的解析式为，
因为，所以，
所以，即，
因为在上有解，即在上有解，
所以的取值范围是．
【解析】由图象结合正弦函数的性质求得的解析式，再利用周期公式及整体代入法即可求得结果；
先由图象变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出的值域，从而得解．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是中档题．
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
【答案】解：对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”；
因为在递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故；
若，故在上最小值，此时不存在，舍去；
若故在上单调递减，从而，解得舍或，
从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，由，
得，由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
故实数的最大值为．
【解析】本题考查新定义，给出“依赖函数”的定义，先要读懂这个定义，根据定义解决问题；本题还涉及多参数的恒成立、有解问题．
举反例说明问；
由“依赖函数”的定义结合函数单调性分析出，的关系，然后求的范围；
由为“依赖函数”对的范围进行分类讨论，得出的值，再解决多变量的恒成立，有解问题．巢湖2024-2025学年高一上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知、为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到
B. 函数的一条对称轴是
C. 函数的对称中心是
D. 函数的单调递增区间是
11.已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则，，，
B. 设，若，则实数的取值范围为
C. 设，若，则实数的取值范围为
D. 已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ________．
13.已知函数在区间上单调递增，求参数的取值范围________．
14.已知是定义在上的奇函数，且对任意，，若都有成立，则关于的不等式的解为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围．
若；求实数的取值范围．
本小题分
“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为，预计安装后该水厂需缴纳的总水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．
17.本小题分
已知函数为幂函数，且满足．
求实数的值；
若函数，其定义域为．
证明：在上为减函数；
求使不等式成立的实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．求的解析式，并求出的对称轴；
先把的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围．
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
