淮北2024-2025学年高二上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
3.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 无法确定
4.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
5.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时，
C. 若，则 D. 直线始终过定点
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为__________．
13.数列满足，，则________．
14.已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题3分)
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
16.本小题分
以坐标原点为圆心的圆被直线截得的弦长为．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆交于两点其中为坐标原点，求的最小值．
17.本小题分
如图，平面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
19.本小题分
设正项数列的前项和为，满足，正项等比数列满足：
求数列，的通项公式；
设其中，数列的前项和为，求所有的正整数，使得恰为数列中的项；
设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．淮北2024-2025学年高二上学期期末质量检测
数学试题
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：，，
，
则．
2.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
解：由题知，空间四边形中，，，，且，，
如图，
所以，
所以，
3.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
解：，，，解得．
，，两式相减得，，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，两边同除以，则，
是以为公差，为首项的等差数列，
，
，
．
4.过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由已知，切线斜率存在且不为，
因为为圆上一点，则有
而，．
所以直线
直线即
与的距离为．
5.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：因为直线分别与轴，轴交于，两点，
所以，因此．
因为圆的圆心为，半径，
所以若设圆心到直线的距离为，
则，
因此直线与圆相离．
又因为点在圆上，
所以点到直线距离的最小值为，
最大值为，即，
又因为面积为，
所以面积的取值范围为．
6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：设，，为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在三角形中，，
可得
，
即有，可得，
即为，由，可得，
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：连接，
在中，因为是的中点，点是圆上的任意一点，所以，平方得，
将代入可得
，因为，所以，
所以，在，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
8.已知数列满足，设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：，
，
，即，
当时，
数列是从第二项起的等比数列，
则前项和为：
，又，可知随着的增大，越来越接近，所以最小值为，
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，直线的倾斜角为 B. 当时，
C. 若，则 D. 直线始终过定点
【答案】ABD
解：对于，当时，直线，故斜率，则倾斜角为， A正确．
对于，等价于，解得，故 B正确．
对于，若，且，故，故 C错误．
对于，，令，得，解得，，
故恒过， D正确．
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
解：由题意：
若，根据双曲线的定义可知曲线表示双曲线，选项B正确
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
故曲线不可能表示一个圆，选项C错误
若曲线是椭圆，则，
因为，
所以椭圆的焦点在轴上，
故其长轴长为，选项A错误
若，则曲线为椭圆，方程为，焦点坐标为，
当过焦点的直线斜率为时，此时该直线截椭圆的弦长为；
当过焦点的直线斜率不为时，不妨设该直线过椭圆的右焦点，方程为，与椭圆的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即，
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
【答案】ACD
解：直三棱柱 中， ，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
， ， 分别是，的中点，
，，，，，，
设，，
对于， 为平面的一个法向量， ，
则，
不在平面内，
平面 ，故A正确；
对于， 为平面 的一个法向量， ，
设直线与平面 所成角为，
则 ，故B错误；
对于，当 是上的中点时，，，可得， ，设平面的法向量为，
则 ，解得，，设到平面的距离为，
则，故C正确；
对于，设，
则， ，
设直线与直线 所成角为，
则 ，
当 ，即 时， 取最大值，此时直线与直线所成角最小，
， ，故D正确．
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为．选项D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】或
解：当，时，，所以点在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，
当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
数列满足，，则________．
【答案】
解：数列满足，，，，
，即，
设其前项和为，则，
，
，
，则．
故答案为：．
14.已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，，的中点为，且直线的斜率，则椭圆的方程为________．
【答案】
解：设，
由题意可得两式做差可得，
即．因为的中点为，且直线的斜率，
所以，且．
所以，
即．又因为，，
所以．
所以椭圆的方程为：．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题3分)
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
【答案】解：，
；
，
．．
16.本小题分
以坐标原点为圆心的圆被直线截得的弦长为．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆交于两点其中为坐标原点，求的最小值．
【答案】解：设圆的半径为，
圆心到直线的距离，
则由题意可得，，
圆的方程为，
经判断点在圆上
若过的直线为时，它与圆不可能相切，
故过点的圆的切线斜率一定存在，
，，
切线的方程为，，
所以过点的圆的切线方程为．
直线可化为，恒过定点，
圆：的圆心为，半径为，
，，
当时，，最小，，取最大值，
此时，取最小值，此时的斜率为，
由垂直关系可得，解得，
故此时直线方程为，即，
联立可解得或，
，取最小值，，取最大值，
此时，取最小值，
故的最小值为．
17.本小题分
如图，平面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
解：因为平面，平面，
所以，因为，，
、平面，所以平面，
可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，
可得，，，，．
设，则．
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线不在平面，所以平面．
依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，即，不妨令，可得．
因此有，．所以，直线与平面所成角的大小为．
设为平面的法向量，，
则，即，
不妨令，可得
由题意，有，，解得．
经检验，符合题意．所以，线段的长为．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】解：抛物线的焦点为，
过垂直于轴的直线截所得的弦长为，
所以，解得，所以，
又椭圆的离心率为，，椭圆的方程为；
设，，，
则由，得 ， ，
点在椭圆上，
所以， ， ，
故
，
设分别为直线的斜率，
由题意知， ，因此，
所以，
所以点是椭圆上的点， 由知，又 ，
，恰为椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义，为定值．
19.本小题分
设正项数列的前项和为，满足，正项等比数列满足：
求数列，的通项公式；
设其中，数列的前项和为，求所有的正整数，使得恰为数列中的项；
设为正整数，已知数列是首项为且公比为正数的等比数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
【答案】解：，当时，，解得．
由，
当，，
两式相减，得．
又，，
，
数列是等差数列，其首项为，公差为，
．
由，．
，．
，
．
由题意得
，
．
，
若为中的项只能为，，．
若，则，所以无解；
若，则．
由题意不符合题意，符合题意．
当时，令，，则，
设，则，
即为增函数，故，为增函数．
故，
当时，方程无解，
即是方程唯一解．
若，则，即．
综上所述，或．
设等比数列的公比为，其中，
令，可得，即，
若，则由得，此时的最大值为；
若，由，得，
即，此时只需考虑情形：
令，，
则，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减．
又，且，故的最大值为．
，令，
，故在上单调递减，
，故在上单调递减，
考虑的情形，由题意可知，可得，
又，可得的最大值为．
故的最大值为．
