三角恒等变换讲义
知识点框架
经典例题讲解
知识点一：弧长和扇形面积
例1.扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）
A．1024cm2 B．768cm2
C．640cm2 D．512cm2
课堂练习：1.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
知识点二：同角三角函数关系
例1.若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
例2.已知为锐角，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
例3.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
课堂练习：1.已知是第三象限角且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
2.已知，则 ．
3.若，且，是的两个根，则 .
4．已知是第二象限内的角，，则 .
知识点三：诱导公式
例1.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．
(1)求出的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
课堂练习：1.（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
知识点四：三角恒等变换
例1.已知，则（ ）
A． B． C． D．
例2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
课堂练习：
1.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点四：凑配角
例1．若，则（ ）
A． B． C． D．
课堂练习.1.已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4.已知，为第二象限角，则 .
三、课后练习
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，则在第三象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D．若角的终边过点，则
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
3.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，则 .
6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 .三角恒等变换讲义
知识点框架
经典例题讲解
知识点一：弧长和扇形面积
例1.扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）
A．1024cm2 B．768cm2
C．640cm2 D．512cm2
【答案】B
【详解】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm，
则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，
所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2.
故选：B
课堂练习：1.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】先算出经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数，再用弧长公式计算即可.
【详解】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，
故经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，
故弧长为米.
故选：C.
知识点二：同角三角函数关系
例1.若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，
所以．
故选：A
例2.已知为锐角，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可；
（2）根据和正弦的两角差公式求解即可.
【详解】（1）因为为锐角，，从而，
所以.
（2）由及，，解得，，
又，所以，
所以，
所以
，
因为，所以.
例3.已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由平方关系求得，从而确定可提范围，再由平方关系求得，用方程组思想求得，最后由商数关系求得
【详解】由得，
，又，，所以，所以，A正确；
，D正确；
结合可得，，B正确；
，C不正确．
故选：ABD．
课堂练习：1.已知是第三象限角且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先由题意求出所在的象限，再根据二倍角的余弦公式结合同角三角函数的关系求出，再根据两角差的正切公式即可得解.
【详解】因为是第三象限角，
所以，
所以，
为第二或第四象限角，所以，
由，解得（舍去），
所以.
故选：C.
2.已知，则 ．
【答案】
【分析】利用两角差的正切公式求出，判断再根据同角三角函数的平方关系与商的关系求解即可.
【详解】，
，
，
，
故答案为：.
3.若，且，是的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为、为关于x的方程的两个根，
所以，
又因为，
所以，
又，所以，
，
故答案为：
4．已知是第二象限内的角，，则 .
【答案】
【分析】首先求出、，再由两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为是第二象限内的角，，
所以，则，
则.
故答案为：
知识点三：诱导公式
例1.在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．
(1)求出的值和锐角的大小；
(2)求的值；
(3)记点的横坐标为，若，求的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）由单位圆与三角函数的定义求解；
（2）用诱导公式化简后可得；
（3）已知条件代入得，由同角三角函数关系得，再由诱导公式化简后可得．
【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，
可得，，则，
所以，且为锐角，可得；
（2）
；
（3）由（1）可知，
根据三角函数定义可得：，
因为，且，
因此，所以．
所以
．
课堂练习：1.（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据诱导公式、两角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化简求值即可.
【详解】原式
.
故选：C
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.
【详解】，则，又，
所以.
故选：D.
3.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得到，即可求解
【详解】由题意可得，
所以，
所以，
故选：A
4.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点的坐标为，由，利用三角函数定义可得点Q的纵坐标.
【详解】设点的坐标为，由，
有，解得，
所以点的纵坐标为.
故选：C.
5.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查诱导公式以及二倍角的正切公式，根据诱导公式可得，，根据同角三角函数的基本关系，由，可得的值，进一步可求得，利用二倍角的正切公式对原式进行化简得，将，的值代入即可求得.
【详解】由诱导公式可得，，根据二倍角的正切公式可得原式=，由，可得，
当时，，代入可得；
当时，，代入可得.
综上可得结果为.
故选：D.
知识点四：三角恒等变换
例1.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦的和角公式以及弦切互化，即可求解，即可由余弦的差角公式求解.
【详解】由可得，
解得，
故，
故选：B
例2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件，结合两角差正切公式求，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，利用齐次式的方法求结论.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
故选：C.
课堂练习：
1.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得到，结合题目条件可得，利用倍角公式可计算的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，即，
解得或（舍），
∴.
故选：C.
2.若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式及正弦、余弦的齐次式的运算求解.
【详解】∵，
∴，即，
∴且，即且．
∵，即，
∴，
∴，且，解得，
∴.
故选：C.
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助三角恒等变换公式及同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】由，
即，
即，
即
由，则，
即，
即有，解得，
故.
故选：A.
知识点四：凑配角
例1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将用表示为，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得.
【详解】因，
则.
故选：A.
课堂练习.1.已知角的终边经过点，角为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据终边上的点有，，平方关系得，应用求值确定的值，最后由求值.
【详解】由题意知：，，又，则，
若，则，与为钝角矛盾，舍去，
故，所以.
故选：D
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求.
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：D．
3.已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和差的余弦公式求得，再利用诱导公式及二倍角公式可求解.
【详解】依题意，，即，则，
所以.
故选：A
4.已知，为第二象限角，则 .
【答案】
【分析】由及同角三角函数的基本关系可求得，再根据并结合两角和的正弦公式即可得解．
【详解】∵，
∴，
，
∵为第二象限角，∴，∴，
∴
.
故答案为：
三、课后练习
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若是第二象限角，则在第三象限
C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
D．若角的终边过点，则
【答案】ABC
【分析】根据含量词的命题否定,弧长,面积公式,诱导公式,任意角三角函数定义分别判断选项即可.
【详解】对于A：命题“，”的否定是“，”故A正确;
对于B： 因为，又因为是第二象限角， ，
所以，则在第三象限，故正确;
对于C：已知扇形的面积为4，周长为10，则
或
(舍)或者，故C正确；
对于D：角的终边过点，当时，，故D错误；
故选：ABC.
2.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求得结果.
【详解】由，得.
故选：D
3.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意利用二倍角公式以及诱导公式计算可得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】整体代换应用诱导公式计算化简，再结合二倍角公式计算即可.
【详解】令，则，，
.
故选：D.
5.已知，，则 .
【答案】
【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
6.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 .
【答案】
【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式可得出的值，即为所求.
【详解】由题意可得，
则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标.
故答案为：.
